2020-2021学年人教版八年级数学下册课时作业：18.2.1 第2课时 矩形的判定

第2课时矩形的判定

知识点 1 有一个角是直角的平行四边形是矩形

1.如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,需要添加的条件是 ()

A.∠A+∠B=180°

B.∠B+∠C=180°

C.∠A=∠B

D.∠B=∠D

2.如图是一个平行四边形的活动框架,对角线是两条橡皮筋.若改变框架的形状,则∠α也随之变化,两条橡皮筋的长度也在发生改变.当∠α是度时,两条橡皮筋的长度相等.

3.如图所示,E是?ABCD的边AB的中点,且EC=ED.求证:四边形ABCD是矩形.

知识点 2 有三个角是直角的四边形是矩形

4.在数学课上,老师提出这样一个问题:如图,∠ABC=90°,如何找一点D使得四边形ABCD是矩形呢?小明的作法如下:过点C作BC的垂线,过点A作AB的垂线,两线交于点D,则四边形ABCD是矩形.

老师说:“小明的作法是正确的.”那么小明这样做的依据是.

5.如图,在?ABCD中,∠DAB,∠CBA的平分线交于点M,N是AB边上一点,NE⊥MA,NF⊥MB,垂足分别为E,F.求证:四

边形MENF是矩形.

知识点 3 对角线相等的平行四边形是矩形

6.在?ABCD中,AC,BD是对角线,如果添加一个条件,即可推出?ABCD是矩形,那么这个条件可以是()

A.AB=BC

B.AC=BD

C.AC⊥BD

D.AB⊥BD

7.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等,然后测量两条对角线是否相等,这样做的依据是.

8.已知两根长度相同的木棒的中点被捆在一起,如图所示拉开一个角度,判断四个顶点围成的四边形ABCD是一个什么图形,并证明.

9.下列关于矩形的说法中正确的是()

A.对角线相等的四边形是矩形

B.矩形的对角线相等且互相平分

C.对角线互相平分的四边形是矩形

D.矩形的对角线互相垂直且平分

10.以下条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是()

A.AB=CD,AD=BC,∠A=90°

B.OA=OB=OC=OD

C.AB=CD,AB∥CD,∠B=∠C

D.AB=CD,AB∥CD,OA=OC,OB=OD

11.如图,在矩形ABCD中,BC=20 cm,点P和点Q分别从点B和点D同时出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s,则最快s后,四边形ABPQ成为矩形.

12.如图,在平行四边形ABCD中,E,F为BC上两点,且BE=CF,AF=DE.

求证:(1)△ABF≌△DCE;

(2)四边形ABCD是矩形.

13.如图,在△ABC中,O是边AC上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠

ACD的平分线于点F.

(1)求证:OE=OF;

(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;

(3)连接AE,AF,当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?请说明理由.

答案

1.C

2.90

3.解析： 利用平行四边形的性质和已知条件证明△AED 与△BEC 全等,从而得到∠A=∠B=90°.

证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,

∴AD=BC ,AD ∥BC ,

∴∠A+∠B=180°.

∵E 是边AB 的中点,

∴AE=BE.

又∵ED=EC ,

∴△AED ≌△BEC ,

∴∠A=∠B=90°,

∴平行四边形ABCD 是矩形.

4.有三个角是直角的四边形是矩形

5.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,

∴AD ∥BC ,

∴∠DAB+∠CBA=180°.

∵∠DAB ,∠CBA 的平分线交于点M ,

∴∠MAB+∠MBA=12∠DAB+12∠CBA=90°,

∴∠AMB=90°.

∵NE ⊥MA ,NF ⊥MB ,

∴∠NEM=∠NFM=90°,

∴∠AMB=∠NEM=∠NFM=90°,

∴四边形MENF 是矩形.

6.B

7.两组对边分别相等的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形

解析： 先测量两组对边是否分别相等,若相等,则四边形为平行四边形,其根据是两组对边分别相等的四边形是

平行四边形.然后测量两条对角线是否相等,若对角线相等,则该平行四边形是矩形,其根据是对角线相等的平行四边形是矩形.

8.解:四边形ABCD 是矩形.

证明:∵O 是AC ,BD 的中点,

∴OA=OC ,OB=OD ,

∴四边形ABCD 是平行四边形.

又∵AC=BD ,

∴四边形ABCD 是矩形.

9.B

10.D 解析： 如图.

A .∵AB=CD ,AD=BC ,∴四边形ABCD 是平行四边形.

又∵∠BAD=90°,

∴四边形ABCD 是矩形,故本选项不符合题意.

B .∵OA=OB=OC=OD ,

∴四边形ABCD 是平行四边形,AC=BD ,

∴四边形ABCD 是矩形,故本选项不符合题意.

C .∵AB=C

D ,AB ∥CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形,∠ABC+∠DCB=180°.

∵∠ABC=∠DCB ,∴∠ABC=90°,∴四边形ABCD 是矩形,故本选项不符合题意.

D .∵AB ∥CD ,AB=CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形.根据OA=OC ,OB=OD 不能推出平行四边形ABCD 是矩形,故本选项符合题意.故选D .

11.4 解析： 设最快x s 后,四边形ABPQ 成为矩形,

此时BP=AQ ,则3x=20-2x ,

解得x=4.

故答案为4.

12.证明:(1)∵BE=CF ,BF=BE+EF ,CE=CF+EF ,

∴BF=CE.

∵四边形ABCD 是平行四边形,

∴AB=DC.

在△ABF 和△DCE 中,{AB =DC ,

BF =CE ,AF =DE ,

∴△ABF ≌△DCE (SSS).

(2)∵△ABF ≌△DCE ,∴∠B=∠C.

∵四边形ABCD 是平行四边形,

∴AB ∥CD ,

∴∠B+∠C=180°,

∴∠B=∠C=90°,

∴四边形ABCD 是矩形.

13.解:(1)证明:∵CF 平分∠ACD ,且MN ∥BD ,

∴∠ACF=∠FCD=∠CFO ,∴OF=OC.

同理可证∠OCE=∠OEC ,∴OC=OE ,

∴OE=OF.

(2)∵∠ACF=∠FCD=12∠ACD ,

∠ACE=∠BCE=12∠ACB , ∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=12(∠ACD+∠ACB )=90°, ∴EF=√CE 2+CF 2=√122+52=13.

在Rt △ECF 中,∵OE=OF , ∴OC=12EF=132.

(3)当点O 运动到AC 的中点处时,四边形AECF 是矩形.

理由:由(1)知OE=OF ,

当点O 运动到AC 的中点处时,有OA=OC , ∴四边形AECF 是平行四边形.

又∵∠ECF=90°,

∴平行四边形AECF 是矩形.