《近世代数》模拟试题2及答案

近世代数模拟试题

一、单项选择题(每题5分,共25分)

1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。

A 0

B 1

C －1

D 1/n,n就是整数

2、下列说法不正确的就是( )。

A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群

B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群

C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群

D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群

3、下列叙述正确的就是( )。

A 群G就是指一个集合

B 环R就是指一个集合

C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆

元存在

D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆

元存在

4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。

A 反身性

B 对称性

C 传递性

D 封闭性

S的共轭类( )。

5、下列哪个不就是

3

A (1)

B (123),(132),(23)

C (123),(132)

D (12),(13),(23)

二、计算题(每题10分,共30分)

S的正规化子与中心化子。

1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群

3

2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。

3、设R 就是由一切形如???

? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。

三、证明题(每小题15分,共45分)

1、设R 就是由一切形如???

? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明???

? ??0,00,0就是其零因子。

2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。

3、证明由整数集Z与普通加法构成的(Z,＋)就是无限阶循环群。

近世代数模拟试题答案

一、单项选择题(每题5分,共25分)

1． A

2． D

3． C

4． D

5． B

二、计算题(每题10分,共30分)

1． 解:正规化子N(S)＝{(1),(23)}。。。。。。。。。。。。(6分)

中心化子C(S)＝{(1)}。。。。。。。。。。。。。。。。。。(4分)

2． 解:群G 中的单位元就是1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(2分)

1的阶就是1,－1的阶就是2,i 与－i 的阶就是4。。。。(4×2分)

3． 解:设其右零因子为???

? ??0,0,b a 。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(2分) 所以???? ??0,0,y x ???? ??0,0,b a ＝???

? ??0,0,xb xa ＝0。。。。。。。。。。。。。。。(3分) 因为x 任意,所以a ＝b ＝0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(3分)

因此右零因子为???

? ??0,00,0。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(2分)

三、证明题(每小题15分共45分)

1.证明:设其右零因子为???

? ??0,0,b a 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(2分)

所以???? ??0,0,y x ???? ??0,0,b a ＝???? ?

?0,0,yb xa ＝0。。。。。。。。。。。。。。。。(5分) 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0。。。。。。。。。。。。。。。。。(8分)

同理设其右零因子为???

? ??0,0,b a 。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(10分) 所以???? ??0,0,b a ???? ??0,0,y x ＝???

? ??0,0,yb xa ＝0。。。。。。。。。。。。。。。。(12分) 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0。。。。。。。。。。。。。。。。。(14分)

因此零因子为???

? ??0,00,0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(15分)

2．明:首先该代数运算封闭。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(3分)

其次我们有:(a ·b)·c ＝(a ＋b －3)·c ＝(a ＋b －3)＋c －3＝a ＋((b ＋c －3)－3)＝a ·(b ·c),结合律成立。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(6分) 令e ＝3,验证a ·e ＝a ＋e －3＝a,有单位元。。。。(7分)

对任意元素a,6－a 就是其逆元,因为a ·(6－a)＝3。。。(8分) 因此,Z 对该运算作成一个群。

显然,单位元就是e ＝3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(10分)

3.证明:首先证明(Z,＋)就是群,+满足结合律,对任意的Z x ∈,x x x =+=+00,0就是运算+的单位元

又由于: ()()0=+-=-+x x x x

所以 ,1x x -=-从而(Z,＋)为群。。。。。。。。。(2分)

由于+满足交换律,所以(Z,＋)就是交换群。。。。(4分) (Z,＋)的单位元为0,

对于1Z ∈,由于 1+(-1)=0,所以111-=-,。。。(5分) 于就是对任意Z k ∈,

若0=k ,则:010=;

若0>k ,则k k =+++=1111 。。。。。。。。。。。(8分) 若0

()()()k k k k ------===11111

1)1()1()1(---++-+-=个k

))(1(k --= k = 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(10分)

综上,有k k =1,对任意的Z k ∈、 因而,{}Z k Z k ∈=1,从而(Z,＋)就是无限阶循环群。。。。。。。。。。。。。。。。。。(15分)