中国石油大学华东线性代数(2013-2014-1)-A卷

2013—2014学年第一学期

《线性代数》期末试卷

（32学时）

专业班级_____________________

姓名_____________________

学号_____________________

开课系室应用数学系

考试日期2014 年1月9日

注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；

2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；

3．本试卷共六道大题，满分100分；

4．试卷本请勿撕开，否则作废；

5．本试卷正文共6页。

一．填空题（3分?5=15分）

1．在5阶行列式中，项4123125435a a a a a 前的符号为【 】.

2. 设3阶方阵100025013A ?? ?

= ? ???

，则1A -=【 】.

3. 设向量组1(,0,)T a c α=，2(,,0)T b c α=，3(0,,)T a b α=线性无关，则,,a b c 必满 足关系式【 】.

4. 设n 阶可逆矩阵A 的每行元素之和为常数a ，则1A -的每行元素之和为【 】.

5．设二次型2221231231213(,,)4222f x x x x x x tx x x x =++++，当t 满足【 】

时，123(,,)f x x x 为正定二次型.

二. 选择题（3分?5=15分）

1. 设3040

222207004222

D =---，则D 的第4行元素余子式之和为【 】.

(A) 0; (B) 28; (C) 28-; (D) 前面选项都不对.

2. 设A 是n 阶方阵，2A =，*A 为A 的伴随矩阵，则1*-=A A 【 】. (A) 2； (B) 2n ； (C) 12-n ； (D) 前面选项都不对.

3. 已知矩阵11221130B a -?? ?

= ? ?-??，且()2R B =，则a =【 】.

(A) 5; (B) 1; (C) 1-; (D) 5-.

4. 设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则方程组0=Ax 有非零 解的充分必要条件是【 】.

(A) r n =； (B) r n ≥； (C) r n >； (D) r n <.

5．设3阶方阵A 的特征值为1,2,3-，E 为单位矩阵，则2+A E 的迹(2)tr A E + 为【 】.

(A) 7； (B) 7-； (C) 2； (D) 前面选项都不对.

三. 解下列各题（8分?4=32分）

1.计算行列式

1111

1111

1111

1111

a

a

D

a

a

+-

+-

=

+-

-+

.

2.已知矩阵

201

020,

102

A

??

?

= ?

?

-

??

022

221

341

B

??

?

= ?

?

??

，且满足矩阵方程-=+

AX E B X

求矩阵X.

3. 设有向量组

123451113311311,,,,2134531557ααααα-?????????? ? ? ? ? ?--- ? ? ? ? ?

===== ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ?-??????????

(1) 求此向量组的秩，并求一个最大无关组；(2) 将其余向量用这个最大无关组线性表示.

4. 设3R 的两个基为1(1,0,1),T α=-2(1,0,1),T α=--3(0,1,0)T α=，及1(1,2,1),T β=

2(1,1,1),T β=- 3(1,1,1)T β=-. (1)求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵C ；

(2)求1β关于基123,,ααα的坐标.

四. （7分?2=14分）

1. 设方阵A 满足方程220A A E --=，证明2A E +可逆，并求 ()

1

2A E -+.

2．设向量组1234,,,αααα线性无关，11234,βαααα=+++21234234,βαααα=+++

312344916,βαααα=+++4123482764βαααα=+++，证明向量组1234,,,ββββ也

线性无关.

五．（12分）

λ取何值时，线性方程组

2123123123

1x x x x x x x x x λλλλλ?++=?

++=??++=? (1) 有唯一解；(2) 无解；(3) 有无穷多解，并求此时的通解.

六．（12分）

设实二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =-+，用正交变换x P y =将此二次型化为标准形，写出正交矩阵P 及二次型的标准形.