利用全等三角形证明线段的和差关系

利用全等三角形证明线段的和差关系

证明形如a = b+c 的线段等式时，通常有如下三种方法：

1、直接证法（线段转换）：三角形或等角对等边进行证明•若题中出现或可证出两三角形

全等，则通过全等把结论中的三条线段转化到同一条直线上，这样证明线段的和差问题就转化为求证线段相等的问题.

例 1.如图，在△ ABC 中,/BAC=90 ° , AB=AC,DE 过点 A,BD 丄 DE, CE 丄DE,求

证:DE=BD+CE

例2.在厶ABC中，ZBAC=90 °,AB=AC, AE 是过点A的一条直线，且 B、C分别在AE的异

侧,BD丄AE于点D, CE丄AE于点E, a

求证:BD=DE+CE 久

2、截长补短法

一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这三条线段不在同一直线上时，一般方

法是截长法或补短法。截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，常用来证明线段之间的

和差关系•

(一)截长法：在长边上截取一条与某一短

边相同的线段，证剩下的线段与另一线段相等

(二)补短法

(1) 将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

(2) 通过旋转等方式使两短边拼合在一起.

例3、如图，在四边形 ABCD中，BC> BA,AD = CD , BD平分ABC ,

求证：A C 1800

C 例4.如图，在梯形 ABCD中，如图，A

D //BC, EA,EB分别平分/ DAB, ZCBA, CD过点E,

求证;AB = AD+BC

例5、如图，P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，AQ平分/ PAD.

求证：AP=BP+DQ.

3、借助面积：利用几何图形的总面积 =各部分面积之和及三角形的面积公式求解

例6.如图，在A ABC中，已知AB=AC,P 为BC上任一点，PE丄AB于E, PF

丄AC于F. CD为AB边上的高，D是垂足•求证：PE+PF=CD.

训练题：

1. 已知△ ABC和ABED都是等边三角形,且A、E、D在一条直线上.求证:AD=BD+CD.

已知AABC 为等边三角形， D 为BC 的延长线 上一点,

CE = AC + DC

如图，在A ABC 中，AD 为/BAC 的平分线， AB=AC+CD. 求Z B :Z C 的值.

2、如图， ABC 中，AB=2AC , AD 平分 BAC ，且 AD=BD ，求证：CD 丄 AC

△ADE 也是等边三角形.求证:

5. 如图，已知在厶 ABC 中，/A=108 °,AB=AC，/

B的平分线交 AC于D，求证：AC+CD=BC

6. 已知：如图，△BDE是等边三角形，A在BE的延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC,

求证:DE + DC = AE.

7.已知Rt△ABC中，/BAC=90 °,AB=AC,点D是 AC的中点，AE丄BD于点E,AE的延长线交

BC于点F,连结DF,求证: BD = AF +DF.

如图，已知：△ ABC中,

的

延长线于点M.求证:

AD是ZA的平分线，且AB=AD , CM 丄 AD ,交 AD

AM = (AB+AC)/2