集合之间的关系教案
§1.2集合之间的关系与运算
1.2.1 集合之间的关系
【学习要求】
1.理解子集、真子集、两个集合相等的概念．
2.掌握有关子集、真子集的符号及表示方法，能利用Venn图表达集合间的关系．
3.会求已知集合的子集、真子集．
4.能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号准确地表示出来．
【学法指导】
通过使用基本的集合语言表示有关的数学对象，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义；培养用集合的观点分析问题、解决问题的能力；学习用数学的思维方式解决问题、认识世界.
填一填：知识要点、记下疑难点
1.子集：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B或
B?A，读作“A包含于B”，或“B包含A”．
2.子集的性质：①A?A(任意一个集合A都是它本身的子集)；②??A(空集是任意一个集合的子集)．
3.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记
作A B (或B A)，读作“A真包含于B”，或“B真包含A”．
4.维恩图：我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图 .
5.集合相等：一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的
元素，我们就说集合A等于集合B ，记作A＝B .用数学语言表示为：如果 A?B ，且 B?A ，那么A＝B .
6.一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A?B，则x∈A?x∈B，即 p(x)?q(x) .反之，如果p(x)?q(x)，
则 A?B
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 已知任意两个实数a，b，则它们的大小关系可能是a
探究点一子集与真子集的概念
导引前面我们学习了集合、集合元素的概念以及集合的表示方法．下面我们来看这样三组集合：
(1)A＝{1,3}，B＝{1,3,5,6}；(2)C＝{x|x是长方形}，D＝{x|x是平行四边形}；(3)P＝{x|x是菱形}，Q＝{x|x
是正方形}．
问题1 哪些集合表示方法是列举法？哪些集合表示方法是描述法？
答：集合A，B的表示是用列举法；集合C，D，P，Q的表示是用描述法．
问题2 这三组集合每组彼此之间有何关系？
答：集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，集合C中的任意一个元素都是集合D的元素，集合Q中的任意一个元素都是集合P的元素．
小结：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A?B 或B?A，读作：A包含于B或B包含A.
问题3 类比表示两集合间子集关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处？
答：在实数中如果a大于或等于b，则a，b的关系可表示为a≥b或b≤a；
在集合中如果集合A是集合B的子集，则A，B的关系可表示为A?B(或B?A)．
所以这是它们的相似之处．
问题4在导引中集合P与集合Q之间的关系如何表示？
答：集合P不包含于Q，或Q不包含P，分别记作P Q或Q P.
问题5 空集与任意一个集合A有什么关系，集合A与它本身有什么关系？
答：(1)空集是任意一个集合的子集；
(2)任何一个集合A是它本身的子集．
问题6对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么集合A与C有什么关系？
答：A与C的关系为A?C.
问题7“导引”中集合A中的元素都是集合B的元素，集合B中的元素不都是集合A的元素，我们说集合A是集合B的真子集，那么如何定义集合A是集合B的真子集？
答：如果说集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作：A B(或B A)，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
问题8 集合A，B的关系能不能用图直观形象的表示出来？
答：能．我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图．
问题9 如何用维恩(Venn)图表示集合A是集合B的真子集？
答：如图所示：
例1 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．
分析：为了一个不漏地写出集合A＝{1,2,3}的所有子集，可以分类写，即空集，含一个元素的子集，含两个元素的子集，含三个元素的子集．
解：集合A的所有子集是：?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．
在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．
小结：集合A＝{1,2,3}中有三个元素，其子集的个数为8个，即23个，事实上，如果一个集合含有n个元素，则它的子集个数为2n个．
跟踪训练1 写出满足{3,4}P?{0,1,2,3,4}的所有集合P.
解：由题意知，集合P中一定含有元素3,4并且是至少含有三个元素的集合．
此所有满足题意的集合P为{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．
探究点二集合的相等
问题1 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？
(1)集合C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；
(2)集合C＝{2,4,6}，D＝{6,4,2}；
(3)集合A＝{x|(x＋1)(x＋2)＝0}，B＝{－1，－2}．
答：可以看出每组的两个集合的元素完全相同，只是表达形式不同．
问题2与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？
答：若A?B，且B?A，则A＝B.
小结：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，同时集合B的每一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A＝B.即：如果A?B，且B?A，那么A＝B.
例2 说出下列每对集合之间的关系：
(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5}；
(2)P＝{x|x2＝1}，Q＝{x||x|＝1}；
(3)C＝{x|x是奇数}，D＝{x|x是整数}．
解(1)B A；
(2)P＝Q；
(3)C D.
小结：在两个集合A，B的关系中，有一个集合是另一个集合的“子集”；或一个集合是另一个集合的“真子集”；或两个集合“相等”；另外还可能有“集合A不包含于B”或“集合B不包含于A”．
跟踪训练2 用适当的符号(∈，?，＝，，)填空：
(1)0______{0}；0______?；?______{0}；
(2)?______{x|x2＋1＝0，x∈R}； {0}______{x|x2＋1＝0，x∈R}；
(3)设A＝{x|x＝2n－1，n∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，C＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，则A______B______C.
解析(1)0∈{0},0??，?{0}；
(2)?＝{x|x2＋1＝0，x∈R}，{0}{x|x2＋1＝0，x∈R}；
(3)A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C.
探究点三集合关系与其特征性质之间的关系
问题1 已知集合A的特征性质为p(x)，集合B的特征性质为q(x)．“如果p(x)，那么q(x)”是正确命题，试问集合A和B的关系如何？并举例说明．
答：集合A是集合B的子集，例如Q＝{x|x是有理数}，P＝{x|x是实数}，易知Q?P，
也容易判断命题“如果x是有理数，则x是实数”是正确命题．
这个命题还可以表述为：x是有理数?x是实数，符号“?”表示推出．
小结：一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A?B，则x∈A?x∈B，即p(x)?q(x)．反之，如果p(x)?q(x)，则A?B.
问题2 如果命题“p(x)?q(x)”和命题“q(x)?p(x)”都是正确的命题，那么怎样表示p(x)，q(x)的关系？
答：p(x)?q(x)，符号“?”表示相互推出．
例3 判定下列集合A与集合B的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x>3}，B＝{x|x>5}；
(3)A＝{x|x是矩形}，B＝{x|x是有一个角为直角的平行四边形}．
解：(1)因为x是12的约数?x是36的约数，所以A?B；
(2)因为x>5?x>3，所以B ?A ；
(3)因为x 是矩形?x 是有一个角为直角的平行四边形，
所以A ＝B.
小结：当判定用特征性质描述法表示的两个集合关系时，一是可用赋值法，二是从两集合元素的特征性质p(x)入手，通过整理化简，看是否是一类元素．
跟踪训练3 确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系：
(1)A ＝{n|n ＝2k ＋1，k∈Z}和B ＝{m|m ＝2l －1，l∈Z}；
(2)C ＝{n|n ＝2k ＋1，k∈N *}和D ＝{m|m ＝2l －1，l∈N *}．
解 (1)当k∈Z ，l∈Z 时，n ＝2k ＋1?m ＝2l －1，
所以A ＝B ；
(2)当k∈N *，l∈N *时，n ＝2k ＋1?m ＝2l －1，所以C ?D.
练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.下列命题：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若?A ，则A≠?.
其中正确的个数是 ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：由于任何集合都是它本身的子集，故①错；
空集只有一个子集就是它本身，故②错；
空集是任何非空集合的真子集，故③错；
2.满足条件{1,2}M ?{1,2,3,4,5}的集合M 的个数是 ( )
A ．3
B ．6
C ．7
D ．8
解析：M 中含三个元素的个数为3，M 中含四个元素的个数也是3，M 中含5个元素的个数只有1个，
因此符合题意的共7个．
3．若集合{2x ，x ＋y}＝{7,4}，则整数x ，y 分别等于__________．
解：由集合相等的定义得????? 2x ＝7x ＋y ＝4或?????
2x ＝4x ＋y ＝7， ∴????? x ＝72舍y ＝12或????? x ＝2y ＝5.
∴x，y 的值分别是2,5.
4.观察下面几组集合，集合A 与集合B 具有什么关系？
(1)A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2,3,4,5}．
(2)A ＝{x|x>3}，B ＝{x|3x －6>0}．
(3)A ＝{正方形}，B ＝{四边形}．
(4)A ＝{育才中学高一(11)班的女生}，B ＝{育才中学高一(11)班的学生}．
解：通过观察就会发现，这四组集合中，集合A 都是集合B 的一部分，从而有A ?B.
课堂小结：
1.能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；注意：子集并不是由原来集合中
的部分元素组成的集合．
2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3.注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”．
4.注意区分“∈”与“?”的不同涵义.
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