【最新】2013年中考数学总复习学案:第16课时 二次函数应用

【最新】2013年中考数学总复习学案:第16课时  二次函数应用
【最新】2013年中考数学总复习学案:第16课时  二次函数应用

第16课时 二次函数应用

一、选择题

1. 已知h 关于t 的函数关系式2

1

2h gt =( g 为正常数,t 为时间)如图,则 函数图象为 ( )

t

A . B

. C . D .

2.如图,用长8m 的铝合金条制成矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这

个窗户的最大透光面积是( )

A .

2564m 2 B .34m 2 C .38m 2 D .4m 2

3.小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-

+的一部分,如图所示,若命中篮圈中心,则他与篮底的距离L 是( )

A.4.6m

B. 4.5m

C.4m

D.3.5m

二、填空题

4.二次函数y=1

2x 2+x-1,当x=______时,y 有最_____值,这个值是____.

5.(2008年庆阳)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1,2,3,4,5,6,7,8);已知点(x ,y )都在

第5题图 第2题图 第3题图 第8题第8题图

一个二次函数的图像上(如图所示),则6楼房子的价格为 元/平方米.

6.用一根120cm 长的铁丝围成一个矩形,矩形的最大面积为 ;若将其分成两部分,每一部分弯曲成一个正方形,那么两个正方形的面积和最小为 .

7. 用长20cm 的篱笆,一面靠墙围成一个长方形的园子,当园子宽为 ,园子有最大面积是 .

8.某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚,有关尺寸如上图所示,若菜农身高

为1.6m ,则他在不弯腰的情况下在大棚内活动的范围是 米.

三、解答题

9.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.

(1)求平均每天销售量y (箱)与销售价x (元/箱)之间的函数关系式.

(2)求该批发商平均每天的销售利润w (元)与销售价x (元/箱)之间的函数关系式.

(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

10.(2008安徽)杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处,其身体(看成点)的路线是抛物线2

3

315y x x =-++的一部分,如图. (1)求演员弹跳离地面的最大高度;

(2)已知人梯高 3.4BC =米,在一次表演中,人梯到起跳点A 的水平距离是4米,问这次表演是否成功?请说明理由.

第10题图

A B C

11.(2008兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.

(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示),求抛物线的解析式;

(2)求支柱EF的长度;

(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.

x

图1

中考数学二次函数压轴题(含答案)

中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长. (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由. 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则: a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1; ∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有: , 解得;

故直线BC的解析式:y=﹣x+3. 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3); ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3). (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)?3=﹣(m﹣)2+(0<m<3); ∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为. 2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标. 解答:

解:(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=; ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2. (2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2); ∴OA=1,OC=2,OB=4, 即:OC2=OA?OB,又:OC⊥AB, ∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC; ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°, ∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(,0). (3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=x﹣2; 设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:x+b=x2﹣x﹣2,即:x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0; ∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4; ∴直线l:y=x﹣4. 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有: ,解得:即M(2,﹣3). 过M点作MN⊥x轴于N, S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.

2021年中考数学总复习:专题52 中考数学最值问题(解析版)

2021年中考数学总复习:专题52 中考数学最值问题 在中学数学题中,最值题是常见题型,围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样,就其解法,主要分为几何最值和代数最值两大部分。 一、解决几何最值问题的要领 (1)两点之间线段最短; (2)直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短; (3)三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)。 二、解决代数最值问题的方法要领 1.二次函数的最值公式 二次函数y ax bx c =++2 (a 、b 、c 为常数且a ≠0)其性质中有 ①若a >0当x b a =-2时,y 有最小值。y ac b a min =-442; ②若a <0当x b a =-2时,y 有最大值。y ac b a max =-442。 2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数,图象是一条直线,因而没有最大(小)值;但当m x n ≤≤时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大(小)值。 3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程;再根据x 是实数,推得?≥0,进而求出y 的取值范围,并由此得出y 的最值。 4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质.在实数范围内,显然有a b k k 22 ++≥,当且仅当a b ==0时,等号成立,即a b k 22++的最小值为k 。 6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号,然后求出y 在各个区间上的最大值,再加以比较,从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中,x a =是最大值,在不等式x b ≥中,x b =是最小值。

2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质

2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质 考点1:二次函数的顶点、对称轴、增减性 1.关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是( ) A.图像与y轴的交点坐标为(0,1) B.图像的对称轴在y轴的右侧 C.当时,x<0的值随y值的增大而减小 的最小值为-3 2.如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表: x-1013 y-3131 下列结论:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为( )

或6 或6 或3 或6 5.当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为() 或2 或2 6.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y,则这条抛物线的顶点一定在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点2:抛物线特征和a,b,c的关系 1.已知二次函数图形如图所示,下列结论:①abc;②;③;④点(-3,y1),(1,y2) 都在抛物线上,则有y1y 2. 其中正确的结论有( ) 个个个个 2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( ) <4ac >0 b=0 b+c=0

全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总及答案解析

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图1,抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)与x 轴交于点A (﹣1,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,且OC=3OA .点P 是抛物线上的一个动点,过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,交直线BC 于点D ,连接PC . (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P 作PF ⊥BC 于点F ,试问△PDF 的周长是否有最大值?如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由. (3)当点P 在抛物线上运动时,将△CPD 沿直线CP 翻折,点D 的对应点为点Q ,试问,四边形CDPQ 是否成为菱形?如果能,请求出此时点P 的坐标,如果不能,请说明理由. 【答案】(1) y=﹣23 4x +94x+3;(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点,使得四边形CDPQ 是菱形,此时点P 的坐标为( 73,256)或(173,﹣253). 【解析】 试题分析: (1)利用待定系数法求二次函数的解析式; (2)设P (m ,﹣ 34m 2+94m+3),△PFD 的周长为L ,再利用待定系数法求直线BC 的解析式为:y=﹣ 34x+3,表示PD=﹣2334m m ,证明△PFD ∽△BOC ,根据周长比等于对应边的比得:=PED PD BOC BC 的周长的周长,代入得:L=﹣95(m ﹣2)2+365 ,求L 的最大值即可; (3)如图3,当点Q 落在y 轴上时,四边形CDPQ 是菱形,根据翻折的性质知:CD=CQ ,PQ=PD ,∠PCQ=∠PCD ,又知Q 落在y 轴上时,则CQ ∥PD ,由四边相等:CD=DP=PQ=QC ,得四边形CDPQ 是菱形,表示P (n ,﹣23n 4 +94 n+3),则D (n ,﹣34n+3),G (0,﹣34 n+3),利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论. 试题解析: (1)由OC=3OA ,有C (0,3), 将A (﹣1,0),B (4,0),C (0,3)代入y=ax 2+bx+c 中,得:

中考数学要点难点分析整理复习总结

初一上册 有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。 (1)有理数:是初中数学的基础内容,中考试题中分值约为3-6分,多以选择题,填空题,计算题的形式出现,难易度属于简单。 考察内容:复数以及混合运算(期中、期末必考计算)数轴、相反数、绝对值和倒数(选择、填空)。 (2)整式的加减:中考试题中分值约为4分,题型以选择和填空题为主,难易度属于易。 考察内容: ①整式的概念和简单的运算,主要是同类项的概念和化简求值 ②完全平方公式,平方差公式的几何意义 ③利用提公因式发和公式法分解因式。 (3)一元一次方程:是初一学习重点内容,主要学习内容有(归纳、总结、延伸)应用题思维、步骤、文字题,根据已知条件求未知。中考分值约为1-3分,题型主要以选择和填空题为主,极少出现简答题,难易度为易。 考察内容: ①方程及方程解的概念 ②根据题意列一元一次方程 ③解一元一次方程。题型:追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。 (4)几何:角和线段,为下册学三角形打基础 初一下册

相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。 (1)相交线和平行线:相交线和平行线是历年中考中常见的考点。通常以填空,选择题形式出现。分值为3-4分,难易度为易。 考察内容: ①平行线的性质(公理) ②平行线的判别方法 ③构造平行线,利用平行线的性质解决问题。 (2)平面直角坐标系:中考试题中分值约为3-4分,题型以选择,填空为主,难易度属于易。 考察主要内容: ①考察平面直角坐标系内点的坐标特征 ②函数自变量的取值范围和球函数的值 ③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。 (3)二元一次方程组:中考分值约为3-6分,题型主要以选择,解答为主,难易度为中。 考察内容:①方程组的解法,解方程组②根据题意列二元一次方程组解经济问题。 (4)不等式和不等式组:中考试题中分值约为3-8分,选择,填空,解答题为主。 主要考察内容: ①一元一次不等式(组)的解法,不等式(组)解集的数轴表示,不等式(组)的整数解等,题型以选择,填空为主。 ②列不等式(组)解决经济问题,调配问题等,主要以解答题为主。 ③留意不等式(组)和函数图像的结合问题。

中考数学复习专题二次函数知识点归纳

二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2 =++(a b c y ax bx c ,,是常数,0 a≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0 ,可以为零.二次函数的定义域是全体 a≠,而b c 实数. 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征: ⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵a b c ,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: =+的性质: y ax c 结论:上加下减。

总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结:

1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k , ; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2 245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.

5.7.1二次函数的应用(一)学案

课题:5.7.1二次函数的应用(一)学历案 学习目标: 1.通过分析面积问题中的数量关系,能把实际问题中的等量关系抽象为二次函数; 2.认识二次函数模型的重要性,体会二次函数是刻画现实世界中数量关系的有效的数学模型; 3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,提高分析问题、解决问题的意识和能力. 学习重点:会列出二次函数解决最大(小)值实际问题 学习难点:把实际问题中的等量关系抽象为二次函数 课前、课中任务单 一、前置检测 1.二次函数y= -3(x+4)2-1的对称轴是,顶点坐标是 .当x= 时,函数有最值,是 . 2.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是,顶点坐标是 .当x= 时,函数有最_____ 值,是 . 二、新知探究 1.最大值问题: 【课本例1】用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园,已知 篱笆的长度为60m.应怎样设计才使菜园面积最大?最大面 积是多少? 2.最小值问题 【课本例2】如图,ABCD是一块边长为2m的正方形铁板,在边 AB上取一点M,分别以AM,MB为边截取两块相邻的正方形板材, 当AM的长为多少时,截取的板材面积最小? 归纳总结:解决用二次函数求最大(小)值的问题,基本思路.

三、变式练习 1.用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园,墙长25m,已 知篱笆的长度为60m.应怎样设计才使菜园面积最大?最大 面积是多少? 2.菱形的两条对角线的和为40cm. (1)如果菱形的面积为s(cm2),一条对角线的长为x(cm2),写出s与x的函数表达式,并指出自变量x的取值范围; (2)当这两条对角线的长分别为多少时,菱形的面积最大?最大面积是多少? 【挑战自我】 如图,用篱笆围成一个一面靠墙(墙的最大可用长度为10m)、中间隔着一道篱笆的矩形菜园.已知篱笆的长度为24m.设菜园的宽AB为x(m),面积为y(m2). (1)写出y与x之间的函数表达式及自变量的取值范围; (2)围成的菜园的最大面积是多少?这时菜园的宽x等于多少? 四、课堂小结 五、反馈评价

2018中考数学专题二次函数

2018中考数专题二次函数 (共40题) 1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点,直线AC:y=﹣x﹣6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G. (1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式; (2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标; (3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标; ②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求AM+CM它的最小值. 2.如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D. (1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示); (2)设S△BCD:S△ABD=k,求k的值; (3)当△BCD是直角三角形时,求对应抛物线的解析式. 3.如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(﹣4,0)、B(0,3),抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C. (1)求直线y=kx+b的函数解析式; (2)若点P(x,y)是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;

(3)若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值. 4.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相交于点B,对称轴是直线x=1 (1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标. (2)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,同时动点N从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动,当N点到达A点时,M、N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒. ①当t为何值时,四边形OMPN为矩形. ②当t>0时,△BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由. 5.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)在第二象限取一点C,作CD垂直X轴于点D,AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值; (3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存

中考数学专题复习最值问题

两点之间线段最短关系密切.在求最短路线时,一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题,而两点之间直线段最短,从而找到所需的最短路线.像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题,再设法解决,是数学中一种常用的重要思想方法. 类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题 如图所示,AB 是一条河流,要铺设管道将河水引到C ,D 两个用水点,现有两种铺设管道的方案.方案一:分别过C ,D 作AB 的垂线,垂足分别为E ,F ,沿CE ,DF 铺设管道;方案二:连接CD 交AB 于点P ,沿PC 、PD 铺设管道.问:这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料,为什么? 【思路点拨】 方案一管道长为CE +DF ,方案二管道长为PC +PD ,利用垂线段最短即可比较出大小. 本题易错误的利用两点之间线段最短解决,解答时需要准确识图,找到图形对应的知识点. 1.如下左图,点A 的坐标为(-1,0),点B(a ,a),当线段AB 最短时,点B 的坐标为( ) A .(0,0) B .(22,-22) C .(-22,-22) D .(-12,-12 ) 2.在直角坐标系中,点P 落在直线x -2y +6=0上,O 为坐标原点,则|OP|的最小值为( ) A.352 B .3 5 C.655 D.10 3.如上中图,在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为圆心的圆过点A(13,0),直线y =kx -3k +4与⊙O 交于B 、C 两点,则弦BC 的长的最小值为________. 4.如上右图,平原上有A ,B ,C ,D 四个村庄,为解决缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池. (1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H 点的位置,使它到四个村庄距离之和最小; (2)计划把河水引入蓄水池H 中,怎样开渠最短并说明根据. 类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题 (1)如图1,直线同侧有两点A ,B ,在直线MN 上求一点C ,使它到A 、B 之和最小;(保留作图痕迹不写作法) (2)知识拓展:如图2,点P 在∠AOB 内部,试在OA 、OB 上分别找出两点E 、F ,使△PEF 周长最短;(保留作图痕迹不写作法) (3)解决问题:①如图3,在五边形ABCDE 中,在BC ,DE 上分别找一点M ,N ,使得△AMN 周长最小;(保留作图痕迹不写作法)

备战中考数学二次函数的综合复习

一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k﹣1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点. (1)求这个二次函数的解析式; (2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标; (3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P 的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)y=x2﹣3x。 (2)点B的坐标为:(4,4)。 (3)存在;理由见解析; 【解析】 【分析】 (1)将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值,从而求得抛物线的解析式。 (2)根据(1)得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标,也就求出了OA的长,根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值,然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标,然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。 (3)根据B点坐标可求出直线OB的解析式,由于OB⊥OP,由此可求出P点的坐标特点,代入二次函数解析式可得出P点的坐标.求△POB的面积时,求出OB,OP的长度即可求出△BOP的面积。 【详解】 解:(1)∵函数的图象与x轴相交于O,∴0=k+1,∴k=﹣1。 ∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。 (2)如图,过点B做BD⊥x轴于点D,

令x 2﹣3x=0,解得:x=0或3。∴AO=3。 ∵△AOB 的面积等于6,∴ 1 2 AO?BD=6。∴BD=4。 ∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上, ∴4=x 2﹣3x ,解得:x=4或x=﹣1(舍去)。 又∵顶点坐标为:( 1.5,﹣2.25),且2.25<4, ∴x 轴下方不存在B 点。 ∴点B 的坐标为:(4,4)。 (3)存在。 ∵点B 的坐标为:(4,4),∴∠BOD=45°,22BO 442=+=。 若∠POB=90°,则∠POD=45°。 设P 点坐标为(x ,x 2﹣3x )。 ∴2 x x 3x =-。 若2x x 3x =-,解得x="4" 或x=0(舍去)。此时不存在点P (与点B 重合)。 若( ) 2 x x 3x =--,解得x="2" 或x=0(舍去)。 当x=2时,x 2﹣3x=﹣2。 ∴点P 的坐标为(2,﹣2)。 ∴22OP 222= += ∵∠POB=90°,∴△POB 的面积为: 12PO?BO=1 2 ×2×2=8。 2.已知,抛物线y =ax 2+ax+b (a≠0)与直线y =2x+m 有一个公共点M (1,0),且a <b .

浙教版九年级数学上册《二次函数的应用》教案

《二次函数的应用》教学设计 一、教学背景分析: 1.教学内容分析: 二次函数的知识是七到九年级数学学习的重要内容之一,它的应用是本章的教学重点也是难点。因为它是从生活实际问题中抽象出的数学知识,又是在解决实际问题时广泛应用的数学工具,因此这部分的教学内容具有重要意义;同时学好二次函数的应用,可又为高中进一步学习各类初等函数作好准备。而经历从实际问题情景入手,抽象出解决问题的数学模型和相关知识的过程中不仅可以让学生体会数学的价值和建模的意义,更能提高学生应用数学知识解决问题的意识。 2.学生情况分析: 本节课的授课对象是九年级的学生。在此之前,学生已经掌握了求二次函数解析式的方法并理解图象上的点和图象的关系,并且学习了一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一次函数的应用,以及初步的二次函数的应用,经历了多次从实际问题抽象出数学知识再运用相关知识解决实际问题的过程;因此他们有解决简单实际问题的基础知识和基本能力。但是,由于函数知识的抽象性,多数学生在学习时应用函数的意识并不强;同时,他们从实际问题中抽象出数学问题的能力以及利用已有的数学知识去解决的能力也是比较弱的。 二、教学重点: 建立适当的坐标系解决实际问题. 三、教学难点: 正确理解实际问题中的量与坐标系中的点的对应关系. 四、教学目标: 1.能把实际问题归结为数学知识来解决,并能运用二次函数的知识解决实际问题. 2.经历在具体情境中抽象出数学知识的过程,体验解决问题方法的多样性,体会建模思想,渗透转化思想、数形结合思想,提高数学知识的应用意识. 3.在运用数学知识解决问题的过程中,体会数学的价值、感受数学的简捷美,并勇于表达自己的看法.

中考数学 二次函数知识点总结

中考数学二次函数知识 点总结 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2 y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0 a≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0 ,可以为零.二次函数的定义域是 a≠,而b c 全体实数. 2. 二次函数2 =++的结构特征: y ax bx c ⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵a b c ,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2 =+的 y ax c 性质:

结论:上加下减。 总结: 3. ()2 =-的性 y a x h 质: 结论:左加右减。 总结: 4.

()2 y a x h k =-+的性质: 总结: 二次函数图象 的平 移 1. 平移步 骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”.

初中数学最值问题典型例题(含解答分析)

中考数学最值问题总结 考查知识点:1、“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。 (2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题) 问题原型:饮马问题造桥选址问题(完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点)出题背景变式:角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型: 条件:如下左图,A、B是直线l同旁的两个定点. 问题:在直线l上确定一点P,使PA PB +的值最小. 方法:作点A关于直线l的对称点A',连结A B'交l于 点P,则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三 角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM. (1)求证:△AMB≌△ENB; (2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小; ②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由; (3)当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长。 A B A'′P l

例2、如图13,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0) (1)求抛物线的解析式 (2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线,垂足为M,过点M作直线M N∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.

初中数学中考复习 二次函数知识点总结

二次函数知识点总结20110311 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2.⑵a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质:左图画2221,2,2 y x y x y x === , 右图画22 21,2,2y x y x y x =-=-=- 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质:左图画221,1y x y x =+=-,右图画2 2 1,1y x y x =-+=-- 结论:上加下减。

总结: 3. ()2 y a x h =-的性质:左图画22(1),(1)y x y x =+=-,右图画22 (1),(1)y x y x =-+=-- 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质:左图画22(1)1,(1)1y x y x =++=--,右图画2 2 (1)1,(1)1y x y x =-++=---

总结: 二次函数图象的平移 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k , ; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2 245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,.

中考数学题型及方法总结

初中数学中的固定题型及惯性思维 一、角平分线的考点 1.定义 2.性质(垂直于角的两边) 3.对称性(垂直于角 平分线,构造全等,得到中点) 二、中点的三个考点 1.斜边中线(直角与中点) 2.三线合一(等腰与中点) 3.中位线(两个中点) 附注:中点常见作辅助线方法:过其中一个端点作另一个端点所在直线的平行线交延长线与一点。如果其中一个端点所在直线有多条,要结合题目已知条件进行判断,一般以已知线段长度的为主。 三、等腰三角形的考点 1.等角对等边 2.等边对等角 3.三线合一 四、全等三角形 1.五个全等三角形的判定定理 2.对应边对应角相等 五、轴对称图形 1.角的对称性(性质) 2.线段的对称性(性质) 3.等腰三角形的对称性(三线合一) 附注:对称轴是直线,轴对称图形既可以是一个图形本身,比如等腰三角形是轴对称图形,也可以说两个图形关于某条直线呈轴对称图形。 六、勾股定理 1.勾股定理的公式 2.勾股定理的逆定理(可以用来证明直角或者一个三角形是直角三角形) 附注:利用图形证明勾股定理一般都是利用部分面积之和等于整体面积,另外记住几组常见的勾股数,3,4,5;6,8,10; 5,12,13; 7,24,25 七、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系是用来确定点及图像的位置的 2.坐标轴及象限的划分

附注:如果题目说不经过第二象限,应该有两种情况,一是经过一三四象限,二是经过一三象限,做此类题目不要思维定势。 八、二次根式 1.二次根式的非负性 2.同类二次根式 3.最简二次根式 4.二次根式的比较大小 5.二次根式的加减乘除 附注:如果题目的计算结果包含根式,一定要习惯性地判断是否是最简二次根式,切记因为细节问题失分;另外代数式有意义也要注意开方数大于等于0,千万不要漏掉等号。 九、一元二次方程 1.定义(二次项系数不为0) 2.四种解法(优先考虑因式分解法,主要是十字相乘) 3.一元二次方程根的个数的判别式 4.一元二次方程根与系数的关系,即韦达定理 附注:只要一个题目是求解有关一元二次方程的根的代数式的值的题目,只有两种方法,代入法与韦达定理,如果满足韦达定理的形式就用韦达定理,除此之外,一律使用代入法。 十、二次函数 1.定义(最高次为2,二次项系数不为0) 2.二次函数的图像(开口、与X轴的交点、对称轴、顶点坐标、与Y轴的交点位置) 3.二次函数的增减性 4.二次函数的动点问题 附注:初中阶段所有函数的知识点都比较少,更多的是知识点的迁移变化与综合应用。 十一、分式方程 1.分式方程的定义(有可能考选择题) 2.分式方程的解的情况 3.已知分式方程的解的情况,求未知实数的取值范围 附注:1.增根是分式方程无解的特殊情况 2.如果告诉分式方程的解为负数,解出X之后,一方面x<0,另外千万不要忘记x不能等于增根,这个是比较容易出错的一个点。 十二、圆 1.相关定义,比如直径、圆心、弦、切线、弧、圆周角、圆心角等等 2.切线长定理 3.垂径定理 直径:直径所对圆周角是90度

中考数学二次函数复习专题

初中数学二次函数复习专题 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1. 理解二次函数的概念; 2. 会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法 画二次函数的图象; 3. 会平移二次函数y =ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y =a(ax +m)2 +k 的图象,了解特殊与一 般相互联系和转化的思想; 4. 会用待定系数法求二次函数的解析式; 5. 利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函 数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 (1)二次函数及其图象 如果y=ax 2 +bx+c(a,b,c 是常数,a ≠0),那么,y 叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。 (2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --,对称轴是a b x 2-=,当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下。 抛物线y=a (x+h )2+k(a ≠0)的顶点是(-h ,k ),对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以x 为自变量的二次函数y =(m -2)x 2+m 2 -m -2额图像经过原点, 则m 的值是 2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内 考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如: 如图,如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内,那么函数 y =kx 2 +bx -1的图像大致是( ) 和选拔性的综合题,如: 已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x =5 3 ,求这条抛物线的解析式。 4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如: 已知抛物线y =ax 2 +bx +c (a ≠0)与x 轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y 轴交点的纵坐标是-32 (1) 确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。 习题1: 一、填空题:(每小题3分,共30分) 1、已知A(3,6)在第一象限,则点B(3,-6)在第象限 2、对于y=-1 x ,当x>0时,y随x的增大而 3、二次函数y=x2 +x-5取最小值是,自变量x的值是 4、抛物线y=(x-1)2 -7的对称轴是直线x= 5、直线y=-5x-8在y轴上的截距是 6、函数y= 1 2-4x 中,自变量x的取值范围是 7、若函数y=(m+1)xm2+3m+1 是反比例函数,则m 的值为 8、在公式1-a 2+a =b中,如果b是已知数,则a= 9、已知关于x的一次函数y=(m-1)x+7,如果y随x的增大而减小,则m的 取值范围是 10、 某乡粮食总产值为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨),与该乡人口 数x的函数关系式是 二、选择题:(每题3分,共30分) 11、函数y=x-5中,自变量x的取值范围 ( ) (A)x>5 (B)x<5 (C)x≤5 (D)x≥5 12、抛物线y=(x+3)2 -2的顶点在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 13、抛物线y=(x-1)(x-2)与坐标轴交点的个数为 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 14、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是( ) (A) (B) (C) (D) 15.平面三角坐标系内与点(3,-5)关于y轴对称点的坐标为( ) (A )(-3,5) (B )(3,5) (C )(-3,-5) (D )(3,-5) 16.下列抛物线,对称轴是直线x=1 2 的是( ) (A ) y=12 x2(B )y=x2+2x(C )y=x2+x+2(D )y=x2 -x-2 17.函数y=3x 1-2x 中,x的取值范围是( ) (A )x≠0 (B )x>12 (C )x≠12 (D )x<1 2

二次函数的应用(教学设计)

二次函数在生活中应用 浦 桂 花 学习目标: 1、会运用二次函数及其图像的知识解决现实生活中的实 际问题。 2、初步体会到数形结合、数学建模以及函数和方程互相 转化等数学思想、方法. 3、感悟“数学来源于生活,又指导生活”,激发出学习数学的浓厚兴趣. 一、引入: 在日常生活中,我们接触到许多与二次函数有关的实际问题, 例如:投篮后篮球运行的路线,推铅球时铅球运行的路线和喷池中水流的路线等等。今天就运用以前学过的二次函数的知识来解决这些实际问题。 二、典型例题: 例1: 小明参加铅球比赛,已知铅球的运行的路线是一条抛物线.铅球 出手时的高度是 米,铅球最高处离地面3米,距离出手时的水平距离是4米. 试推测小明这次铅球的比赛成绩. 35

例2:某越江隧道的横断面的轮廓线是一段抛物线. 已知隧道的地面宽度为20米,地面离隧道最高点 C 的高度为10米. (1)、请建立适当的平面直角坐标系,并求出这段抛物线所表 示的二次函数的解析式. (2)、这隧道设计为双向行驶,现有一辆宽为5米,高为6 米装满货物的卡车,问这辆卡车能否顺利通过? C A B 三、巩固练习: 如图,有一座抛物线型拱桥,在正常水位时水面AB的宽是20米,如果水位上升3米时,水面CD的宽为10米, (1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式; (2)现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发,要经过此桥开往乙地,已知甲地到此桥280千米,(桥长忽略不计)货车以每小时 40千米的速度开往乙地,当行驶到1小时时,忽然接到紧急通知, 前方连降大雨,造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨,(货车接 到通知时水位在CD处),当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行;

初三数学二次函数所有经典题型

初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数21(1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线223y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线()4222-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .21xy x += B . 220x y +-= C . 22y ax -=- D .2210x y -+= 12.在同一坐标系中,作22y x =、22y x =-、212 y x =的图象,它们共同特点是 ( ) 22 3x y -=

中考数学动点问题最值基本题型汇总

中考数学动点问题最值基本题型汇总 一、最值类型 1.饮马型:即将军饮马型,通常为两条线段之和的最值问题,利用对称性质将其中一条线段进行转换,再利用两点之间线段最短(或三角形三边关系)得到结果。 2.小垂型:即小垂回家型,通常为一条线段的最值问题,即动点的轨迹为直线,利用垂线段最短的性质得到结果。 3.穿心型:即一箭穿心型,通常为一条线段的最值问题,即动点的轨迹为圆或弧,利用点与圆的位置关系得到结果。 4.转换型:即一加半型,通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题,即将那半条线段利用三角形中位线或30°的对边等知识进行转换,再利用饮马或小垂或穿心。 5.三边型:即三角形三边关系关系型,通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求其最大(小)值。 6.结合型:即以上类型的综合运用,大多为饮马+小垂、小垂+穿心、饮马+穿心饮马+转换等 ※二、分类例析 一、饮马型 例1:如图,在正方形ABCD中,点E在CD上,CE=3, DE=1, 点P在AC上,则PE+PD 的最小值是_____ . 解析:如图 例2:如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD 内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为____.

解析:如下图 二、小垂型 例3:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,连接DE,则DE的最小值为_________. 解析:如下图 三、穿心型 例4:如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠ABC=120°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN翻折得到△A′MN,连接A’C,则A’C长度的最小值是____. 解析:如下图

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