高三数学专题 三角函数之给值求值问题

三角函数之给值求值问题

一、单选题

1．若0,2πα?

?∈ ???， cos 4παα??-= ???

，则sin2α等于（ ）

A . 1516

B . 78

C

D . 1532

【答案】A

2．已知π1sin 63α?

?+= ???,则2πcos 23α??- ??

?的值是 A . 59 B . 89- C . 13- D . 79

- 【答案】D 【解析】∵π1sin 63

α?

?+= ??? ∴1cos cos 2633

a a πππ????--=-= ? ????? ∴1cos 33a π?

?-=- ??

?

222π17cos 22cos 213339a πα??????-=-=?--=- ? ? ???????

故选D

二、填空题

3．已知3sin 45πα??-

= ???， ,42ππα??∈ ???

，则tan α=__________． 【答案】7

点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般sin cos sin cos αααα+-，， sin *cos αα，这三者我们成为三姐妹，结合22sin cos 1αα+=，可以知一求三。

4．已知4sin 5α=， 2παπ<<，则cos 4πα??-= ??

?__________．

【解析】4sin 5α=， 2παπ<<，所以3cos 5

α=-.

34cos cos sin 422252510πααα????-=+=-+= ? ??

???.

答案为. 5．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为________． 【答案】34

π 【解析】因为()()tan 1tan 12αβ--=，所以tan tan tan tan 1αβαβ+=-

因此()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ

++==-- 因为()30,4παβπαβ+∈∴+=

6．若()sin cos 3,tan 2sin cos αααβαα

+=-=-,则()tan 2βα-______. 【答案】43

点睛：这个题目考查了三角函数中，两角和差的正切公式的应用，考查了给值求值的应用；一般这种题目是尽量用已知三角函数值的角表示要求的角；在这种题型中需要注意角的范围，已知三角函数值的角的范围是否能通过值缩小。

7．若()3tan cos 2,22

2ππθπθθ??-=-< ???，则sin2θ=__________．

【解析】由题意， 13cos 3cos 2cos sin tan 2sin 23

θθθθθθ=??=?=，

又2π

θ<，所以02π

θ<<，得cos θ=，

所以sin22sin cos 9

θθθ==。 点睛：三角函数恒等关系的题型关键在于公式的掌握和应用。本题中，首先应用诱导公式将条件化简，切

化弦，得到2sin 3θ=，之后判断象限，得到02

πθ<<，最后二倍角公式应用sin22sin cos θθθ== 8．已知()3sin 25αβ-=， 12sin 13β=-，且,2παπ??∈ ???， ,02πβ??∈- ???

,则 sin α的值为________．

【解析】∵

π2

<α<π，∴π<2α<2π. ∵－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2，而sin (2α－β)＝35

>0， ∴2π<2α－β<5π2，cos (2α－β)＝45

. 又－π2<β<0且sin β＝1213

-， ∴cos β＝513， ∴cos 2α＝cos [(2α－β)＋β]

＝cos (2α－β)cos β－sin (2α－β)sin β

453125651351365

??=?-?-= ???. 又cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130

.

又π

(,π)2α∈，∴sin α9．若cos α＝17，cos (α＋β)＝－1114， α∈0,2π?? ???， α＋β∈,2ππ?? ???

，则β＝________. 【答案】3

π

10．已知()cos sin 6παπα??-+-=

???， 02πα-<<，则cos 23πα??+= ???__________． 【答案】725

-

三、解答题

11．已知4tan 3α=， 32ππα<<， ()12cos 13αβ-=-， 2

παβπ<-<. （1）求sin α与cos α的值；

（2）求sin β的值.

【答案】(1) sin α= -45、cos α= -35 (2) 6365