特殊的平行四边形(知识点、例题、练习)

知识点

知识点1、平行四边形

1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2、性质：

（1）平行四边形两组对边分别平行。

（2）平行四边形的对边相等。

（3）平行四边形的对角相等。

（4）平行四边形的两条对角线互相平分。

（5）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

3、判定：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

知识点2、矩形

1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

2、性质：

（1）矩形的四个角都是直角。

（2）矩形的两条对角线相等。

（3）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形。

3、判定：

（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形。

（2）有三个内角是直角的四边形是矩形。

（3）对角线相等的平行四边形是矩形。

知识点3、菱形

1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、性质：

（1）菱形的四条边都相等。

（2）菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角。（3）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形。

3、判定：

（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（2）四条边都相等的四边形是菱形。

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

知识点4、正方形

1、定义：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形

2、性质：

（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

（2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角。 （3）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形。 3、判定：

（1）有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。 （2）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （3）有一个内角是直角的菱形是正方形。

例题

一、选择题

1、下列说法不正确的是（ ）

（A ）一组邻边相等的矩形是正方形 （B ）对角线相等的菱形是正方形 （C ）对角线互相垂直的矩形是正方形

（D ）有一个角是直角的平行四边形是正方形

2、如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则 BD ：AC 等于（ ）．

（A ）3：2 （B ）1：3 （C ）1：2 （D ）3：1

3、矩形的边长为10 cm 和15 cm ，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）

（A ）6 cm 和9 cm （B ）5 cm 和10 cm （C ）4 cm 和11 cm （D ）7 cm 和8 cm

4、如图，四边形ABCD 是菱形，过点A 作BD 的平行线交CD 的延长线于点E ，则下列式子不成立的是（ ）

（A ）DB=AE （B ）BD=CE （C ） 90=∠EAC （D ） E ABC ∠=∠2 5、菱形周长为20 cm ，它的一条对角线长6 cm ，则菱形的面积为（ ） （A ）6 （B ）12 （C ）18 （D ）24

6、矩形长是8cm ，宽是6cm ，和它面积相等的正方形的对角线的长是（ ）

（A）4 cm （B）43 cm （C）8 cm (D)82 cm

7、如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（）

A、AD=CF

B、BF=CF

C、AF=CD

D、DE=EF

二、填空题

9、如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．

10、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP 度数是．

11、如图所示，在正方形ABCD中，M是BC上一点，连结AM，作AM的垂线GH交于G，交CD于H，若AM＝10cm，则GH＝________。

12、正方形的边长a，则顺次连结四边中点

所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为________。

13、已知：如图，菱形ABCD中，

AC=16cm,BD=12cm,菱形的边长为________.

三、解答题

14、平行四边形的对角线AC的垂直平分线

交BC于E，交AD于F。求证：四边形AECF为菱形。

15、如图，已知平行四边形ABCD ，DE 是ADC ∠的角平分线，交BC 于点E ． （1）求证：CD=CE ；

（2）若BE=CE ，090=∠B ，求DAE ∠的度数．

E

D

C

B

A

16、如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD ∠，CE AD ∥交AB 于

E ．

（1）求证：四边形AECD 是菱形；

（2）若点E 是AB 的中点，试判断ABC △的形状，并说明理由．

（提示：三角形中，一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形）

17、正方形ABCD 的边长为2cm ，E 为AD 中点，BF ⊥EC 于F ，求BF 的长。 （提示：面积法）

当堂练习

（一）选择题

1、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）。

A 、BD AC =，CD A

B // B 、B

C A

D //，C A ∠=∠ C 、DO CO BO AO ===，BD AC ⊥ D 、CO AO =，DO BO =，BC AB = 2、矩形的两条对角线所成的钝角是120°，若一条对角线的长为2,那么矩形的周长为（ ） A 、6

B 、5.8

C 、2（1+ 3 ）

D 、5.2

3、如图，菱形ABCD 的周长为8,两邻角的比为2∶1，则对角线的长分别为（ ）

A

B

C

D

O

B E

D

C

F

A

A 、4和2

B 、1和2 3

C 、2和2 3

D 、2和 3

4、如图，矩形ABCD 的对角线AC 的中垂线与AD 、BC 分别交于F 、E,则四边形AFCE 的形状最准确的判断是（ ） A 、平行四边形

B 、菱形

C 、矩形

D 、正方形

5、如图，设F 为正方形ABCD 的边AD 上一点,CE ⊥CF 交AB 的延长线于E,若S 正

方形ABCD

=64，S △CEF =50，

则S △CBE =（ ） A 、20

B 、24

C 、25

D 、26

6、如图，在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上一动点,PF ⊥AC 于F,PE ⊥BD 于E,则PE+PF 的值为（ ） A 、

12

5

B 、135

C 、52

D 、2

（二）填空题

7、已知一个菱形的面积为8 3 ㎝2，且两条对角线的比为1∶ 3 ，则菱形短的对角线长为_________。

8、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，则它的面积为____________________。

9、在Rt △ABC 中,斜边AB 上的中线长为3,则AC 2+BC 2+AB 2= ______________________。

10、菱形的一边与两条对角线所构成的两角之比为5∶4，则它的各内角度数为

第4题

第5题 第6题

第3题

___________________。

11、如图,矩形ABCD 中,AE 平分∠BAD 交BC 于E,∠CAE=15°，则下列结论①△

ODC 是等边三角形；

②BC=2AB ；③∠AOE=135°；④S △AOE =S △COE ，其中正确的结论的序号是 ___________________。

12、如图,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和9,则阴影部分的面积为 ______________。

13、点M 为矩形ABCD 的边AD 的中点,P 为BC 上一点,且PE ⊥MC,PF ⊥MB,当AB 、AD 满足条件__________时,四边形PEMF 是矩形。

14、如图,E 是正方形ABCD 内一点,如果△ABE 为等边三角形,那么∠DCE= _______________。 （三）解答题

15、已知：如图，在□ABCD 中，O 为边AB 的中点，且∠AOD=∠BOC ．求证：□ABCD 是矩形．

16、已知菱形ABCD 中，AC 与BD 相交O 点，若∠BDC=030,菱形的周长为20厘米，求菱形的面积.

A

B

C

D

O

E 第11题图

第12题图

9 4 A

B

C

D

E

第14题图

第13题

A

B

C

D

O B

A

C

D

O

17、如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，BE=CF. （1） AE 与BF 相等吗？为什么？ （2） AE 与BF 是否垂直？说明你的理由。

A B

C

D

E

F G

18、如图，在正方形ABCD 中，取AD 、CD 边的中点E 、F ，连接CE 、BF 交于点G ，连接AG 。试判断AG 与AB 是否相等，并说明道理。

A

B C

D E G

F

19、如图，正方形ABCD 中对角线AC 、BD 相交于O ，E 为AC 上一点，AG ⊥EB 交EB 于G ，AG 交BD 于F 。 (1)说明OE=OF 的道理；

(2)在（1）中，若E 为AC 延长线上，AG ⊥EB 交EB 的延长线于G ，AG 、BD 的延长线交于F ，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF ”还成立吗？请说明理由。

A B

C

D

O

E F G

A B C

D

O

E F

G

课后作业

1、菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OA ︰OB=1︰2，且菱形的周长为20，则这个菱形的面积为 ( )

A.18

B.20

C.25

D.16

2、如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )

A ．DE 是△ABC 的中位线

B ．AA '是B

C 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高

D ．AA '是△ABC 的角平分线

A

B

C

D

E

A '

3、如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )

A ．210cm

B ．220cm

C ．240cm

D ．280cm

A

B

C

D

4、若菱形的边长为1cm ，其中一内角为60°，则它的面积为 ( ) A ．

2

3cm 2

B ．23cm

C ．22cm

D ．223cm 5、一个菱形两条对角线之比为1︰2，一条较短的对角线长为4cm ，那么菱形的边长为( )

A ．2cm

B ．4cm

C ．(225)cm

D ．25cm

6、分别以三角形ABC 两边向形外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，求证：BG=CE 。

7、如图，正方形ABCD 对角线BD 、AC 交于O ，E 是OC 上一点，AG ⊥DE 交BD 于F ， 求证：EF ∥DC 。

8、如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点E ，F 在直线AB 上，且AE=AB=?BF ，?连结CE ，DF 分别交AD ，BC 于点M ，N ． （1）求证：四边形DMNC 是平行四边形；

A B

C

D E F G O A B C D E F

G

（2）若要使四边形DMNC 为菱形，则还需增加什么条件？请写出此条件，并证明之．

9、矩形ABCD 中，E 是CD 上一点，且AE=CE ，F 是AC 上一点AE FH ⊥于H ，

CD FG ⊥于G ，

求证：AD FG FH =+

D

A

E G

C

B

F

H