最新换元法及其应用

换元法及其应用

高一（2）班（C3）张宇绪论：目的在于总结数学解题方法，灵活运用换元法解题。

（一）选题引入

【例一】

其中(>1),则的值域是_______。

【分析】

一般得求出的值域比较容易，但当的自变量也是一个函数的时候求其值域相对比较困难，这时候换元法就大派用场了。

【解】

求的值域，首先要求出的表达式。

函数一般我们习惯还是用来表示，所以要把换成。

【例二】

解不等式：。

【分析】

这是包含对数函数的不等式，一般地对数函数或指数函数写起来都比较麻烦，当在一个等式或不等式中对数或指数出现次数很多的时候，一般可以考虑用换元法，把对数或指数换掉，这样可以简化计算的中间过程，减少因为写错写漏而引起的错误。

【解】

原不等式可以化为：

即，以2为底的对数函数是增函数。

，以2为底的指数函数是增函数。

变量代换的一个共同的特点是：尽可能让外表结构简单明白，尽可能将新鲜的问题转化到熟悉的老问题中去。换元法关键的一步是变量代换，如何选择，如何代换直接影响计算的复杂度，甚至影响到能否解决问题。

（二） 选题概述

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

（三） 选题分类

1、局部换元

又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

2、三角换元

应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝√1-X^2值域时，若x ∈[-1,1]，设x ＝sin α ，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换x ＝rco sθ、y ＝rsinθ化为三角问题。

3、均值换元

如遇到x ＋y ＝2S 形式时，设x ＝ S ＋t ，y ＝ S －t 等等。

（四） 换元法典型题归纳

1、整体换元

求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值.

解：设??t x x ?y x x t .2

1cos sin ),22(cos sin 2-=?≤≤-+=则 ?t t t y .1)1(2

12122-+=+-=故 当.221,2max +==??y ?t 时 2、三角换元 求函数25x x y -+=的值域.

解：令????x ],2

,2[,sin 5ππθθ-∈= ).4

sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5πθθθθθ+=+=+?=y 则

因为22πθπ≤≤-

， 所以.4

344ππθπ

≤+≤- 所以1)4sin(22≤+≤-πθ，得10)4

sin(105≤+≤-πθ 所以函数的值域为[10,5?

-]. 3、比值换元

已知x ，y ，z 满足x -1=

3221-=+z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最小值？

解：由比例可以设t z y x =-=+=-3

22111，则 222z y x ++22)12()1(-++=t t +.61014)23(22++=+t t t 当14

5-=t 时，即149=x ，712-=y ，222,14

13z y ??x z ++=时达到最小值. ○

4、不等量换元 求证：4

7)1(1131211122322<++++++n n . 证明：对通项公式进行变形

)1111(21)1)(1(11

1122+--?=+-=-

1(1131211122322<+-+-++<++++++n n n n （五） 分析结论

换元法贯穿于数学学习的始终，用这种方法可以让解题更具条理性；对于学生来

说，可以使思路更清晰，提高正确率；还有对于一些难题来说，换元法不失为一种捷径。

（六） 研究体会

数学虽为一门理科，但解题中的反复、归纳、积累是不可或缺的，生活中不经意的好习惯也许会成为你将来成功的筹码与阶梯。

云计算与云服务——试题及答案题库

一、判断题

1.各国政府都非常重视云计算产业发展，但并未在政府内部广泛推行云计算应用。 标准答案：错

2. ChristopherStrachey 发表虚拟化论文，虚拟化是今天云计算基础架构的基石。 标准答案：对

3.中国政府对云计算的定位是一种新“技术”。 标准答案：错

4. 云计算提供了服务水平协议（SLA ）以保证可用性，而网格计算并未提供。 标准答案：

对

5. 自主计算：具有自我管理功能的计算机系统。标准答案：对

6. 云计算是从网格计算演化而来的，能够随需应变地提供资源。标准答案：对

7. 云计算的消费者需要管理或控制云计算的基础设施，例如网络，操作系统、存储等。标准答案：错

8. 云计算是可伸缩的，网格计算不是可伸缩的。标准答案：错

9.半虚拟化技术是指虚拟机模拟了完整的底层硬件，包括处理器、物理内存、时钟、外设等。错！

10. SaaS的消费者需要管理或控制云计算的基础设施，例如网络，操作系统、存储等。标准答案：错

11. PaaS实质是将互联网的资源服务化为可编程接口。对。

12. 采用空气冷却的数据中心通常建在较高的维度上。对。

13. 全虚拟化同时能够支持多个不同的操作系统。对。

14. 操作系统虚拟化位于操作系统的底部。错。

15.异步消息通信机制，可以使得云计算每个层次中的内部组件之间及各个层次之间解耦合。对。

16.分布式文件系统基本上都有冗余备份机制和容错机制来保证数据读写的正确性。对。

17.云计算海量数据的处理对芯片只关心计算性能。错。

18. 云计算的硬件主要部署于数据中心。对。

19. 低功耗芯片是将来云计算芯片的主流，将是云计算芯片的主流发展方向。对。

20.阿里巴巴云OS是国内第二家以云计算技术为核心的，同时支持数据中心和手机终端的互联网平台。错。

二、单选题：

21.说法正确的是B。

A.网格计算提供通用的计算平台和存储空间，提供各种软件服务。错。

B。网格计算的目标是共享高性能计算能力和数据资源，实现资源共享和协同工作。对。

C云计算的资源来自不同机构。错。

D.网格计算的资源类型是异构资源。错

22.说法错误的是

A云计算平台可以灵活的提供各种功能。对。

B云计算平台需要管理人员手动扩展。错

C云计算平台能够根据需求快速调整资源。对

D用户可以在任何时间获取任意数量的功能。对