(0775)《中学几何研究》作业一答案(1)

（0775）《中学几何研究》作业一答案

一、填空题：

1．对于一个公理化系统，其公理的选择应符合三个条件，即相容性、独立性和完备性。

2．黎曼几何的平行公理为过平面上直线外一点，没有直线与已知直线相平行。

3．希尔伯特在其巨著《几何基础》中，建立了完备化的公理系统，其五组基本公理 是关联公理、顺序公理、合同公理、平行公理及连续公理。

4．已知ABC ?的外接圆半径为R ，三边长分别为,,a b c ，则ABC S ?=

4abc R 。 5．复数(cos sin )z r i θθ=+，该复数的指数形式为i z re θ=。

6．将ABC ?顺时针绕点O 旋转30得A B C '''?，该变换可记为(0,30)R ABC A B C -'''?????→?。

7．设A '、B '、C '是ABC ?的边BC 、CA 、AB 所在直线上的点，则A '、B '、C '共线的充要条件是1AC BA CB C B A C B A

'''??='''。

8．轨迹命题证明的两面性包括完备性和纯粹性。

9．人们常说的尺规作图不可能的三个古典问题是倍立方问题、三等分任意角问题、化圆为方问题。

二、在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别交BC 、CA 、AB 于D 、E 、F. 求证：

1AF BD CE BF CD AE

??=

第二题图

证明：CPA CPB S AF BF S ??=，APB APC S BD CD S ??=，BPC BPA S CE AE S ??= ∴

1PCA PBC PAB PCB PAC PAB

S S S AF BD CE BF CD AE S S S ????????=??=。

三、作图题（只写作法）：用尺规求作三角形ABC ，已知,,a b c h m m 。 作法：① 任作直线L ，在其上取一点M ，作GM L ⊥且13a GM h =； ② 以G 为圆心，23b m 及23

c m 为半径作圆弧，分别交L 于B 、C 两点； ③ 延长BG 至D ，使b BD m =，延长CG 至E ，使c CE m =； ④ 延长BE 和CD ，交点为A ，ABC ?完成。

四、联系中学教学实际，谈谈如何运用运动的观点进行几何教学。