《结构动力学》课程作业解析
研究生课程考核试卷
（适用于课程论文、提交报告）
科目：结构动力学大作业教师：
姓名：学号：
专业：岩土工程类别：专硕
上课时间：2015年9 月至2015 年11 月
考生成绩：
卷面成绩平时成绩课程综合成绩阅卷评语：
阅卷教师(签名)
重庆大学研究生院制
土木工程学院2015级硕士研究生考试试题
1 题目及要求
1、按规范要求设计一个3跨3层钢筋混凝土平面框架结构（部分要求如附件名单所示；未作规定部分自定）。根据所设计的结构参数，求该结构的一致质量矩阵、一致刚度矩阵；
2、至少采用两种方法求该框架结构的频率和振型；
3、输入地震波（地震波要求如附件名单所示），采用时程分析法，利用有限元软件或自编程序求出该框架结构各层的线性位移时程反应。
2 框架设计
2.1 初选截面尺寸
取所设计框架为3层3跨，跨度均为4.5m ，层高均为3.9m 。由于基础顶面离室内地面为1m ，故框架平面图中底层层高取 4.9m 。梁、柱混凝土均采用C30，
214.3/c f N mm =，423.010/E N mm =?，容重为325/kN m 。
估计梁、柱截面尺寸如下： （1）梁：
梁高b h 一般取跨度的
112
1
8
，取梁高b h =500mm ； 取梁宽300b b mm =；
所以梁的截面尺寸为：300500mm mm ? （2）柱：
框架柱的截面尺寸根据柱的轴压比限值，按下列公式计算： ①柱组合的轴压力设计值...E N F g n β=
其中：β：考虑地震作用组合后柱轴压力增大系数； F ：按简支状态计算柱的负荷面积；
E g ：折算在单位建筑面积上的重力荷载代表值，可近似取为
21214/KN m ；
n ：验算截面以上的楼层层数。 ②c N c
N
A u f ≥
其中：N u ：框架柱轴压比限值；8度（0.2g ），查抗震规范轴压比限值0.75N u =；
c f ：混凝土轴心抗压强度设计值，混凝土采用30C ，2
14.3/c f N mm =。
经计算取柱截面尺寸为：300300mm mm ? 该榀框架立面图如图2.1所示。
图2.1 框架立面图
2.2 框架几何刚度特征
（1）梁：
截面惯性矩：33
94300500 3.125101212
b bh I mm ?===?； 刚度：491323.010 3.125109.37510b EI N mm =???=?? 293750KN m =? 梁的单位长度质量（按照计算重力荷载代表值的方法计算）： 一二层（考虑楼板恒载及楼面活载作用）：
分布质量：b (0.30.52500 4.50.12500 4.5200)2400/m kg m =??+??+?= 顶层（仅考虑楼板恒载不考虑屋面活载作用）：
分布质量：b (0.30.52500 4.50.122500)1725/m kg m =??+??=； （2）柱：
截面惯性矩：33
84300300 6.75101212
c bh I mm ?===?； 刚度：481323.010 6.7510 2.02510c E I N mm =???=?? 220250KN m =? 分布质量：c 0.30.32500/225/m bh kg m kg m γ==??=
根据以上计算结果，将其列入表中，如下表2.1所示：
2.3 动力自由度
框架单元编号及动力自由度编号见图2.2所示：
图2.2框架单元编号及自由度编号
框架结构可以理想化为在节点处相互连接的单元（梁和柱）的集合。设梁、柱的轴向变形均忽略不计，只考虑节点的转角和横向位移，则该框架有3个平动自由度和12个转角自由度，共15个自由度。
3一致质量矩阵、一致刚度矩阵
3.1 一致质量矩阵
在节点位移作用下框架梁和柱上所引起的变形形状采用Hermite 多项式。因此均布质量梁的一致质量矩阵为：
2222156
542213541561322221343420132234L L L L mL L L
L L L L L
L -????-????
-??---??
式（3.1）
下面开始计算质量影响系数，依次对每一个自由度施加单位加速度，利用式（3.1）的系数确定质量影响系数：
1
图3.1.1
()()1121415161718191101111225 3.9
15643156431725
4.524591.2420420225 3.9544544451.3
420420
225 3.9
2222 3.9179.3
420420225 3.9
1313 3.9105.9
420420c b c c c m h m m L m h m m h m m m m h m h m m m m h ?=
??+=??+??=?=??=??=?====?=??=?====?-=?-?=-
2
图3.1.2
221232425262728292102112122225 3.9
15683156832400 4.535007.4420420
225 3.9
544544451.3
420420
225 3.9
1313 3.9105.942042022220420420c b c c c c m h m m L m h m m m h m m m m h m h m h
m m m m h h m ?=
??+=??+??=?==??=??=?====?=??=====
?-+?==，，，（）132142152225 3.9
1313 3.9105.9420420c m h m m m h ?===
?-=?-?=-，，，（）（）
3
图3.1.3
123323225 3.9225 4.9
1564156431564156
442042042042032400 4.535341.7225 3.9544544451.3
420420c c b c m h m h m m L m h m ??=
??+??+=??+??+??=?=??=??=
839310,311,3225 3.9
1313 3.9105.9420420
c m h m m m m h ?====
?=??= ()1212,313,314,315,312225 3.9
222222 3.9420420420
225 4.9
22 4.9103.7
420
c c m h m h m m m m h h ?====
?-+?=?-??+??=（）
4
图3.1.4
22224422542284142225 3.91725 4.5444 3.94 4.51624.2420420420420
1725 4.5(3)(3) 4.51122.8420420
225 3.9(3)(3) 3.995.3420420
225 3.92222 3.9179.3420420
c b b c c m h m L m h L m L m L m h m h m h m h m ??=
?+?=??+??=?=?-=?-?=-?=?-=?-?=-?=?=??=4225 3.91313 3.9105.9420420c m h h ?=?=??= 由于框架为对称结构，对自由度4V 施加单位加速度引起的质量影响系数与对自由度7V 施加单位加速度引起的质量影响系数相同，可得结果如下：
22227722672211,717225 3.91725 4.5444 3.94 4.51624.2420420420420
1725 4.5(3)(3) 4.51122.8420420
225 3.9(3)(3) 3.995.3420420
225 3.92222 3.9179.3420420
c b b c c m h m L m h L m L m L m h m h m h m h ??=
?+?=??+??=?=?-=?-?=-?=?-=?-?=-?=?=??=27225 3.91313 3.9105.9420420c m h m h ?=?=??=
5
图3.1.5
2222552245652295225 3.91725 4.54244 3.924 4.53121.2420420420420
1725 4.5(3)(3) 4.51122.8420420
225 3.9(3)(3) 3.993.5420420
c b b c m h m L m h L m L m m L m h m h ??=
?+??=??+???=?==?-=?-?=-?=?-=?-?=-1525225 3.92222 3.9179.3420420225 3.91313 3.9105.9420420c c m h m h m h m h ?=?=??=?=?=??= 由于框架为对称结构，对自由度5V 施加单位加速度引起的质量影响系数与对自由度6V 施加单位加速度引起的质量影响系数相同，可得结果如下：
2222662256762210,6225 3.91725 4.54244 3.924 4.53121.2420420420420
1725 4.5(3)(3) 4.51122.8420420
225 3.9(3)(3) 3.993.5420420c b b c m h m L m h L m L m m L m h m h ??=
?+??=??+???=?==?-=?-?=-?=?-=?-?=- 1626225 3.92222 3.9179.3420420225 3.91313 3.9105.9420420c c m h m h m h m h ?=
?=??=?=?=??=
8
图3.1.6
()()2222882298224812,818225 3.92400 4.54244 3.924 4.52337.1420420420420
2490 4.5(3)(3) 4.51562.1420420
225 4.5(3)(3) 4.595.3420420225 3.91313420420
c b b c c m h m L m h L m L m L m h m m h m h m h ??=
??+?=???+??=?=?-=?-?=-?==?-=?-?=-?=?-=?-2838 3.9105.922220420420
225 3.91313 3.9105.9420420c c c m h m h m h h m h m h ?=-=?-+?=?=?=??=（） 由于框架为对称结构，对自由度8V 施加单位加速度引起的质量影响系数与对自由度11V 施加单位加速度引起的质量影响系数相同，可得结果如下：