高中数学复习指导：直线与圆锥曲线问题之设而不求与设而求.doc

“设而不求”与“设而求”

一般地，我们解答直线与圆锥曲线问题，已经形成一种习惯，利用一元二次方程的判别式 研

究范围，利用根与系数的关系研究有关参数的关系，还美其名曰“设而不求”，事实上，“设而 求”也可能比“设而不求”更加简单，避开了一元二次方程的判别式与根与系数的关系研究有关 参数的关系，也许另有一种更好的解法等待着你去探究，不信请看下面的例题：

丫2

例1、己知椭圆方程为y+/=l,过定点P(0,2)的直线交椭圆于不同的两点A 、B (在

A 、P 之间)，且满足西=2顾，求的取值范围.

解析1：设AB 的方程为)=尬+ 2, A3」)，Ba ，%)，贝9

PA = (x },y }-2), PB = (x 2,y 2 -2),由 PB = ZPA ,得 X 2 1

3

由 Q + * '得(1 + 2比2)严+池+6二0.又△二64疋一24(1 + 2/)= 0>0,得k 2>~. y = kx + 2,

Sk

6 由根与系数关系，坷+禺=一 ，=

- 1+2F - 1 + 2亡 把七=2西代入坷+召=_] + 2加 有西(1+2) = _] +朮，(1)

6 0 6

把x 2=^代入“2=仃乔有彷=匚乔，(2)

由(1)、(2)可以消去西得到含有入比的关系式，这个过程比较复杂，这个关系式是

32k 2

(1+A)2 3 1 3(1+2/) 2 八 3 _― =—■—, 或者变为__+?7 =—石刁—= — ， 由* >二，可以求得

召=2坷，

y 2-2 = A(y l -2).

3(1+2Q A 32k「 16 32k~(1 + 久)「2

初于是建立了关于2的不等式 '2 v£,又0vQvl,解得£v2vl. 32K I O O (1+A ) O 3

当初没有斜率时，宀亍所以扫＜「

解析2：构造2 + ]=玉+玉=(召+兀T ,如此可以直接把年+召=一£「

/ x } x 2 x }x 2 l + 2k

6 1 ao&2 3

也=砲代入得到'+君茹莎r"込百-2,由解法1知：宀亍可以 求得2＜丐＜罟,又061,解得打＜1•当仙殳有斜率时，4,所以押＜1.

解析3：设人(西,刃),8也,％)，则

力4 =(兀[,刃一2), PB = (X 2,>2-2),由 PB = APA ,得v 4+^=i,

2 O 1

又人(召,刃)，3(%,%)在二+b=l 上，所以]2

2 - + ^=1.

〔2 -

事实上仅用以上这四个等式就可以求出2与西,必,兀2，%中任意一个的关系.

j 吕+*=1,⑴

F 字+(勿 _2Q +2)2=[.(2)

(l)x A 2

_(2)得：(Ay.)2 -(心 -22 + 2)2 = / 一 1, (22-2)(22^ -2A + 2) = -1,注意到0<2<1,所以4仇开 一2 + 1) = 2 + 1,解得

气J) _ 3

斥彳一3 1 ”=—,注意到—1S)[S1，所以—is — <1,解得一5/153,又0V/lvl,

1 4A 1 4

2 3

所以-<2<1. 3

解法评价：解法1与解法2都是利用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，是解析 几何常用的方法，但是用这种方法必须对直线方程进行讨论，还应注意，有些时候仅仅使用其中 的根与系数的关系而没有用根的判别式,但是由于根与系数的关系是从整体上建立有关系数的关 系的，所以无法保证实数根的存在性，因此一定要检验判别式大于零.解法3

32k 1 冷=岔，

y 2-2 = /l(y l -2).

全面利用向量共线所得到两个关系式（横坐标与纵坐标的关系都利用了，而解法1、2实际上只用了横坐标的关系）, 通过巧妙的解方程，最终把2看成常数，刃看成未知数，用久表示刃，进一步利用）｝的范围限定2的范围.对于这个题目来说，解法3优于解法1、2,因为这种解法避开了分类讨论（这是共线向量的作用），避开了根的判别式（另用了变量的范围，范围，也是圆锥曲线中建立不等式的常用方法，在变量易用参数关系表示的情况下比用判别式简单）•解法3虽然没有用整体思想（这里指解法1、2中对西+甩与丙吃的整体代入变形），但是计算量并不大，比解法1、2还要小，而且由于没有新的参数比，使得字母较少，变形的目标更加明确•因此我们解答直线与圆锥曲线的问题时，不要过分依赖一元二次方程根的判別式与根与系数的关系，当解方程组比较简单时，不妨直接求岀有关未知数的解，然后利用未知数的取值范I韦I建立不等式.

例2、如图1,已知椭圆长轴端点为A、B,眩EF与AB交于点D,原点0为椭圆中心，且

OD = 1, 2DE+DF = 0,乙FDO = =.求椭圆长轴长的取值范围.

4

2 2

解：设椭圆方程为刍+与=1 （d>b>0）,设由2旋+丽=0得: a

2 2 2 2

2（召 +1,必）+（左+1,%）二（0, 0）,即2xj +勺+3 = 0,2必 +% =0,又屯 + 仝=1,二 + 与=1. cr Zr lr 联立四个等式先消去 尼,％有：（2%弓3） +彗二］,再联立斗+艺二1消去刃可以解得 cr tr

a" tr

=~a ~3.又因为-a

4

（1）

71 又因为ZFDO = -f 所以EF 得方程为尸兀+ 1, Z ）代入»沪侮（咛讣+（三与

€/4-6（22+5＜0,解得 1 ＜（72 ＜5 （2） 由（1） （2）的1 ＜。＜亦，所以2v2av2亦，即椭圆长轴长的取值范围是（2,2亦）. 此题有关资料多用根与系数的关系建立之间的一个相等关系，有兴趣的读者可以用这个 方法解一解，并与上面的方法作比较，看看哪种方法更简单•笔者写此短文，不是贬低一元二次方 程的判别式与根与系数的关系的作用，而是告诉同学们，要善于观察思考，具体问题具体分析, 选用合理的方法，突破思维定势，提高创新思维能力. 一。2_3

-a 1 +1 由占=-^-'得 害+务6,又皿所以

3+3）2 |（/一］）2 去分母整理得: