2019年佛山市普通高中数学青年教师基本功试题参考答案(定稿)

2019年佛山市普通高中数学青年教师基本功

解题能力展示试题参考答案

13．79?

14．3

11

15． 16．

4

π 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =?=.

由22

12a b b =，可得22

21

36a b b ==. 因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①.

………………………………………2分

因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以2

11n n n a b b ++=，

因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=.…………………………………3分

于是当2n ≥时，n a =.

将②、③代入①式，可得，因此数列

是首项为4，公差为2的等差数列，

()122n d n ?=+，于是()2

41n b n =+. ………………………………………………4分

由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n =+. ………………………………5分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为2111

12

72347

4417

n n ++++

<

+?.………………………8分 方法一:首先证明2

121144171n n n n ??

（2n ≥）. 因为

22

222

121112778824417144177n n n n n n n n n n n n

????+>, 所以当2n ≥时，2

11

112111

11212723

441772317727

n n n n ????

??+++

<+?++?<+?= ? ???+?+??

????. …10分 当1n =时，

1277

<.

…………………………………………………………………11分

综上所述，对一切正整数n ，有7

2

11...111111321

()()22111111441443212342123n n n n n n n n ??

<==? ?+?+??+?+??

.

当3n ≥时，

2111

723

441

n n +++

+?

z

F

11111111

11172345971123212123n n n n ??????????<

++?+?++?+? ? ? ? ????+?+??????????

111111112

723457714147

??<

+++<++= ???. …………………………………………………10分 当1n =时，

1277<；当2n =时，11112723777

+<+=. ………………………………………11分

综上所述，对一切正整数n ，有7

2

11...111111321

()()22

11111144141212122121n n n n n n n ??

<==? ?+???+?+??

. 当4n ≥时,

2111

723441

n n +++

+?

111111111

1117234727991123212121n n n n ??????????<

+++?+?++?+? ? ? ? ??????+????

??????

1111272347147<

+++<. …………………………………………………10分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112

723777+<+=；

当3n =时，1111112

72347714147

++<++=. ……11分

综上所述，对一切正整数n ，有

7

2

11...111111321

所以//BC 平面ADE , 同理//CF 平面ADE , 又BC

CF C =,所以平面//BCF 平面ADE ,

又BF ?平面BCF ,所以//BF 平面ADE . …………………………………………4分 (Ⅱ)以A 为原点,建立空间直角坐标系A xyz ?如图所示, 则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2A B C D E ,

设()0CF h h =>,则()1,2,F h ,()1,1,0BD =?,()1,0,2BE =?,(1,2,2CE =??设平面BDE 的法向量为(),,x y z =n ,则00

BD BE ??=?

?=?n n ,即0

20

x y x z ?+=??

?+=?,

解得22x z

y z

=??=?,令1z =,得()2,2,1=n ,设直线CE 与平面BDE 所成角为θ,则

sin θ=4cos ,9

CE CE CE ?<>=

=n

n n ,

所以直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为

4

9

. ……………………9分

(Ⅲ)设(),,x y z =m 为平面BDF 的法向量,则00BD BF ??=??=?m m ,即020x y y hz ?+=??+=?,解得2x y

y z h =??

?=???

,

令y h =,得(),,2h h =?m ,依题意

,1

cos ,3

?==

=?m n m n m n

,解得87h =.

所以线段CF 的长为

8

7

. …………………………………………12分 19. 解：（Ⅰ）由题意得222212.

a c a a

b

c =???

=???=+?，，

解得b =

所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=． ……………………………5分 （Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ．

因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =，所以11(3,3)P x y ． 因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=． 所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ??=??，

123212323(),3().x x x x y y y y λλ?=???

?=??解得312

31

231,31.x x x y y y λλλλλλ??=+?????=+?? 因为点Q 在椭圆C 上，所以22

33143

x y +=．

所以2

2

1212313

1()

(

)

14

3

x x y y λλλ

λ

λ

λ??++

+=．

即22222112212122296(1)()()()()1434343

x y x y x x y y λλλλλ??+++?+=1， 因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，22

22

143

x y +=．

因为直线,OA OB 的斜率之积为3

4?，所以1212

34y y x x ?=?，即1212043x x y y +=． 所以

2

2

9

1(

)1λλλ

?+=，解得5λ=． 所以||

||5||

BP BQ λ==． ……………………………12分

20. 【解析】(Ⅰ)方法1:设方案一中每组的化验次数为X ,则X 的取值为1,6．………………………1分

所以()510.990.951P X ===,()5

610.990.049P X ==?=, ……………………………………2分

所以X 的分布列为

所以1EX =?分

故方案一的化验总次数的期望为:1111 1.24513.695EX ?=?=次． ………………………………4分 设方案二中每组的化验次数为Y ,则Y 的取值为1,12,

所以()1110.990.895P Y ===,()11

1210.990.105P Y ==?=,……………………………………5分

所以Y 的分布列为

所以1EY =?分

故方案二的化验总次数的期望为:55 2.15510.775EX ?=?=次． …………………………………7分 因13.69510.775>,所以方案二工作量更少．……………………………………………………………8分 方法2:也可设方案一中每个人的化验次数为X ,则X 的取值为15,6

5

． 方案二中每个人的化验次数为Y ,则Y 的取值为

111,1211

． 同方法一可计算得0.249EX =,0.196EY =,因EX EY >,所以方案二工作量更少.

(Ⅱ)设事件A :血检呈阳性；事件B :患疾病．…………………………………………………………9分

则由题意有()0.01P A =,()0.004P B =,()

0.99P A B =,…………………………………………10分 由条件概率公式()()

()

P AB P A B P B =,得()()()0.0040.99P AB P B P A B ==?, ………………11分

故()

()()0.0040.99

0.3960.01

P AB P B A P A ?=

==,所以血检呈阳性的人确实患病的概率为39.6%.…12分

21. 【解析】（I ）当0a =时，()sin cos f x x x x =+，[,]x ππ∈?.

'()sin cos sin cos f x x x x x x x =+?=.

当x 在区间[,]ππ?上变化时，'()f x ，()f x 的变化如下表

所以()f x 的单调增区间为(,)2π

π??

，(0,)2

π；()f x 的单调减区间为(,0)2π

?， (,)2

π

π.……………………………………………………………………………4分

（II ）任取[,]x ππ∈?.

2211

()()sin()cos()()sin cos ()22

f x x x x a x x x x ax f x ?=??+?+?=++=，

所以()f x 是偶函数.

'()cos (cos )f x ax x x x a x =+=+.

当1a ≥时，cos 0a x +≥在[0,)π上恒成立，所以[0,)x π∈时，'()0f x ≥. 所以()f x 在[0,]π上单调递增.

又因为(0)1f =，所以()f x 在[0,]π上有0个零点. 又因为()f x 是偶函数，所以()f x 在[,]ππ?上有0个零点. 当01a <<时，令'()0f x =，得cos x a =?. 由10a ?

,)2

x π

π∈使得0cos x a =?.

所以当0[0,)x x ∈时，'()0f x ≥，()f x 单调递增； 当0(,)x x π∈时，'()0f x <，()f x 单调递减. 因为(0)1f =，0()1f x >，2

1()12

f a ππ=?. ①当

21102a π?>，即22

1a π

<<时，()f x 在[0,]π上有0个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ?上有0个零点. ②当

21102a π?≤，即22

0a π

<≤时，()f x 在[0,]π上有1个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ?上有2个零点. 综上，当2

2

0a π

<≤

时，()f x 有2个零点；当2

2

a π

>

时，()f x 有0个零点.

………………………………………………………………………………………12分

22.写出来，谈的有想法就给分，采取加分原则.