高一数学上册基础知识点总结

必修一基础要点归纳

第一章．集合与函数的概念

一、集合的概念与运算：

1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性 互异性 无序性；集合的表示法有：

列举法 描述法 文氏图等。 2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。

②数集：{}

2

2y y x =- 点集：(){},1x y x y +=

3、子集与真子集：若x A ∈则x B ∈?A B ? 若A B ?但A ≠B ?A B

若{}123,n A a a a a = ，，，则它的子集个数为2n 个 4、集合的运算：①{}A B x x A x B =∈∈ 且，若A B A = 则A B ? ②{}A B x x A x B =∈∈ 或，若A B A = 则B A ? ③ {}U C A x x U x A =∈?但

5、映射：对于集合A 中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B 中都有唯一的元素b 与

之对应，则称:f A B →为A 到的映射,其中a 叫做b 的原象，b 叫a 的象。 二、函数的概念及函数的性质：

1、函数的概念：对于非空的数集A 与B ，我们称映射:f A B →为函数，记作()y f x =，

其中,x A y B ∈∈,集合A 即是函数的定义域，值域是B 的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。 2、 函数的性质：

⑴ 定义域：01 简单函数的定义域：使函数有意义的x 的取值范围，例：

y -=

的

定义域为：2505

3302x x x ->??<

->?

02复合函数的定义域：若()y f x =的定义域为[),x a b ∈，则复合函数 ()y f g x =????的定义域为不等式()a g x b ≤<的解集。 0

3 实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。 ⑵ 值域：01利用函数的单调性：()p y x p o x

=+

> []()2232,3y x ax x =-+∈-

2利用换元法：2y x =+ 32y x =+

03 数形结合法25y x x =+--

⑶ 单调性：01明确基本初等函数的单调性：y ax b =+ 2y ax bx c =++ k y x

=（0k ≠）

()01x

y a

a a =>≠且 ()log 01a y x a a =>≠且 ()n

y x

n R =

∈

02定义：对12,x D x D ?∈∈且12x x <

若满足()()12f x f x <，则()f x 在D 上单调递增 若满足()()12f x f x >，则()f x 在D 上单调递减。

⑷ 奇偶性：01定义：()f x 的定义域关于原点对称，若满足()f x -＝－()f x ――奇函数 若满足()f x -＝()f x ――偶函数。 02特点: 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。 若()f x 为奇函数且定义域包括0，则()00f = 若()f x 为偶函数，则有()()f x f x =

（5）对称性：01 2y ax bx c =++的图像关于直线2b x a

=-

对称；

02若()f x 满足()()()()2f a x f a x f x f a x +=-?=-，则()f x 的图像

关于直线x a =对称。

03 函数y =()f

x a -的图像关于直线x a =对称。

第二章、基本初等函数

一、指数及指数函数：

1、指数：m n m n a a a +?= m a /n a ＝m n a - ()n

m m n

a a

=

m

n

a

= 0

1a =()0a ≠

2、指数函数：①定义：(0,1)x

y a a a =≠

②图象和性质：a ＞1时，,(0,)x R y ∈∈+∞，在R 上递增，过定点（0，1） 0＜a ＜1时，,(0,)x R y ∈∈+∞，在R 上递减，过定点（0，1） 例如：2

3

3x y -=+的图像过定点（2，4）

二、对数及对数函数：

1、对数及运算：log b a a N N b =?= l o g 10,l o g a a a == l o g a N

a

N = (

)l o g l o g l o g a a a m n m n =+

l o g l o g l o g a

a a m m n n =

-

l o g l o g n

a

a

m n m = log log log c a c a b b

=

l o g a

b ＞0（0＜a ，b ＜1或a,b ＞1﹚ l o g a b ＜0(0＜a ＜1, b ＞1,或a ＞1，0＜b ＜1﹚ 2、对数函数：

①定义：()log 01a y x a a =>≠且 与(0,1)x y a a a =>≠互为反函数。

②图像和性质：01 a ＞1时，()0,x ∈+∞，y R ∈，在()0,+∞递增，过定点（1，0） 02 0＜a ＜1时，()0,x ∈+∞，y R ∈，在()0,+∞递减，过定点（1，0）。 三、幂函数：①定义：()n

y x

n R =∈

②图像和性质：01n ＞0时，过定点（0，0）和（1，1）,在()0,x ∈+∞上单调递增。 02n ＜0时，过定点（1，1）,在()0,x ∈+∞上单调递减。

第三章、函数的应用

一、函数的零点及性质：

1、定义：对于函数()y f x =，若0x ?使得()00f x =，则称0x 为()y f x =的零点。

2、性质：01若()()f a f b ?＜0，则函数()y f x =在[],a b 上至少存在一个零点。 02函数()y f x =在[],a b 上存在零点，不一定有()()f a f b ?＜0 0

3在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。 二、二分法求方程()0f x =的近似解

1、原理与步骤：①确定一闭区间[],a b ，使()()f a f b ?＜0，给定精确度ε；

②令12

a b x +=

，并计算()1f x ；

③若()1f x =0则1x 为函数的零点，若()()1f a f x ?＜0，则[]01,x a x ∈，令b=1x ; 若()()1f x f b ?＜0 则[]01,x x b ∈，令a=1x

④直到a b -＜ε时，我们把a 或b 称为()0f x =的近似解。

三、函数模型及应用：

常见的函数模型有：①直线上升型：y kx b =+; ②对数增长型：log a y x = ③指数爆炸型：(1)x y n p =+ ，n 为基础数值，p 为增长率。

训练题

一、选择题

1．已知全集{}{}{}32B 21A 4321，＝，，＝，，，，=U ，则)(A CuB ?等于( ) A ．{1，2，3} B ．{1，2，4} C ．{1) D ．{4}

2.已知函数x a x f =)(在(O ，2)内的值域是)1,(2a ，则函数)(x f y =的图象是

( )

3.下列函数中，有相同图象的一组是（ ） A y = x －1, y =

2

)

1(-x B y=1-x ·1+x , y=

1

2

-x

C y = lgx －2, y = lg

100

x D y = 4lgx, y = 2lgx 2

4.已知奇函数 f(x)在[a,b]上减函数，偶函数g(x)在[a,b]上是增函数，则在[-b,-a]（b>a>0）上，f(x)与g(x)分别是（ ）

A ．f(x)和g(x)都是增函数

B ．f(x)和g(x)都是减函数

C ．f(x)是增函数，g(x)是减函数

D ．f(x)是减函数，g(x)是增函数。

5.方程2ln x x

=必有一个根所在的区间是（ ） A ．（1，2）

B ．(2，3)

C ．(e ，3)

D ．(e,+∞)

6.下列关系式中，成立的是（ ） A ．0

313

1

log 4()log 105

>>

B ．0

133

1log 10()log 45

>>

C ．0

313

1log 4log 10()5

>>

D ．0

133

1log 10log 4()5

>>

7．已知函数)(x f 的定义域为)(,x f R 在R 上是减函数，若)(x f 的一个零点为1，则不等式

0)12(>-x f 的解集为( )

A ．),2

1(+∞ B ．)2

1

,(-∞ C ．),1(+∞ D ．)1,(-∞

8.设f(2log x )=x 2(x>0)则f(3)的值为（ ） A ．128

B ．256

C ．512

D ．8

9.已知a>0,a ≠1则在同一直角坐标系中，函数y=x a -和y=a log (x)-的图象可能是（ ）

A

B

C

D

10.若a

2log 13

<,则实数a 的取值范围是（ ）

A ．20a 3

<<

B ．2a 3

>

C ．

2a 13

<< D ．20a 3

<<

或a>1

11. 已知(3)4(1)

()(,)log (1)a a x a x f x x x --

≥?

是上的增函数，那么a 值范围是 A ．(1,)+∞ B ．3

[,)5

+∞

C ．3

[,3)5

D ．(1，3)

二、填空题

12.已知函数f (x)在（0，+∞）上为减函数，且在R 上满足f (-x)=f (x)，则f (-2)、f (1

e -5)、

f (π)

三个数的按从小到大依次排列为______________________

13.函数y=(x-1)0+log (x-1)(|x|+x)的定义域是 14.设函数?+≤=?>?2x 2,(x 2)

f(x)2x,(x 2)

若f(x 0)=8则x 0=

15.若幂函数

5

42

--=m m x

y (m ∈Z)的图像与x,y 轴无交点，且图像关于原点对称，则m=_______，

三、解答题：（本题共6小题，满分74分）

16.计算求值：21(lg 8lg 1000)lg 53(lg 2)lg 6lg 0.006-++++

17.已知2f (x)x 2(1a)x 2=--+在区间(-∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围。

18.已知函数()3,(2)18,()34x ax x f x f a g x λ=+==?-定义域[0,1]； （1）求a 的值；

（2）若函数()g x 在[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围；

19.已知函数2

2

a

2

x

f(x 3)lg 6x

-=-（a>1,且a ≠1）

1) 求函数f(x)的解析式及其定义域 2) 判断函数f(x)的奇偶性