《数学思维方法》汇总题库

小教101班数学思维方法题库

一、选择题：

1、以下说法正确的是：（）见课本P.97~98

A．专注与灵感是创造性思维的主要标志。

B．发散性思维与收敛性思维结合是创造性思维的基本图式。

C．积极的创造是创造性思维的重要环节。

D．创见性与新颖性是创造性思维的重要特点。

答案：B

2、下列关于数学概念之间的关系的说法中错误的是（）

A最小的质数与最小的正偶数这两个概念是同一关系

B平行四边形与长方形这两个概念是从属关系

C等腰梯形与直角梯形这两个概念是矛盾关系

D等腰三角形与直角三角形这两个概念是交叉关系

答案：C。（分值：3分）

解释：C选项的说法是错误的，等腰梯形与直角梯形的外延互相排斥，尽管它们都包含于梯形的概念之中，它们是对立关系而不是矛盾关系。A选项正确，最小的质数和最小的正偶数均为2，这两个概念的外延相同，为同一关系；B选项正确，平行四边形包含长方形，长方形属于平行四边形的一种，二者为从属关系；D选项正确，等腰直角三角形就是等腰三角形和直角三角形这两个概念的重合，二者为交叉关系。

3、分析法与综合法的区别在于

A.分析法、综合法——已知到未知

B. 分析法——已知到未知、综合法——未知到已知

C.分析法、综合法——未知到已知

D. 分析法——未知到已知、综合法——已知到未知

答案：D

4、选择题:在△ABC中,求cosA+ cosB+ cosC的最大值( )

A.3

B. 2

C. 1.5

D. 1

参考答案:

解题思路（直觉思维）：可以从三角形内角和与三角函数值的角度直觉的猜得，即A=B=C=60°时可取得最大值1.5。

4x-4 x≤1

5、f (x)={ 求与g(x)=log2X的交点数量（）

x^2-4x +3 x>1

A. 1

B.2

C. 3

D.4

答案是C

6、一个多边形的内角和为720°，这是一个（）边形。（3分）

A. 四

B.五

C.六

D.七

答案：B

C7、在指导学生运用观察与实验的方法学习数学时，应注重数学自身的结构，鼓励学生的_________，增强学生对数学的兴趣与信心，学会运用数学_________。

A.大胆试错和归纳类比，解决实际问题

B. 大胆试错和归纳类比，解决经典例题

C.个体体验和个体理解，解决实际问题

D. 个体体验和个体理解，解决经典例题

8、请问算式√7?4√3的解为（）

A.2—√3

B.2+√3

C.√3—2

D.4—√3

解：A。

思路：显然根号下的式子无法直接计算，但观察发现它可以分解成完全平方式。事实上，根号下只有完全平方式才能进行下一步计算。于是有：7—4√3=22—2 2√3+（√3）2=(2?√3)2,又由于2>√3,所以答案为A.2—√3。、

9、若三角形内切圆半径为r，三边长为a, b, c,则三角形的面积S=( )。------3分

A、r(a+b+c)

B、3/2r(a+b+c)

C、

1/2r(a+b+c) D、r(a+b)

答案：C

解题思路：

1111()2222

ABC AOB BOC AOC

S S S S a r b r c r r a b c ????=++=?+?+?=++ 10、第二次数学危机出现的标志是（ ）

A ．无理数的出现 B. 无限问题的出现 C. 费马猜想 D. 微积分的创立

答案：D

11、以下说法正确的是（ ）

A 描述性数学模型又称为解释性数学模型

B “哥尼斯堡七桥问题”是一个确定性数学模型

C 描述性数学模型是从一般到特殊

D 公式V=π3

r 3h 是计算圆锥体积的解释性数学模型 答案： B

12、已知a ，b 是两个不相等的正数，求证：

a+b 2>√ab 。作为通常证明，我们可以从（√a +√b ）2>0开始，然后到处结果。这样的证明过程我们称它为：

A.形式化

B.非形式化

C.演绎化

D.非演绎化

答案：B 非形式化

答案解析：本题考察的是学生关于课本《数学思维方法》中第九章第二章节的知

识，题目改编于297页例2，排除C 、D 无关选项。书中详细介绍了“形式化”

的证明方法，而在开头、和小结指出中小学更应侧重的知识是非形式化数学方法

指导。所以排除再排除A 选项，得到正确答案B 。

评分标准：有且只有一个答案为B 非形式化，其余答案均为错误。

出题目标：虽然数学是形式化的，数学的方法也是一种形式化的方法。但是，中

小学数学应当适合学生的特点教学目标的要求，不过分追求数学的形式化，通过

这道题，考核学生对例题的数学思维理解，加深未来小学准教师对数学方法教授

时形式化与非形式化区别。

13、已知，平面上n 条直线最多把平面分割成F （n ）=（n 2+n+2）/2个平面

块。请用类比推理的方法，猜想用n 个平面分割空间所得的块数的表达式。（ ）

A N=（an 2+bn+c ）/3

B N=（an 3+bn 2+cn+d ）/2

C N=（an 3+bn 2+cn ）/3

D N=（an 3+bn 2+cn+d ）/3

14.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点

A 与点

B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBD 的值是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

24

73724136

8

C E A B

D 第1题

答案：C

解析：由tan ∠A=CB /CA=6/8=DE /DA=DE /5得出：DE=15/4

cos ∠A=CA /BA=8/10=DA /AE=5/AE 得出：AE=25/4=BE ，

CE=AC-AE=8-25/4=7/4

∴tan ∠CBE=CE /CB=(7/4)÷6=7/24

15、设21x x 、是方程062x 2=++-k kx 的两个实根，则

2221)1()1-+-x x （的最小值是

A.4

49- B.8 C.18 D.不存在 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。

利用一元二次方程根与系数的关系易得：6,22121+==+k x x k x x

∴ 1212)1()1(2221212221+-++-=-+-x x x x x x

4

49)4342--=k （ 有的学生一看到

，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间

449

-

的区别，就能从中选出正确答案。

而原方程有两个实根，∴0

)6(442≥+-=?K K 2≤K 或3≥K

当时，的最小值是8；

当2≤K 时，的最小值是18。 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。

此题是形式化系统内的运算操作常犯的错误。只注重形式化规则而忽略它特定

的讨论范畴、真实状况时就可能导致错误。

16、下列不是思维的特征的是：（C ）

A.方向性

B. 概括性

C.发展性

D.间接性

17、按照思维的应用，可以把数学思维分成四个方面，一下错误的是：

A.哲学

B.特殊方法论

C.数学某分支

D.初等数学

18、对于全体实数x ,使|x-2| + |x-4| + |x-7| + |x-9| + |x-9| + |x-15| + |x-21|

≥m 恒成立，m 的最大值为（ ）。

A ．28 B. 30 C. 32 D.36

解题思路：可采用主次渐进的方法利用特殊值加以实验，观察结果，排除不合适

的选择值即可求解。如取x=2,4,7,9,15,21,求不等式左边的值，得

当x=2时，不等式左边=46

当x=4时，不等式左边=38

当x=7 时，不等式左边=32

当x=9 时，不等式左边=32

3≥K 2221)1()1-+-x x （2221)1()1-+-x x （

当x=15时, 不等式左边=44

当x=21时, 不等式左边=68

上述不等式值最小为32，至此只要考虑是否有x的值，使不等式左边小于3=2就可以了。重点要检验x=7,9附近的值，但可初定确定正确答案应是C。

19.一个和尚敲2下钟,用了两秒,问用同样的速度敲4下钟需要多少秒?（）

A.4秒

B.5秒

C.6秒

D.8秒

答案是C.6秒。

敲2下钟，其间隔是（2-1）次，用时时长2秒；敲4下钟，间隔为（4-1）次，用时时长（4-1）×2=6（秒）。

20、根据思维的形态不同，可以将思维分为若干个表现形态，以下不属于该分类形式的是（）

A．动作思维 B.具象思维 C.形象思维 D.抽象思维答案：B （根据思维的形态不同，可以将思维分为动作思维、形象思维和抽象思维。）

21、请问数学实验教学模式一般包括以下哪几个主要环节且顺序是什么？（1）创设情境（2）验证与数学化（3）讨论与交流

（4）假设与猜想（5）活动与实验（6）归纳与猜想

A、（4）—（1）—（5）—（3）—（2）

B、（1）—（5）—（3）—（6）

—（2）

C、（4）—（1）—（3）—（5）—（2）

D、（1）—（3）—（5）—（6）—（2）

答案为B，详见书本P334-335。

22、下列哪一种是含有参数的关系映射反演方法（D ）（3分）

A．换元法B．坐标法C．函数法D．待定系数法1.选择题

23、以下不属于从数学化归法利用数学工具的方式来划分都是：（ C ）

A. 参数变换法

B. 分解与组合

C. 计算式法

D. 映射法

24、若关于x 的一元二次方程2a+2x-5=0的两根中有且仅有一根在0与1之间（不含0和1），则a的取值范围是（）(4分)

A．a<3 B．a>3 C．a<-3 D．a>-3

解析: 根据题意肯定有两不同根,则4-4a*(-5)=4+20a>0,得a>-1/5

有且仅有一根在0与1之间（不含0和1）设f（x）=ax2+2x-5，

则f（0）*f（1）<0,即-5*（a-3）<0,得a>3

最终取交集a>3,即选B

25、（）数学中的非逻辑思维主要有___________、直觉思维、灵感思维、数

学想象等。

A.形象思维

B.抽象思维

C.数学判断

D.数学推

理

答案：A

分数：答对得5分，答错得0分

26、中华名族真正接受西方数学是在什么时候？ （第十一章第一节）

（A ）

A.鸦片战争之后

B.八国联军侵华之后

C.抗日战争时期

D.改革开

放时期

27、设X ∈R,y ＝2－cos 2x ＋9

4sin 2x 的最大值为（D ） A 、174

B 、2

C 、1

D 、无最大值

28．在数学建模时，我们常会用到测试分析法，即当我们对研究对象机理不清

楚时，就把研究对象视为黑箱系统，以此来分析并建立模型。在一个黑箱系统中，

第一次输入的为1，输出为1，第二次输入为2，输出为5，第三次输入为3，

输出为10，则我们可得出的假设模型是（）

2

A．an=2n-1 B．an=n C. an=n +1 D. an=2n+1

答案：C

29、抛硬币，抛一次出现数字的几率是1/2，那么抛第5次时，出现数字的几率是多少？

A 1/3 B1/2 C1/4 D 1/5

30、已知，平面上n条直线最多把平面分割成F（n）=（n2+n+2）/2个平面块。请用类比推理的方法，猜想用n个平面分割空间所得的块数的表达式。（）

A N=（an2+bn+c）/3

B N=（an3+bn2+cn+d）/2

C N=（an3+bn2+cn）/3

D N=（an3+bn2+cn+d）/3

31、在中国古代数学中，刘徽的割圆术运用了（）的思想方法获得了圆的面积。

A化归B变形C逐次渐进D数学建模

答案：C

32、综合法可用如下框图表示：（C ）

A：

B：C：

D：

二、大题目

1、简答题：（8分，共四点，每答对一点2分）

数学创造性思维的培养应注重那几个方面的问题？见课本P.103~104

答案：第一，在培养创造性因素方面，教师要设法引导学生的数学兴趣，并且积极提出问题来参与数学的教学活动。

第二，在数学知识和方法的储备方面，使学生根据自己的理解主动地掌握数学的知识和方法。

第三，在数学思维方式方面，由于逻辑思维是数学知识和理论的主要表现形式，因此应当格外注重非逻辑思维的培养。

第四，在具体创新思维的方面，由于创造性思维方法已经有很多成熟的广泛运用的方法，所以在数学教学中应当有意识地学习或运用它们，

使之与数学的某些具体的问题相结合。

2．简答题：求证：对任意自然数n均有2n+2>n2。

答案：（分值：15分）

当n=1时，命题显然成立。

( 2分)

设2k+2>k2成立，只要证明2k+1+2>(k+1)2即可。

（2分）

∵2k+1+2－(k+1)2=2(2k+2)－k2－2k－3,

（3分）

代入2k+2> k2，得到2k+1+2－(k+1)2> k2－2k－3=(k－1)2－4，

（4分）

只要证明(k－1)2－4≥0即可，

（1分）

（1分）

再从n=2,3分别验证，当n=2时，22+2>22，命题成立；当n=3时，23+2>32，命题成立；因此当n为任意自然数时均有2n+2>n2。

（2分）

（其他合理解法可酌情给分）

3.简答题（10分）

对于任意自然数n>1，+++…+ . n,并指出在解题过程中体现的思维方法。

解：假设结论成立，可以得到

>（分析法）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

根据二项式定理有

==1+++…+

所以+++…+==1+2++…+。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

所以>

=

=

=。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分即>与（综合法）

即+++…+ . n,。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分（说出分析法、综合法各1分）

4.试用数学解题的一般程序论述下题: (共10分)

已知长方体的长,宽和高,求它的对角线长度。

参考答案与评分标准:（合理即可给分）

一、弄清楚问题：(共4分)

1)未知量是这个长方体的对角线长度

-------------------------------------(1分)

2)已知数据是此长方体的长、宽和高

-------------------------------------(1分)

3)引入适当的符号ｘ表示未知量，a、b、c分别表示长,宽和高

-------------------------(1分)

4)联系a、b、c和ｘ的条件是ｘ是长为a，宽为b，高为c的长方体的对

角线长度----------------------------------(1分)

二、分析和制定解题步骤：(共2分)

1)具有相似未知量的一道已经会解答的题：求一个直角三角形的一条边。

------------------(1分)

2)为了能应用这道题的解法，应该引入某个辅助元素：引入一个直角三角

形（图中阴影强调）未知量是这个三角形的斜边，可以用勾股定理把它

计算出来。其中一条直角边是给定的，就是c；另外一条直角边又是另

一个直角三角形（直角边分别为a和b的三角形）的斜边，设这斜边为

y。---------------(1分)

三、完成解题计划并检验：(共2分)

1) 引入另一个未知量y 后，由勾股定理可得：

---------------(1分) 2)

因为x 是正数，所以x=√

-----------(1分) 四、 解题后研究：任意写出两个方面即可(共2分)，以下四个仅供参考：

1. 题目中a ，b ，c 是轮换对称的，得到的对角线表达式对a ，b ，c 来

说也是轮换对称的。假如a ，b ，c 位置互换，表达式保持不变。

2. 这个题目和一道平面几何题相似：求一个两边a ，b 都给定的长方形

的对角线。假如原题中的高c 不断缩短，直至消失，那么得到的就

是长方形对角线公式。

3. 如果长方形的三个量a ，b ，c 都等比例增长，那么对角线也将以相

同的比例增长。

4. 在别的题目中运用原题得到的结果。

例如：给定长方体的长，宽和高，求长方体中心到一个顶点的距离。

解答：所求距离就是刚计算过的对角线的一半。 5、简答题

用数学归纳法证明

n

n n n n n ++++++=?-++?+?121112)12(1431211ΛΛ （5分）

答案：证明：（1）当1=n 时，左边21211=?=，右边21=，等式成立．（1分） （2）假设当k n =时，等式成立，即

.2121112)12(1431211k

k k k k +++++=?-++?+?ΛΛ则当1+=k n 时， )

22)(12(12)12(1431211+++?-++?+?k k k k Λ )

22)(12(1212111++++++++=k k k k k Λ 1

1221121213121++??? ??+-+++++++=k k k k k k Λ 2

21121213121+++++++++=k k k k k Λ )1)(1(1)1(12)1(11)1(1++++++++++++=

k k k k k k Λ （4分） 即当1+=k n 时，等式成立．

根据（1）、（2）可知，对一切*∈N n ，等式成立．

6、证明：圆周角是同弧所对的圆心角之半。（7分）

P 书

7、把右图中的花瓶剪2刀，再拼成一个正方形。并根据此说

明观察与实验在具体数学学习和解题中的作用。（得不出剪法，

可结合其他具体例子进行说明）（10分）

参考答案：剪法见下图。

→

→

→

具体说明言之成理且符合题意即可，没有固定的标准答案。

评分细则：1、未写，只写一个“解”字或“答”字，记0分；

2、有答题，但答案与题目完全不符，如抄歌词、默古诗等，看书写

情况给予适当辛苦分，记1—3分；

3、例举非题目例子展开答题，表述较完整合理，视情况记3—6分；

4、以题目例子展开答题且表述完整合理或结合其他例子表述且有说

服力，视情况记6—9分，剪法正确可加1—2分；

5、完全依照题目答题，剪法正确且说明完整合理，有信服力，记10

分。

8、论述题

以五年级应用题“人民小学食堂运来400千克大米，已经吃了五分之二，

还剩多少千克？”为例分析数学解题的一般程序。

答：（一）弄清楚问题：

问题为求剩余的大米千克数。

（二）分析和制定解题步骤：

本题可采用综合法来解题：

↘

↗

↗

-

（三）完成解题计划并检验

400×2/5=160(千克)

400—160=240（千克）

（四）解题后的研究：

题中的隐含条件是已经吃了的大米数量，引出混合式：400－400×2/5=240(千克)

评分标准：1、只解出该应用题，得3分；

2、解出应用题，并能简略写出四个一般程序得6分

3、解出应用题，写出四个一般程序，并能做出合理分析得