医学高等数学习题解答(1-2-3-6).

第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)

一、判断题题解

1. 正确。设h (x )=f (x )+f (-x ), 则h (-x )= f (-x )+f (x )= h (x )。故为偶函数。

2. 错。y =2ln x 的定义域(0,+∞), y =ln x 2的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)。定义域不同。

3. 错。+∞=→201lim x

x 。故无界。 4. 错。在x 0点极限存在不一定连续。

5. 错。01lim =-+∞→x

x 逐渐增大。 6. 正确。设A x f x x =→)(lim 0

，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有εε+<<-A x f A )(。 7. 正确。反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x )-f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而g (x )在x =x 0处也连续，与已知条件矛盾。

8. 正确。是复合函数的连续性定理。

二、选择题题解

1. ())( 22)]([,2)(,)(222D x f x x x f x x

x ====??

2. y =x (C )

3. 01sin

lim 0=→x

x x (A ) 4. 0cos 1sin lim 0=→x x x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 1

1111f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++-- (B ) 6. 3092

-x x (D )

7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是-10。 (A )

8. 设1)(4--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。 (D ) 三、填空题题解

1. 210≤-≤x ?31≤≤x

2. )arctan(3x y =是奇函数，关于原点对称。

3. 31=ω,πω

π62==T 。 4. y x -=,可以写成x y -=。

5. 设6

t x =，1,1→→t x ，3211lim 11lim 21321=+++=--→→t t t t t t t 6. 2arctan π

≤x 有界，01lim =∞→x

x ，故极限为0。 7. 42

)

2sin(2lim )2sin(4lim 222=--+=--→→x x x x x x x 8. c x c x c x x b ax x ++-=+--=++)1())(1(22?)1(,+-==c a c b ,而5)(lim 1

=+-→c x x ，得c =6, 从而b =6, a=-7。

9. 1sin sin 101

0)sin 1(lim )sin 1(lim --?-→→=-=-e x x x x x x x x 10. 5

2522cos 15sin 522sin lim 5sin 2cos 2sin lim 5sin 2tan lim

000=???=?=→→→x x x x x x x x x x x x x 11. 设u =e x -1，1ln 1)1ln(1lim )1ln(lim 100==+=+→→e u u u u u u 12. 由0=x 处连续定义，1lim )(lim 0

0===+-+→→x x x e a x a ，得：a =1。 四、解答题题解

1. 求定义域

(1) ???≥-≥????≥-≥0

)1(000x x x x x x , 定义域为),1[+∞和x=0 (2) ??

???≥-≤-0251512x x ????≤≤-≤≤-5564x x ?定义域为]5,4[- (3) 设圆柱底半径为r ，高为h ，则v=πr 2h , 2r v h π=，则罐头筒的全面积??? ?

?+=+=r v r rh r S 22222πππ，其定义域为(0,+∞)。

(4) 经过一天细菌数为)1(0001r N r N N N +=+=，经过两天细菌数为2

01112)1()1(r N r N r N N N +=+=+=,故

经过x 天的细菌数为x r N N )1(0+=，其定义域为[0,+∞)。

2. 12)(+-=x x x f ，41222)2(-=+---=-f ，)1( 1

2)(-≠+++-+=+b a b a b a b a f 。 3. u e y =,x

t t v v u 1,sin ,3===。 4. 证明：)1()()1ln(ln )1(ln )]1([++=++=+=+x f x f x x x x x x f 。

5. 令x +1=t , 则x=t -1。?

??≤<-≤≤-=???≤-<-≤-≤-==+32 , )1(221 , )1(211 , )1(2110 , )1()()1(22t t t t t t t t t f x f ，所以：?

??≤<-≤≤-=32 , )1(221 , )1()(2x x x x x f 。 6. 求函数的极限

(1) 原式=343/113

112/1121

1lim 11

=----

++→∞n n n 。 (2) 原式=??

??????? ??+-++??? ??-+??? ??

-∞→1113121211lim n n n =1111lim =??? ??+-→∞n n 。 (3) 原式=3211)1(3lim x x x x -++-→=112lim )1)(1()2)(1(lim 2

121=+++=++-+-→→x x x x x x x x x x 。 (4) 原式=31323322lim =+??

? ??+??

? ??∞→n n n 。 (5) 原式=20sin 2sin 2lim

x x x x →=4sin 22sin 4lim 0=??→x

x x x x 。（P289常见三角公式提示） (6) 原式=x x x x x arctan arcsin lim 210?→，令t x =arcsin ，则x t =sin ，1sin lim arcsin lim 00==→→t

t x x t x 令t x =arctan ，则x t =tan ，1cos sin lim tan lim arctan lim 000=?==→→→t t t t t x x t t x ，原式=21。 (7) 原式=()3tan 31202tan 31lim ?→+x x x =()3

tan 31202tan 31lim ??? ??+→x x x = e 3。 (8) 原式=122121221lim -?+→∞??? ??

++x x x =2

2121221lim ????? ????? ??+++∞→x x x ?11221lim -→∞??? ??++x x = e 2。

(9) 原式=)1sin 1(2sin 2sin lim 20++→x x x x x x =11

sin 112sin 2sin lim 220=++?????? ??→x x x x x x x 。 (10) 令a x t -=，则t a x +=，原式=a t a t e t

e e =-→)1(lim 0(填空题11)。 7. 221233sin 21a a a S =?=π，242233sin 2221a a a S =??=π，262232

33sin 2221a a a S =??=π，?， 2211233sin 2221a a a S n n n n =??=--π, ??? ??+++=n a S 414141322 =)(334

1141141322∞→→-??? ??-n a a n 8. 指出下列各题的无穷大量和无穷小量

(1) 0cos 1sin lim

0=+→x

x x ，为无穷小量。 (2) 01arctan lim 2=+→∞x x x ，为无穷小量。 (3) 0sin lim =?-∞→x e x

x ，为无穷小量。 (4) ∞=+→x

x x sin 1lim 0，为无穷大量。 9. 比较下列无穷小量的阶

3111lim 31=--→x x x ，1)1(2

11lim 21=--→x x x ，当x →1时，1-x 与1-x 3是同阶无穷小。1-x 与)1(212x -是等阶无穷小。 10. 当x →0时，x 2是无穷小量，当x →∞时，x 2是无穷大量；当x →±1时，321x x -是无穷小量，当x →0时，321x

x -是无穷大量；当x →+∞时，e -x 是无穷小量，当x →-∞时，e -x 是无穷大量。

11. 16319)112()132()1()3(22=-=+?-+?=-=?f f y 。 12. 1sin lim 0=-→x x x ，b b x x x =??

? ??++→1sin lim 0，∴b =1，2)0(+=a f =1，∴a=-1 13. []2211112

1

)1(1lim lim e x x x x x x =??? ??-+=-→-→，2 , )1()(lim 21=?=∴=→k e e f x f k x 14. 设2)(-=x e x f ，01)0(<-=f ，02)2(2>-=e f ，由介质定理推论知：在(0,2)上至少存在一点x 0