2019-2020年高三第二次月考试卷及答案

2019-2020年高三第二次月考试卷及答案

一．填空题（每小题4分，共48分）

1. 设A 、B 是两个集合，定义{|,}{||12}.|A B x x A x B M x x -=∈?=+≤且若，

∈==αα|,sin ||{x x N R }，则M －N= ____________

2.函数y= －x 2

+4ax 在[1，3]内单调递减的充要条件是__________ 3.若f (lgx)=

x

x

++12，则f(1)=__________ 4.已知??

?<-≥-=00

3)(2

x x

x x x f ，则不等式(x+1)f(x)>0的解集为____________。 5． 等比数列{}n a 中，243,952==a a ，则{}n a 的前4项和为__________

6．已知ABC ?的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin )2()sin (sin 22

2-=-（其中a 、b

分别是A ∠、B ∠的对边）. 那么角C 的大小为_____________

7.{}a n 为等差数列，a a a a a a 1473693927++=++=，，则S 9=_______ 8. 如图：在R t △ABC 中，∠B=90o，

2

1

C tan =

，AB = a ，在△ABC 内 无限地作系列正方形，则所有这些 正方形面积的和是________________.

9．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是__________________． 10.已知α为锐角，3cos 5α=

，1

tan()3

αβ-=，则tan β的值为____________. 11．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）50元，

在市内通话时每分钟另收话费0.40元（打出和接听的标准相同）；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元（打出和接听的标准相同）。若某用户只在市内使用手机，并且每月手机费预算为120元，在不考虑其它因素的情况下，他购买这两种卡中的 更合算。

12．已知函数),(|2|)(2

R x b ax x x f ∈+-=给出下列命题：①)(x f 不可能为偶函数；②当)(,)2()0(x f f f 时=的图象必关于直线1=x 对称；③若)(,02

x f b a 则≤-在区间

),[+∞a 上是增函数；④)(x f 有最小值2a b -. 其中正确命题的序号是 .

A

B

C

Ｄ．

Ｃ．

Ｂ．A ．

x

x

x

x

二.选择题（每小题只有一个选项正确,每小题4分，共16分）

13. 命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充分而不必要条件；

命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞).则：( ) （A ）p 真q 假 （B ）“p 且q ”为真

（C ）“p 或q ”为假

（D ）“p 且q ”为假

14．设πα<<0，2

1

cos sin =

+αα，则α2cos 的值是 （ ） （A ）

47 （B ） 47- （C ） 47± （D ）4

1

-

15.用6种不同的颜色把下图中A 、B 、C 、D 四块区分开，允许同一色涂不同的区域，但相邻

的区域不能涂同一色，则不同的涂法有 （ ）

A ．400种

B ．460种

C ．480种

D ．496种

16.设*

∈N n ，则函数221()lim 1n n n x f x x x →∞??

-=? ?+??

的图象大致是 ( )

三.解答题（共86分）

17.（本题12分）已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝2

2{|0}(1)

x a

x x a -<-+. （1）当2=a 时，求B A ?； （2）当a ＞1

3

时，求使B ?A 的实数a 的取值范围.

18．（本题12分）函数f(x)=x 2

sin 2-+23sinxcosx +1 (x ∈R )的最大值为M ，最小正周

期为T.

（1）求M 、T 和 f(x)的单调递增区间；

（2）求出满足f(x)=M ，且x ]10,0[π∈的所有x 的值的和。

19．（本题14分）已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1 = b 1 =1, a 2 + a 4 = b 3 , b 2·b 4

= a 3, 分别求出{a n }及{b n }的前10项和S 10及T 10. 20.(14

分) 函数x

x f 5

)(=的反函数)(1

x f

-满足1)10(1

+=-a f

，当

)15(1

--x f

+)55(11

-+-x f

≤)80(1

-f 时，求x ax x g 45)(-=的值域。

21. （本题16分）某市地处沙漠边缘，到2005年底全市的绿化率已达30%，计划从2006

年开始，每年在原有沙漠面积的16%的土地上栽上树，改造为绿地，同时原有绿地面积的4%又被沙漠化。设全市面积为1，现有（2005年底）绿地面积为10

3

1=a ，经过1年（到2006年底）绿地面积为2a ，经过n 年绿地面积为1+n a . （1）求2a

（2）试写出1+n a 与n a 的关系式；

（3）问需经过多少年才能使全市的绿化率超过60%？（结果中的年取整数）

22.（本题18分）已知f(x)=??

?

?

?<++-=>-+)

0()0()

0(1222x c bx x x a x x x 为奇函数. (1)求a 、b 、c 的值。 (2)若T(x)=mf(

2x )+nf(x

2

)+10 ,0≠x ,m 、n R ∈,且f(-8)=2 ,求f(8)的值。 （3）若对于任意的x∈[a,b]，函数F(x),G(x)满足 |

)

()

()(x G x G x F -|≤1，则称在[a,b]上

G(x)与F(x)具有“H 类关系”. 问函数g(x)=x 与(1)中的函数f(x)在[2

1

, 1 ]上是否具有“H 类关系”,并结合函数单调性的定义证明你的结论。

2005年12月新中高三数学第二次月考试卷（答案）

一．填空题（每小题4分，共48分）

1. 设A 、B 是两个集合，定义{|,}{||12}.|A B x x A x B M x x -=∈?=+≤且若，

∈==αα|,sin ||{x x N R }，则M －N= ___________ [)3,0-______

2.函数y= －x 2

+4ax 在[1，3]内单调递减的充要条件是_____2

1

≤a ______ 3.若f (lgx)=

x x ++12，则f(1)=______ 11

12

____ 4.已知??

?<-≥-=00

3)(2

x x

x x x f ，则不等式(x+1)f(x)>0的解集为(∞-，-1) ∪(3，+∞)_。 5． 等比数列{}n a 中，243,952==a a ，则{}n a 的前4项和为_____120_______

6．已知ABC ?的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin )2()sin (sin 22

2-=-（其中a 、b

分别是A ∠、B ∠的对边）. 那么角C 的大小为____________ 45°_

7.{}a n 为等差数列，a a a a a a 1473693927++=++=，，则S 9=_____99 _____ 8. 如图：在R t △ABC 中，∠B=90o，

2

1

C tan =

，AB = a ，在△ABC 内 无限地作系列正方形，则所有这些 正方形面积的和是________2

45

a ________.

9．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________________

9

1

_____． 10.已知α为锐角，3cos 5α=

，1

tan()3αβ-=，则tan β的值为______13

9______. 11．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）50元，

在市内通话时每分钟另收话费0.40元（打出和接听的标准相同）；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元（打出和接听的标准相同）。若某用户只在市内使用手机，并且每月手机费预算为120元，在不考虑其它因素的情况下，他购买这两种卡中的 神州行 更合算。

12．已知函数),(|2|)(2

R x b ax x x f ∈+-=给出下列命题：①)(x f 不可能为偶函数；②

A

B

C

Ｄ．

Ｃ．

Ｂ．

A ．

x

x

x

x

当)(,)2()0(x f f f 时=的图象必关于直线1=x 对称；③若)(,02

x f b a 则≤-在区间

),[+∞a 上是增函数；④)(x f 有最小值2a b -. 其中正确命题的序号是 ③ .

二.选择题（每小题只有一个选项正确,每小题4分，共16分）

13. 命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充分而不必要条件；

命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞).则：( C ) （A ）p 真q 假 （B ）“p 且q ”为真

（C ）“p 或q ”为假

（D ）“p 且q ”为假

14．设πα<<0，2

1

cos sin =

+αα，则α2cos 的值是 （ B ） （A ）

47 （B ） 47- （C ） 47± （D ）4

1

-

15.用6种不同的颜色把下图中A 、B 、C 、D 四块区分开，允许同一色涂不同的区域，但相邻

的区域不能涂同一色，则不同的涂法有 （ C ） A ．400种 B ．460种

C ．480种

D ．496种

16.设*

∈N n ，则函数221()lim 1n n n x f x x x →∞??

-=?

?+??

的图象大致是 ( A )

三.解答题（共86分）

17.（本题12分）已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝22{|0}(1)

x a

x x a -<-+.

（1）当2=a 时，求B A ?；

（2）当a ＞

1

3

时，求使B ?A 的实数a 的取值范围. 解：（1）当a ＝2时，A ＝（2，7），B ＝（4，5）∴ A B ＝（4，5）. ………4分

（2）∵ B ＝（2a ，a 2

＋1）， 当a ＞

1

3

时，A ＝（2，3a ＋1） B ?A ?2

22131

a a a ≥??

+≤+?，此时1≤a ≤3.

∴使B ?A 的实数a 的取值范围为[1，3]

18．（本题12分）函数f(x)=x 2

sin 2-+23sinxcosx +1 (x ∈R )的最大值为M ，最小正周

期为T.

（1）求M 、T 和 f(x)的单调递增区间；

（2）求出满足f(x)=M ，且x ]10,0[π∈的所有x 的值的和。 解：（1）)62sin(2)(π+

=x x f ；M=2；T=π

； Z k k k ∈+

-

]6,3[π

ππ

π （2）

3

140π

19．（本题14分）已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1 = b 1 =1, a 2 + a 4 = b 3 , b 2·b 4

= a 3, 分别求出{a n }及{b n }的前10项和S 10及T 10.

解：∵{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，∴a 2+a 4=2a 3 , b 2·b 4=b 32

,

已知a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,∴b 3=2a 3,a 3=b 32

, 得b 3=2b 32

,∵b 3≠0,∴b 3=21,a 3=4

1

. 由a 1=1,a 3=41，知{a n }的公差d=－83

, ∴S 10=10a 1+2910?d=－855

. 由b 1=1,b 3=

2

1

,知{b n }的公比q=22或q=－22,

).22(32

311)1(,22

);

22(32311)1(,22

10

11010110-=--=-

=+=--==q q b T q q q b T q 时当时当

20.(14

分) 函数x

x f 5

)(=的反函数)(1

x f

-满足1)10(1

+=-a f

，当

)15(1

--x f

+)55(11

-+-x f

≤)80(1

-f 时，求x ax x g 45)(-=的值域。

解：依题意，x x f

51

log )(=-

∴ 2log 2log 110log )10(15551

=?+===+-a f

a

∴ x x x x x g 2)2(45

)(22

log 5+-=-=

由条件的不等式得：55141502)15(log 5≤

x x ，]1,0(∈∴x

设x

t 2=，]2,1(∈t 。则t t x g t F +-==2

)()( 为开口向下，对称轴为2

1

=

t 的抛物线 故)(t F 在(]2,1上为减函数

∴ 0)(2)1()()2(<≤-?<≤t F F t F F

即)(x g 的值域为：[)0,2-

21. （本题16分）某市地处沙漠边缘，到2005年底全市的绿化率已达30%，计划从2006

年开始，每年在原有沙漠面积的16%的土地上栽上树，改造为绿地，同时原有绿地面积的4%又被沙漠化。设全市面积为1，现有（2005年底）绿地面积为10

3

1=a ，经过1年（到2006年底）绿地面积为2a ，经过n 年绿地面积为1+n a . （1）求2a

（2）试写出1+n a 与n a 的关系式；

（3）问需经过多少年才能使全市的绿化率超过60%？（结果中的年取整数）

解:（1）52（2）100410016)1(1?+?-=+n n n a a a ?25

4

541+=+n n a a N n ∈

（3）54

)54(211+-=+n n a >0.61.4>?n ,所以需经过5年

22.（本题18分）已知f(x)=??

?

?

?<++-=>-+)

0()0()

0(1

222x c bx x x a x x x 为奇函数. (1)求a 、b 、c 的值。 (2)若T(x)=mf(

2x )+nf(x

2

)+10 ,0≠x ,m 、n R ∈,且f(-8)=2 ,求f(8)的值。 （3）若对于任意的x∈[a,b]，函数F(x),G(x)满足 |

)

()

()(x G x G x F -|≤1，则称在[a,b]上

G(x)与F(x)具有“H 类关系”. 问函数g(x)=x 与(1)中的函数f(x)在[2

1

, 1 ]上是否具有“H 类关系”,并结合函数单调性的定义证明你的结论。

解：(1)a=f(0)=0,x<0时，f(x)=-f(-x)=122

++-x x ,对比得b=2, c=1 (2)T(8)+T(-8)=20,∴ T(8)=18

(3) ∈x [

2

1

, 1 ]时，11)()()()(+-=-=

x x x g x g x f x h ，由函数单调性的定义证出h(x)在[

21, 1 ]上是增函数，∴ h(21)≤ h(x) ≤h(1) ∴ h(x)∈ [-2

1

, 1 ]，∴

1)

()

()(≤-x g x g x f 成立。