专题01 曲线和方程(训练篇B)含详解-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

专题01曲线和方程 训练篇 B

1.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120，则E 的离心率为

A.5

B.2

C.3

D.2

分析 要求e ，不一定要清楚a 和c ，可以求出a ，c 之间的关系，在转化为e 的方程或等式.

解1 设双曲线方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>. 如图所示，||||AB BM =，120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在△BMN 中，由于|BM |=|AB |=2a ，则||BN a =，

||3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得

2

2

2

2

a b c a ==-，即2

2

2c a =，所以2e =.

解2 如图所示，不妨设点M 在第一象限，则直线AM 的方程

3:()AM

l y x a =+，直线BM 的方程:3()BM l y x a =-，联立解得23x a

y a

=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点

M 的坐标为(2,3)M a a ，以下同解1.

2.双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，

点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________.

解 不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所示.

因为OABC 为正方形，2=OA ，所以22==c OB ，

π

4

∠=

AOB . 因为直线OA 是渐近线，方程为=

b

y x a

，所以tan 1=∠=b

AOB a

. 又222

8+==a b c ，所以2=a .

3.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=

42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

解 因为抛物线焦点到准线的距离为p ，所以只要求出p ，因D 在圆上，A 既在圆上，又在抛物线上，从而可以得到三个方程，不妨设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为

222x y r +=，作出示意图如图所示.

O

C

B

A

y x

F

A -1

B 1M

N x

y

-2-4-3234O

1

234

-1

-2-3-4

由已知可设 (0A x ，2p D ⎛- ⎝，

由于点(0A x 既在抛物线22y px =上，又在圆222x y r +=上，所以 082px = … ①

2

208x r += … ②

又点2p D ⎛- ⎝在圆C 上，则2

252p r ⎛

⎫+= ⎪⎝⎭

…③

联立①②③解得：4p =，所以，焦点到准线的距离为4p =，故选B ．

4． 设椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶

点为B .已知123

2

AB

F F . （1）求椭圆的离心率；

（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的123

2

F F 223b c ，把2

2

2

a c 代入上式，平方整理得12

a .所以，椭圆的离

心率22

e

. （2）由（1）知2

22a c ，2

2b

c ，故椭圆方程为2

22

2

12x y c

c .

设00,P x y .由1

,0F c ，0,B c ，则100,F P x c y ，1,F B

c c .

由已知，有110FP FB ，即000x c c

y c

.

因0c

，所以0

0x y c

. ①

又因为点P 在椭圆上，故2

2

002

2

12x y c

c . ②

由①和②可得2

0340x cx ，而点P 不是椭圆的顶点，故00x ，所以0

43

c

x ，代入①得0

3c

y ，即点P 的坐标为4,33

c c .

设圆的圆心为11,T x y ，则

1

40

2

32

3

c x c ，12

32

3

c c

y c ，进而圆的半径2

2

1

1

50

3

r

x y c

c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx .

由于l 11y r 2

2233

53

1

c c k

c k ， 整理得2

810k

k ，解得415k .

所以，直线l 的斜率为415或415.

5.如图，曲线C 由上半椭圆22

122:1(0,0)y x C a b y a b

+=>>≥和部分

抛物线

22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其

中1C 的离心率为

2

. （1） 求,a b 的值；

（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ）， 若

AP AQ ⊥

，求直线l 的方程.

解

（1）由图可知，抛物线过点(1,0),(1,0)A B -，所以1b =.

又

2

22c a b c a ==+，解得22,1,3a b c ===，所以椭圆 方程为2

21

4

y x +=. （2）设过(1,0)

B 的直线方程为(-1)y k x =（0k ≠）与椭圆方程

214

y

x +=联立，并