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中考专题复习——相似三角形

一. 选择题

1. （山东省潍坊市）如图 ,Rt △ABAC 中 ,AB ⊥AC,AB=3,AC=4,P 是 BC 边上一点 , 作 PE

⊥AB 于 E,PD ⊥ AC 于 D,设 BP=x,则 PD+PE=（

）

3B.

4 x

7 D.

12x 12x 2 5

5 25

A D

2。( 乐山市 ) 如图（ 2），小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在

离网 6 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为（）

A 、

B 、 1

C 、

D 、

h 米

0.8 米

6 米

4 米

3．（2020 湖南常德市）如图 3，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：

（1）DE=1，（ 2）AB 边上的高为 3 ，（ 3）△ CDE ∽△ CAB ，（ 4）△ CDE 的面积

与△ CAB 面积之比为

1：4. 其中正确的有

（）

A ．1 个

B ． 2 个

C ．3 个

D ． 4 个

D E

A B

图3

4.(2020 山东济宁 ) 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，

发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q点

时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯 BD 的底部，已知丁轩同学的身高是

1.5m，两个路灯的高度都是 9m，则两路灯之间的距离是（）D A．24m B．25m

C．28m D．30m

5. （ 2020 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）B

A ．B．C．D．

6.(2020重庆)若△ ABC∽△DEF，△ ABC与△ DEF的相似比为2︰3，则 S△ABC︰S△DEF 为（）

A、2∶3

B、4∶9

C、 2 ∶3

D、3∶2

7.(2020 湖南长沙 ) 在同一时刻，身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为0.8 米，

一棵大树的影长为 4.8 米，则树的高度为（） C

A、4.8 米

B、 6.4 米

C、9.6 米

D、10 米

8．（ 2020 江苏南京）小刚身高 1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为 0.85m。紧

接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A

A.0.5m

B.0.55m

C.0.6m

D.2.2m

9．（2020 湖北黄石）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影

部分）与左图中△ ABC 相似的是（）B

B C A ．B．C． D ．

10．（ 2020 浙江金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图, 点 P 处放一水平的平面镜 , 光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端 C 处，已知 AB⊥BD，CD⊥ BD，且测得 AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）B

A、6 米 B 、8 米 C 、18 米 D、 24 米

11、（ 2020 湖北襄樊）如图1, 已知 AD与 VC相交于点 O,AB//CD, 如果∠ B=40°,

∠D=30° , 则∠ AOC的大小为（）B

A.60°

B.70°

C.80°

D.120°

12.（2020 湘潭市）如图，已知 D、E 分别是ABC的 AB、 AC 边上的点，DE BC,

且 S V ADE S

四边形 DBCE

那么 AE : AC 等于（） B

A．1 :

．:

B 1

C 1

D 1

D E

B C

13.(2020台湾)如图G是ABC的重心，直线L 过 A 点与 BC平行。若直线CG分

别与 AB、 A L 交于 D、E 两点，直线BG与 AC交于 F 点，则AED的面积：四边形ADGF的面积 =？

( ) D

(A) 1 ： 2 (B) 2 ： 1 (C) 2 ： 3 (D) 3 ：2

E A

D G F

B C

14.(2020 台湾 ) 图为ABC

与

DEC重迭的情形，其中 E 在 BC上， AC交 DE于

点，且 AB // DE。若ABC

与DEC的面积相等，且 EF=9，AB=12，则 DF=？

( ) B

B C

(A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15。

15.（2020 贵州贵阳 )6 ．如果两个相似三角形的相似比是 1: 2 ，那么它们的面积比是（） 1: 2B． 1: 4C．1:2D． 2 :1

16.（2020 湖南株洲）如图，在ABC 中， D 、E 分别是 AB 边的中点，若 BC 6 ，则 DE 等于（）

A．5 B．4

C．3 D．2

二、填空题

1. （江苏省南通市）已知∠A＝40°，则∠ A 的余角等于＝、AC

D E

B C

第 4 题

________度.

2.（ 08 浙江温州）如图，点A1，A2，A3，A4在射线 OA 上，点B1，B2，B3在射线 OB 上，

且 A1 B1∥ A2 B2∥ A3 B3， A2 B1∥ A3 B2∥ A4 B3 ．若△ A2B1B2，△ A3B2 B3的面积分别为1，

4，则图中三个阴影三角形面积之和为D

．

B E

B C

B2 4

B1 1

A1 A2 A3 A4 A

3. （ 2020 福建省泉州市）两个相似三角形对应边的比为6，则它们周长的比为

________。

4. （浙江省衢州市）如图，点D、 E 分别在△ ABC的边上 AB、AC上， A

且AED ABC ，若 DE=3，BC=6，AB=8，则 AE的长为 _________

5.( 辽宁省十二市 ) 如图 4， D，E 分别是△ ABC 的边 AB，AC 上的点，D E

B C

2 ，则 S△ADE : S△ABC ．图 4

DE ∥ BC ，

6.( 天津市 ) 如图，已知△ABC 中， EF∥ GH∥ IJ ∥ BC，则图中相似三角形共有对．

E F

G H

I J

B C

7.(2020新疆乌鲁木齐市)我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体

的高度，阳阳的身高是 1.6m，他在阳光下的影长是 1.2m，在同一时刻测得某棵树的

影长为 3.6m，则这棵树的高度约为m．

8.（ 2020 江苏盐城）如图， D，E 两点分别在△ ABC 的边 AB，AC 上， DE 与 BC 不平行，当满足条件（写出一个即可）时，△ ADE∽△ ACB．

B C

第1 题图

9．（2020 泰州市）在比例尺为 1︰2000 的地图上测得 AB两地间的图上距离为 5cm，则 AB两地间的实际距离为m．

10. （杭州市） . 在 Rt△ ABC中，∠ C为直角， CD⊥ AB于点 D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是和；并写出它的面积比.

A B

三、简答题

1．（陕西省）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量

一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带

了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在

他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种．．测量方案．

（1）所需的测量工具是：；

第 1 题图（2）请在下图中画出测量示意图；

（3）设树高 AB 的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x ．

2．（江苏省南通市）如图，四边形ABCD中， AD＝CD，∠ DAB＝∠ ACB＝90°，过点D 作 DE⊥AC，垂足为 F，DE与 AB相交于点 E.

（1）求证： AB·AF＝ CB·CD

（2）已知 AB＝15cm，BC＝ 9cm，P 是射线 DE上的动点 . 设 DP＝xcm（ x＞ 0），四边形BCDP的面积为 ycm2.

①求 y 关于 x 的函数关系式；

②当 x 为何值时，△ PBC的周长最小，并求出此时y 的值 .

E B

3.(2020湖南怀化)如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE

与 CG相交于点 M，CG与 AD相交于点 N．

求证：（ 1） AE CG ；

（2） AN ? DN CN ?MN .

4.(2020湖南益阳)△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形

DEFG，使正方形的一条边DE落在 BC上，顶点 F、 G分别落在 AC、AB上 .

Ⅰ. 证明：△ BDG≌△ CEF；G F

B C

图 (1) E

Ⅱ.探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.

小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱ a 和Ⅱ b 的两个问题中选择一个你

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．喜欢的问题解答 .如果两题都解，只以Ⅱ a的解答记分.

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

Ⅱa. 小聪想：要画出正方形 DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出 BD和 CE 的长，从而确定 D点和 E 点，再画正方形 DEFG就容易了 .

设△ ABC的边长为 2 ，请你帮小聪求出正方形的边长 ( 结果用含根号的

式子表示，不要求分母有理化 ) .

G F

B C

图 (2) E

Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形 . 具体作法是：①在

AB边上任取一点 G’，如图作正方形 G’ D’ E’ F’；

②连结 BF’并延长交 AC于 F；

③作 FE∥F’E’交 BC于 E，FG∥F′G′交 AB于 G，GD∥ G’ D’交 BC

于 D，则四边形 DEFG即为所求 .

你认为小明的作法正确吗？说明理由. A

G F

G′F′

B C

D′ D E′ E

图(3)

5.(2020湖北恩施)如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和

AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动， ?AFG绕点 A 旋转， AF、AG与边 BC的交点分别为 D、E( 点

D 不与点 B 重合 , 点

E 不与点 C重合 ), 设 BE=m，CD=n.

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.

（2）求 m与 n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围 .

（3）以 ?ABC的斜边 BC所在的直线为 x 轴，BC边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系 ( 如图 12). 在边 BC上找一点 D，使 BD=CE，求出 D 点的坐标，并通过计算验证 BD2＋ CE2 =DE2 .

（4）在旋转过程中 ,(3) 中的等量关系 BD2＋CE2 =DE2是否始终成立 , 若成立 , 请证明 , 若不成立 , 请说明理由 .

B D E C

B D O E

C x

6.（08浙江温州）如图，在Rt △ ABC 中， A 90o，AB 6 ， AC 8， D，E 分

别是边 AB，AC 的中点，点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作PQ BC 于 Q ，

过点 Q 作 QR∥ BA 交AC于R，当点 Q 与点C重合时，点P停止运动．设 BQ x ，

QR y ．

（1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长；

（2）求 y 关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点 P ，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

D P E

B C

H Q

7.（ 08 山东省日照市）在△ ABC中，∠ A＝ 90°， AB＝4，AC＝ 3， M是 AB上的动点（不与 A，B 重合），过 M点作 MN∥BC交 AC于点 N．以 MN为直径作⊙ O，并在⊙O

内作内接矩形 AMPN．令 AM＝ x．

（1）用含 x 的代数式表示△Ｍ NP的面积 S；

（2）当 x 为何值时，⊙ O与直线 BC相切？

（3）在动点 M的运动过程中，记△Ｍ NP与梯形 BCNM重合的面积为 y，试求 y 关于 x 的函数表达式，并求 x 为何值时， y 的值最大，最大值是多少？

M N

B C

图1

8．（2020 湖北咸宁）如图，在 8×8 的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形以 O

．．．．．

为位似中心，且所画图形与△OAB的位似比为 2︰1．( 答案如右图 )

A B

(第 8 题图 )

9．(2020 安徽 ) 如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE

的中点， BR 分别交 AC，CD 于点P，Q．

A D

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外）；

O R

（2）求BP : PQ : QR．

B C E

10.（杭州市）如图：在等腰△ ABC中， CH是底边上的高线，点 P 是线段 CH上不与端点重合的任意一点，连接 AP交 BC于点 E, 连接 BP交 AC于点 F.

(1)证明：∠ CAE=∠CBF;

(2)证明： AE=BF;

(3)以线段 AE，BF和 AB为边构成一个新的三角形 ABG（点 E 与点 F 重合于点 G），记△

ABC和△ ABG的面积分别为 S△ABC和 S△ABG, 如果存在点 P, 能使得 S△ABC=S△ABG, 求∠C 的取之范围。

F E

11.（2020 佛山）如图，在直角△ ABC内，以 A 为一个顶点作正方形 ADEF，使得点 E 落在 BC边上 .

(1)用尺规作图，作出 D、E、F 中的任意一点 ( 保留作图痕迹，不写作法和证

明.另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可 ) ；

(2)若 AB = 6 ，AC = 2 ，求正方形 ADEF的边长 .

A B

12. （2020 广东）如图 5，在△ ABC中， BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠

ACB的平分线 CF交 AD于 F，点 E 是 AB的中点，连结 EF.

（1）求证： EF∥BC.

（2）若四边形 BDFE的面积为 6，求△ ABD的面积 .

13. （2020 山西太原）如图，在VABC 中，BAC 2 C 。

（1）在图中作出 VABC 的内角平分线 AD。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写

证明）

（2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由。

14.（2020 湖北武汉）如图，点 D，E 在 BC上，且 FD∥ AB，

FE∥AC。求证：△ ABC∽△ FDE．

证明：略

B D E C

15．（ 2020 湖南常德市）如图7，在梯形 ABCD中，若 AB//DC， AD=BC，对角线 BD、AC把梯形分成了四个小三角形．

（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两

个三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？

（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．

D C

①

④

②Ｏ

③

A B

图 7

16.（山东省临沂市）如图，□ ABCD中， E 是 CD的延长线上一点， BE与 AD交于点F，DE 1 CD 。

B C

⑴求证：△ ABF∽△ CEB;

⑵若△ DEF的面积为 2，求□ ABCD的面积。

17.（山东省潍坊市）如图， AC是圆 O的直径， AC=10厘米， PA，PB是圆 O的切线，A，B 为切点，过 A 作 AD⊥BP，交 BP于 D点，连结 AB、BC.

（1）求证△ ABC∽△ ADB;

（2）若切线 AP的长为 12 厘米，求弦 AB的长 .

B D

相似三角形答案

一. 选择题

2.C

3.D

4.D

5.B

6.B

7.C

8.A

9. B 10.B 11.B 12.B 13.D 14.B 15.B 16.C

二. 填空题

1. 50；

2. 10.5 ；

3. 6；

4. 4；

5. 4:9 ；

6. 6；

7. 4.8 ；

8. ∠ADE=∠ACB（或∠ AED=

AD AE

∠ABC或

AC AB） 9. 100 ；10.

三. 解答题

1. 解：（ 1）皮尺、标杆．

（2）测量示意图如右图所示． B （3）如图，测得标杆 DE a ，树和标杆的影长分别

为 AC b ， EF c ． D

F E C A

Q △DEF ∽△ BAC ，

DE FE ． BA

a c ．

x b x

ab ． c

2. （1）证明：∵ AD ＝CD ，DE ⊥ AC ，∴ DE 垂直平分 AC

∴AF ＝CF ，∠ DFA ＝DFC ＝ 90°，∠ DAF ＝∠ DCF.

∵∠ DAB ＝∠ DAF ＋∠ CAB ＝90°，∠ CAB ＋∠ B ＝90°，∴∠ DCF ＝∠ DAF ＝∠ B

在 Rt △DCF 和 Rt △ABC 中，∠ DFC ＝∠ ACB ＝90°，∠ DCF ＝∠ B

∴△ DCF ∽△ ABC

∴

CD CF

，即

CD AF

. ∴ AB ·AF ＝CB ·CD

（2）解：①∵ AB ＝15，BC ＝ 9，∠ ACB ＝90°， ∴AC ＝

AB 2

BC 2

＝

＝，∴ ＝＝

9 12CF AF 6

∴ y(x 9) × 6＝ 3x ＋27（x ＞0）

②∵ BC ＝9（定值），∴△ PBC 的周长最小，就是 PB ＋PC 最小 . 由（ 1）可知，点 C 关于直线 DE 的对称点是点 A ，∴ PB ＋ PC ＝PB ＋ PA ，故只要求 PB ＋ PA 最小 . 显然当 P 、A 、B 三点共线时 PB ＋PA 最小 . 此时 DP ＝DE ，PB ＋ PA ＝AB.

由（ 1），∠ ADF ＝∠ FAE ，∠ DFA ＝∠ ACB ＝90°，地△ DAF ∽△ ABC.

EF ∥ BC ，得 AE ＝ BE ＝ 1 AB ＝

，EF ＝ 9

2 2

∴AF ∶BC ＝ AD ∶AB ，即 6∶ 9＝ AD ∶15. ∴AD ＝10.

Rt △ ADF 中， AD ＝10，AF ＝ 6，∴ DF ＝ 8.

∴DE ＝DF ＋ FE ＝8＋ 9 ＝ 25

2 2

∴当 x ＝

时，△ PBC 的周长最小，此时 y ＝

129

3. 证明：（ 1）四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形

AD CD, DE DG , ADC EDG

90o ,

ADE CDG , △ ADE ≌△ CDG，

AE CG

（2）由（ 1）得ADE CDG ,DAE DCG ,又ANM CND ，AN MN

，即 AN ? DN CN ? MN

CN DN

∴AMN∽ CDN

4.Ⅰ. 证明：∵ DEFG为正方形，

∴GD=FE，∠ GDB=∠FEC=90°

∵△ ABC是等边三角形，∴∠ B=∠C=60°

∴△ BDG≌△ CEF(AAS)

Ⅱa. 解法一：设正方形的边长为x，作△ ABC的高 AH，

求得 AH 3

A 由△ AGF∽△ ABC得：

3 x

2 3

G F

解之得： x 2 3 ( 或

x 3 6 )

2 3

H C

D E

解图 (2)

解法二：设正方形的边长为x，则BD 2 x

2 在Rt △BDG中， tan ∠B=

GD，

∴x 3

2 x

解之得： x 2 3 ( 或

x 4 3 6 )

2 3 解法三：设正方形的边长为x，

则 BD

2x ,GB 2 x

由勾股定理得：(2 x)2x 2( 2x )

2 2

解之得： x 4 3 6

Ⅱb. 解：正确

由已知可知，四边形GDEF为矩形

∵FE∥ F’ E’，∴ FE FB ，

F E F B

G F

同理FG

FB ，F G F B

∴ FE FG F E F G

G’F’

D’ D E’

解图 (3)

又∵ F’ E’ =F’G’，

∴FE=FG

因此，矩形 GDEF为正方形

5.解:(1) ?ABE∽?DAE,?ABE∽?DCA

∵∠ BAE=∠BAD+45°, ∠CDA=∠BAD+45°

∴∠ BAE=∠CDA

又∠ B=∠C=45°

∴?ABE∽?DCA

(2) ∵?ABE∽ ?DCA

∴ BE BA

CA CD

由依题意可知 CA=BA= 2

∴m 2 2n

∴m=

自变量 n 的取值范围为 1

(3) 由 BD=CE可得 BE=CD,即 m=n

相似三角形基本类型证明题

发现、构造相似三角形的基本图形证题支其韶吴复相似三角形主要有四种基本类型。一、平行线型如图1，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 。例1. 已知，如图2所示，AD 为△ABC 的中线，任一直线CF 交AD 、AB 于E 、F 。求证：FB AF 2ED AE = 。例2. 已知，如图3所示，BE 、CF 分别为△ABC 的两中线，交点为G 。求证：2 GF GC GE GB ==。例3. 已知，如图4所示，在△ABC 中，直线MN 交AB 、AC 和BC 的延长线于X 、Y 、Z 。求证： AY CY CZ BZ BX AX ??=1。

二、相交线型如图5，若∠1=∠B ，则可由公共角或对顶角得△ADE ∽△ABC 。例4. 已知，如图6所示，△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上的点，E 为AB 延长线上的点，且AE AD AB 2 ?=。求证：BC 平分∠DCE 。例5. 已知，如图7所示，CD 为Rt △ABC 的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G 。求证：FB FC FG 2 ?=。三、旋转型如图8，若∠BAD=∠CAE ，则△ADE 绕点A 旋转一定角度后与△ABC 构成平行线型的相似三角形。

如图9，直角三角形中的相似三角形，若∠ACB=?90，AB ⊥CD ，则△ACD ∽△CBD ∽△ABC 。例6. 已知，如图10所示，D 为△ABC 内的一点，E 为△ABC 外的一点，且∠EBC=∠DBA ，∠ECB=∠DAB 。例7. 已知，如图11所示，F 为正方形ABCD 的边AB 的中点，E 为AD 上的一点，AE=41 AD ， FG ⊥CE 于G 。求证：CG EG FG 2 ?=。例8. 已知，如图12所示，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 上的点，过O 作直线分别交DC 、AB 于M 、N ，交AD 的延长线于E ，交CB 的延长线于F 。求证：OE ·ON=OM ·OF 。

相似三角形全讲义(教师版)

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

相似三角形压轴题专题

中考全国试卷分类汇编相似三角形 1. 如图，Rt A ABC 中，/ ACB=90°, / ABC=60°, BC=2cm, D 为BC的中点，若动点E以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A T B-A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（O WH 6）,连接。巳当厶BDE是直角三角形时，t的值为（） A. 2 B. 2.5或3.5 C. 3.5或4.5 D. 2或3.5 或4.5 点评：此题考查了含30°角的直角三角形的性质?此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用. 2. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O, E为0D的中点，连接AE并延长交DC于点F,则DF: FC=（） A. 1: 4 B. 1: 3 C. 2: 3 D. 1: 2 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△ DF0A BAE,然后根据对应边成比例求值.

如图，在 △ ABC 中/A=60° BM 丄AC 于点M , CN 丄AB 于点N , P 为BC 边的中点，连接 PM , PN,贝U 下列结论：①PM=PN ;②土—空；③△ PMN 为等边三角形； ④当/ ABC=45时，BN= =PC.其中正确的 AB _AC 个数是（） A . 1个 B. 2个 C 3个 D . 4个点评：本题主要考查了直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键. 4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为2的正方形，顶点 A 、C 分别在x , y 轴的正半轴上.点Q 在对角线0B 上，且QO=OC,连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P.则点P 的坐标为 __________________________ 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出题的关键. 5 . 如图，/ BAC=Z DAF=90°, AB=AC, AD=AF ,点 D 、E 为 BC 边上的两点，且/ DAE=45°,连接 EF 、BF , 则下列结论： cl _______ B 3. 二倍的性质，以 BP 的长是解 B P C

初中数学相似三角形练习题附参考答案

经典练习题相似三角形一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．

求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．

8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．

初中数学经典相似三角形练习题(附)

相似三角形一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？

（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 5．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP． 6．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？ 7．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．

8．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？ 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

相似三角形培优专题讲义

相似三角形培优专题讲义知识点一：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。）例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。（2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??，交换内项，交换外项．同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

(完整版)相似三角形专题

【一】知识梳理【1】比例 ①定义：四个量a,b,c,d中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例 ②形式：a:b=c:d， ③ 性质：基本性质： d c b a = ac=bd 4，比例中项： b c c a =ab c= 2 【2】黄金分割定义：如图点C是AB上一点，若BC AB AC? = 2，则点C是AB的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个 AC AC BC AB AB BC AB AB AC 618 .0 2 1 5 382 .0 2 5 3 618 .0 2 1 5 ≈ - = ≈ - = ≈ - = 注意：如图△ABC，∠A=36°，AB=AC，这是一个黄金三角形，【3】平行线推比例 AB AB BC618 .0 2 1 5 ≈ - = d c b a = 注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负 1、可以把比例式与等积式互化。 2、可以验证四个量是否成比例上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右全比上=全比上，全比下=全比下下比上=下比上

【4】相似三角形 1、相似三角形的判定 ①AA 相似：∵∠A=∠D, ∠B=∠E ∴△ABC ∽△DEF ②‘S A S ’ E B EF BC DE AB ∠=∠=,Θ ∴△ABC ∽△DEF ③‘S S S ’EF BC DF AC DE AB = Θ ∴△ABC ∽△DEF ④平行相似： ∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC 2、相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例 ②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比 ③相似三角形的面积比等于相似比的平方 3、相似三角形的常见图形 ‘A 型图’ ‘ X 型图’ ‘K 型图’ ‘母子图’ ‘一般母子图’ AC 2 =AD ?AB 母子图中的射影定理

初三数学相似三角形练习题集

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相似三角形练习题 1．如图所示，给出下列条件： ①；②；③；④．其中单独能够判定的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，已知，那么下列结论正确的是（） A．B．C．D． 3. 如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为 1：4.其中正确的有：（） A．0个B．1个C．2个D．3个 4.若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（） A．1∶4B．1∶2C．2∶1D．１∶ 5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（） D B C A N M O

A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个 6.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD 的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（） A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 7.如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（） A．先向下平移3格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移1格 C．先向下平移2格，再向右平移2格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 8.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（） A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 9.小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米， AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（） A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米 10、在比例尺为1︰10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）

全等三角形相似三角形证明(中难度题型)

全等三角形证明经典50题.doc 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 B C D F A D B C B C

已知：∠1=∠2，CD=DE，EF 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 8.已知：AB知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C A D B C B A C D F 2 1 E C D B D C B A F E A B C D A

10. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

15．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交 AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 16．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 17．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若 AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由． P E D C B A D C B A

相似三角形的存在性(讲义及答案).

相似三角形的存在性（讲义）知识点睛 1.存在性问题的处理思路 ①分析不变特征分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征． ②分类、画图结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例：一般先从角（不变特征）入手，分析对应关系后，作出符合题意图形，再借助不变特征和对应边成比例列方程求解．常见特征如一组角对应相等，这一组相等角顶点为确定对应点，结合对应关系分类后，作出符合题意图形，一般利用对应边成比例列方程求解．

精讲精练 1.如图，将长为8cm，宽为5cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边的点E处，压平后得到折痕MN，点A的对称点为点F，CE=4cm．若点G是矩形边上任意一点，则当△ABG与△CEN相似时，线段AG的长为． 2.如图，抛物线y=-1x2+10x-8经过A，B，C三点，BC⊥OB， 33 AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，作MN⊥x轴于点N，若△AMN与△ACD 相似，则点M的坐标为．

3.如图，已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三 4 点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线y=3 4t x-3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB 于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．（1）点C的坐标是，b=，c=．（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）．（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由．

2018中考专题相似三角形

2018中考数学专题相似形（共40题） 1．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长； 2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC； ②AG2=AF?AC． 3．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．

4．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF ⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值． 5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论． 6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．

相似三角形练习题精选

# 相似三角形练习题精选相似三角形例题： 1、（2007杭州）如图，用放大镜将图形放大，应该属于（）Ａ．相似Ｂ．平移Ｃ．对称Ｄ．旋转 # 2、(2008天津)如图，已知△ABC 中，EF ∥GH ∥IJ ∥BC ，则图中相似三角形共有对．跟踪练习： 1、（2007韶关）如图1，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（）对对 C. 2对对 2、（2007上海）如图2，E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交边CD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：．相似三角形的判定例题： 1.下列各组图形有可能不相似的是( ). A ．各有一个角是50°的两个等腰三角形 B ．各有一个角是100°的两个等腰三角形 C ．各有一个角是50°的两个直角三角形 D ．两个等腰直角三角形 ~ 2、（2007永州）如图，添上条件：_______，则△ABC ∽△ADE 。 3. （2009新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（） 4．（2010临沂）如图，12∠=∠，添加一个条件使得ADE ?∽ACB ? . 跟踪练习： 1．（2010陕西西安）如图，在ABC ?中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC ?与 ~ ABC ?相似，应添加的条件是。（只需写出一个条件即可） 2、（2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（） 2 1E D C B A A. 图1 D C B A A B D \ F

九上学生相似三角形讲义全

第1讲相似图形与成比例线段【学习目标】 1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念。 2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。【学习难点】成比例线段概念。【学习过程】知识点一：比例线段定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比，如果a c b d ，那么就说这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。例：如四条线段的长度分别是4cm、8cm、3cm、6cm判断这四条线段是否成比例？解：练习一： 1、如图所示：（1）求线段比AB BC、 CD DE、 AC BE、 AC CD （2）试指出图中成比例线段 2、线段a、b、c、d的长度分别是30mm、2cm、0.8cm、12mm判断这四条线段是否成比例？ 3、线段a、b、c、d的长度分别是2、3、2、6判断这四条线段是否成比例？ 4、已知A、B两地的实际距离是250m若画在图上的距离是5cm，则图上距离与实际距离的

比是___________ 5、已知线段a= 12、 b =2+c=2若a c b x =，则x =_________若()0b y y y c =>，则y =__________ 6、下列四组线段中，不成比例的是（） A a=3 b=6 c=2 d=4 C a=4 b=6 c=5 d=10 知识点二：比例线段的性质比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下：（1）基本性质：如果 a c b d =，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠）在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形 b d a c =、a b c d =、c d a b = （2）合比性质：如果 a c b d =，那么a b c d b d ±±= （3）等比性质：如果 a c e m b d f n ====()0b d f n ++++≠，那么 a c e m a b d f n b ++++=+++ + 例2 填空：如果23a b =，则a = 2a = 、 a b b += 、 a b b -= 练习二： 1、已知35a b =，求a b a b +- 2、若 234a b c ==，则23a b c a ++=_________ 3、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（） A m x n y = B m n y x = C y m x n = D x y n m = 4、已知570x y -=，则 x y =_______

相似形与相似三角形专题复习(精编题目)精编版

第一节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=bc 。如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么d c b a =。 ②合比性质：如果d c b a =，那么d d c b b a ±=±。 ③等比性质：如果d c b a ==???=n m (b+d+???+n ≠0)，那么 b a n d b m c a =+???+++???++ ④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.

初中数学相似三角形专项练习题

初中数学相似三角形专项练习题 1 / 3 第18.1课时相似三角形一．填空题（基础） 1．如图，ABC ?∽MNP ?，则它们的对应角分别是A ∠与∠___M__,∠B 与∠___N__， C ∠与∠___P__；对应边成比例的是________=_________=_________;若AB =2.7cm,cm MN 9.0=,cm MP 1=,则相似比=_________,=BC _________cm . B A G F E D C B A N P M （第2题）（第1题） 2．如图,四边形ABCD 中,AD ∥EF ∥BC ,AC 交EF 于G .图中能相似的三角形共有 _______对,它们分别是_________、___________,小明通过这两对相似三角形推出了比例式： AB BE AD FG =，对不对，为什么？二．填空题 3．如图，ABC ?和DEF ?的三边长分别为7、2、6和12、4、14，且两三角形相似，则A ∠与∠_____,∠B 与∠_____，C ∠与∠_____， ) ()()(AC DF AB ==。（第5题）（第4题）（第3题） C G F E D C B A F E B A E F D C B A 4．如图，ABC ?∽AEF ?，写出三对对应角：_________=_________,_________=________, ________=_________,并且 ) () ()()()(==AF ,若ABC ?与AEF ?的相似比是3：2，cm EF 8=，则________=BC 。 5．如图，ABC ?中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 、AD 于点E 、F 、 G ，图中共有______对相似三角形，它们是______________________________________.

相似三角形几何题

1、如图，AD 是圆O 的直径，BC 切圆O 于点D ，AB 、AC 与圆O 相交于点E 、F 。求证：AC AF AB AE ?=?； 2为了加强视力保护意识，小明想在长为米，宽为米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙位同学设计方案新颖，构思巧妙．(10分) （1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立在对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处．（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距离为3m 的小视力表．如果大视力表中“E ”的长是，那么小视力表中相应“E ”的长是多少cm ？ 3、如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E ．(12分) （1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD ；（2）已知AB ＝15 cm ，BC ＝9 cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP ＝x cm （0x >），四边形BCDP 的面积为y cm 2 ． ①求y 关于x 的函数关系式； ②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值． 4已知，如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1． (1)求证：△ABD ∽△CBA ； (2)作DE ∥AB 交AC 于点E ，请再写出另一个与△ABD 相似的三角形，并直接写出DE 的长． H H （图1）（图2）（图3）㎝ A C F 3m B 5m D A B C D E F P ·

与相似三角形有关的各类专题

相似三角形的判定与性质综合运用经典题型考点一：相似三角形的判定与性质：例1、如图，△PCD 是等边三角形，A 、C 、D 、B 在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC ∽△BPD ；⑵ CD 2 =AC ·BD. 例2、如图,在等腰△ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D 是BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 函数关系式及自变量x 值范围，并求出当x 为何值时AE 取得最小值？（3）在AC 上是否存在点E ，使得△ADE 为等腰三角形？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由？例3、如图所示，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B ： 1）求证：△ADF ∽△DEC ； 2）若AB=4，33 AD ,AE=3，求AF 的长。

考点二：射影定理：例4、如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，CD=4cm,AD=8cm,求AC 、BC 及BD 的长。例5、如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且AF=14 AD ，EG ⊥CF 于点G ，（1）求证：△AEF ∽△BCE ；（2）试说明：EG 2 =CG ·FG. 例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD>AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合,再展开，折痕EF 交AD 边于E ，交BC 边于F ，分别连结AF 和CE ．（１）求证：四边形AFCE 是菱形；（２）若AE=10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长；（３）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2 ＝AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

相似三角形性质及其应用练习题

相似三角形性质及其应用 1.掌握相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方等性质，能应用他们进行简单的证明和计算。 2.掌握直角三角形中成比例的线段：斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是则条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，会用他们解决线段成比例的简单问题。考查重点与常见题型 1．相似三角形性质的应用能力，常以选择题或填空形式出现，如：若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------， 2．考查直角三角形的性质,常以选择题或填空题形式出现，如：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°, CD ⊥AB 与D ，AC=6，BC=8，则AB=--------，CD=---------， AD=---------- ，BD=-----------。， 3．综合考查三角形中有关论证或计算能力，常以中档解答题形式出现。预习练习 1．已知两个相似三角形的周长分别为8和6，则他们面积的比是（） 2．有一张比例尺为1 4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm 2，则这个地区的实际周长-------- m ，面积是----------m 2 3．有一个三角形的边长为3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为7，则另一个三角形的周长为----------，面积是------------- 4．两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm 和20cm ，若它们的周长的差是60cm ，则较大的三角形的周长是----------，若它们的面积之和为260cm 2，则较小的三角形的面积为 ---------- cm 2 5．如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是----------- 6.已知直角三角形的两直角边之比为12，则这两直角边在斜边上的射影之比------------- 考点训练 1．两个三角形周长之比为95，则面积比为（）（A ）9∶5 （B ）81∶25 （C ）3∶ 5 （D ）不能确定 2．Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，那么和ΔABC 相似但不全等的三角形共有（） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3．在Rt ΔABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列等式中错误的是（）（A ）AD ? BD=CD 2 （B ）AC ?BD=CB ?AD （C ）AC 2 =AD ?AB （D ）AB 2 =AC 2 +BC 2 4．在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，EF 交AC 于G ，交AD 于F ，AF FD =13 则CG GA 的比值是（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 5．在Rt ΔABC 中，AD 是斜边上的高，BC=3AC 则ΔABD 与ΔACD 的面积的比值是（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （ D ）8

相似三角形推理证明复习题(含答案)

相似三角形推理证明 1．（顺义18期末19）如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交AB 于点G ．（1）填空：图中与△CEF 相似的三角形有；（写出图中与△CEF 相似的所有三角形）（2）从（1）中选出一个三角形，并证明它与△CEF 相似． 19．（1）△ADF ，△EBA ，△FGA ；………………………….3分（每个一分）（2）证明：△ADF ∽△ECF ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴BE ∥AD …………………………………………………….4分 ∴∠1=∠E ，∠2=∠D ∴△ADF ∽△ECF …………………………………………….5分（其它证明过程酌情给分） 2．（大兴18期末19）已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB 、 AC 边上的点，且AE AD 53= ，连接DE . 若AC ＝4，AB ＝5. 求证：△ADE ∽△ACB. 19．证明：∵ AC =3，AB =5，35AD AE = ， ∴ AC AB AD AE =．……………………………… 3分 ∵ ∠A =∠A ，……………………………… 4分 ∴ △ADE ∽△ACB ．……………………… 5分

3．（丰台18期末18）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC 的长. 18. 解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DB EC =.……2分即243EC =． ∴EC ＝6．……4分 ∴AC ＝AE + EC ＝10． ……5分其他证法相应给分. 4．（怀柔18期末18）如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，BC ＝4，AC ＝8，CD=2．求证：△BCD ∽△ACB . 18. 证明：∵BC ＝4，AC ＝8，CD =2.…………………………1分 ∴………………………………………3分又∵∠C =∠C …………………………………………………………………………4分 ∴ △BCD ∽△ACB ……………………………………………………………………5分