数学实验--matlab-Koch雪花

《数学实验》报告3 分形实例

电气二班陆展辉201430222325（51）

问题描述

1.对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch

雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。

2、对一条横向线段，先将其等分成4段，然后再将第二段向上移，将第三段向下移，再将第四段的相邻端点连接起来，迭代一次后变成图3-21.继续迭代得到的分形图，称为Minkowski香肠。编制程序绘制出它的图形，并计算它的分形维数。

图3-21 Minkowski香肠一次迭代

问题分析与实验过程

实验过程：

1.仿照Koch曲线代码对三角形的每条边进行Koch曲线化，函数的输入参数有三角形的边长R和迭代次数k,输出Koch

雪花图形以及雪花所围面积S.

(1)代码如下：

function xuehua(k) % k为迭代次数

for j=0:2 %依次对3条边进行Koch曲线运算

if j==0;

p=[0,0;10,0];

elseif j==1;

p=[5,-5*sqrt(3);0,0];

else j==2;

p=[10,0;5,-5*sqrt(3)];

end

n=1; %存放线段的数量，初始值为1

A=[cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3)]; %用于计算新的结点for s=1:k

j=0; % j为行数

for i=1:n

q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标

q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标

d=(q2-q1)/3;

j=j+1;r(j,:)=q1; %原起点存入r

j=j+1;r(j,:)=q1+d; %新1点存入r

j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A'; %新2点存入r

j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; %新3点存入r

end

n=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4

clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中

p=[r;q2]; %一条边的全部结点

clear r

end

plot(p(:,1),p(:,2)) %连接各个结点

hold on;

axis equal

end

不同k对应不同的图像如下：

k=1

k=2

k=3 (2)Koch雪花面积推导如下所示：

k=0时S=

2 3 4

r

k=1时S=

2

3

4

r

+

2

3

12

r

k=2时S=

2

3

4

r

+

2

3

12

r

+

2

3

27

r

k=3时S=

2

3

4

r

+

2

3

12

r

+

2

3

27

r

+

2

43

243

r

k=n时S=

2

3

4

r

+

2

3

12

r

+ …+

2(1)12

1

33

*4*()

43

n

n

r

r--

-

+

2(1)2

33

*4*()

43

n

n

r

r-

每一次迭加，所产生的新三角形的边长变为上一次的1

3，数量为上一次的4倍.

S=

2

3

4

r

+

2

3

4

r

*（3*

2

1

()

3+12*

2

2

1

()

3+……+3*(1)

4n-*

2

1

()

3n）

=

2

3

4

r

+

2

3

4

r

*

(1)2

1

1

[3*4*()]

3

n

i

i

i

-

=

∑

曲线总面积无穷大。

（3)综上所述可得Koch雪花的分形维数为：

根据迭代的规律得到：

相似形个数：m=6 边长放大倍数：c=3，

ln ln ln6ln3

d m c

=÷=÷=1.631

2、绘制Minkowski香肠

（1）编辑实现题目迭代的函数

在Matlab中，编制一个函数来绘制Minkowski香肠的图形。具体代码如下：

function Minkowski (k) % 显示迭代k次后的Minkowski曲线图

p=[0,0;10,0]; % 存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标

n=1; % 存放线段的数量，初始值为1

A=[0,1;-1,0]; % 用于计算新的结点

for s=1:k % 实现迭代过程，计算所有的结点的坐标

j=0;

for i=1:n;

q1=p (i,:); % 目前线段的起点坐标

q2=p (i+1,:); % 目前线段的终点坐标

d=(q2-q1)/4;

j=j+1;r (j,:)=q1; % 原起点存入r

j=j+1;r (j,:)=q1+d; % 新1点存入r

j=j+1;r (j,:)=q1+d+d*A; % 新2点存入r

j=j+1;r (j,:)=q1+2*d+d*A; % 新3点存入r

j=j+1;r (j,:)=q1+2*d+d*A'; % 新4点存入r

j=j+1;r (j,:)=q1+3*d+d*A'; % 新5点存入r

j=j+1;r (j,:)=q1+3*d; % 新6点存入r

end % 原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入r

n=n*7; % 全部线段迭代一次后，线段数量乘7

clear p % 清空p，注意：最后一个终点q2不在r中

p=[r;q2]; % 重新装载本次迭代后的全部结点

end

plot (p (:,1),p (:,2)) % 显示各结点的连线图

axis equal % 各坐标轴同比列

将这个文件保存，文件名记为Minkowski.m.

（2）绘制Minkowski香肠的图形

①代码：frat（3）

运行结果如下图所示：

②代码：frat（5）

运行结果如下图所示：

(3)计算Minkowski香肠的维数

根据迭代规律得到：形似形个数m=7,边长放大倍数c=4，故维数d=1.4037.

因此Minkowski香肠的维数介于1与2之间。具体计算如下：

d=ln m/ln c=ln 7/ln 4=1.4037

u=[0,1];

for k=1:4

m=u/4;

uu=[m,1/4+m*(i),m+1/4+i/4,1/2+i/4+m*(-i),1/2,1/2+m*(-i),m+1/2-i/4,m*(i)+3/4-i/4,m+3/4]; subplot(2,2,k);

plot(uu)

u=uu;

end

结果合理性分析

通过模仿学习书本上的例题，用程序绘制出了Koch雪花和Minkowski香肠的图形，并且和网上标准结果对照一致，此外计算出了两图形的维数，都符合实际情形；故可认为所得图形和维数计算结果很具有合理性。

实验总结与实验感悟

实验总结

通过这次实验再次拓展了迭代法，而且还学习了迭代法应用于分形实例，对解决分形图形问题提供了强大的软件支持，Matla及其代码给分形图形的绘制创造了很便捷的操作平台，并且易于操作与分析理解。

感悟

Matlab作为一种数学工具，它不仅在处理数据方面能给我们提供很大的方便，而且还能帮我们绘制出比较复杂、美观的的分形图形，给我们的学习带来了很多便捷.慢慢积累学会了Matlab的这些实用功能可以帮助我们很好的去完成更多有趣的数学实验。