高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全)

必修四常考公式及高频考点

第一部分 三角函数与三角恒等变换

考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以构成一个集合：{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法：

第一象限角的集合为{α| k ·360 °<α

第二象限角的集合为{α| k ·360 °+90 °<α

（1）若所求角β的终边在某条射线上，其集合表示形式为{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z },其中α为射线与x 轴非负半轴形成的夹角

（2）若所求角β的终边在某条直线上，其集合表示形式为{β|β= k ·180 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角

（3）若所求角β的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为{β|β= k ·90 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角 例：

终边在y 轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k ·360 °+270 °,k ∈Z }

终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k ·180 °+135 °,k ∈Z } 终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k ·90 °+45 °,k ∈Z } 易错提醒：

区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角

考点二 弧度制有关概念与公式 1.弧度制与角度制互化

π=?180，1801π=

?，1弧度?≈?

=

3.57180π

2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）

弧长公式：R R

n l απ==

180

, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积公式：lR R n S 2

1

3602==

π=12 R 2|α|, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 易错提醒：利用S=12

R 2

|α|求解扇形面积公式时，α为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数

规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧

考点三 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么sin y r α=，cos x r α=，tan y x

α=（22||r OP x y ==

+；

化简为x

y

x y

===αααtan ,cos ,sin . 2.三角函数值符号

规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号. 3.特殊角三角函数值

除此之外，还需记住150、750的正弦、余弦、正切值 4.三角函数线

经典结论： (1)若(0,)2

x π

∈，则sin tan x x x << (2)若(0,

)2

x π

∈，则1sin cos 2x x <+≤(3)|sin ||cos |1x x +≥

例：

y O

x

y

O

x

α终边

y

O

x y

O

x P M A T

P

M A T

正弦线

余弦线 正切线

P

P M

A T

P M

A T α终边

α终边

α终边

在单位圆中分别画出满足sin α＝12、cos α＝1

2、tan α＝－1的角α的终边，并求角α的取值集合

sin y x =

cos y x = tan y x =

图象

定义域

R R

,2x x k k ππ??≠+∈Z ????

值域

[]1,1-

[]1,1-

R

最值

当22

x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；

当22

x k ππ=-()k ∈Z 时，min

1y

=-．

当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；

当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．

既无最大值也无最小值

周期性 2π

2π

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在2,222k k ππππ?

?

-+???

?()k ∈Z 上是增函数； 在32,222k k ππππ?

?++???

?()k ∈Z 上是减函

数．

在

[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．

在,2

2k k ππππ??-+

??

?

()k ∈Z 上是增函数．

对称性

对称中心()(),0k k π∈Z

对称轴()2

x k k π

π=+

∈Z 对称中心(),02

k k ππ??

+∈Z

??

?

对称轴()x k k π=∈Z

对称中心(),02

k k π??∈Z

???

无对称轴

考点五 正弦型（y=Asin(ωx ＋φ)）、余弦型函数（y=Acos(ωx ＋φ)）、正切性函数（y=Atan(ωx ＋φ)）图像与性质 1.解析式求法

字母 确定途径 说明

A 由最值确定 A ＝最大值－最小值2

B 由最值确定

B ＝最大值＋最小值2

ω 由函数的周期确定

相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期

φ

由图象上的特殊点确定

可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；也可通过解简单三角方程确定

A 、

B 通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路：

函

数

性 质

①φ求解思路：

代入图像的确定点的坐标.如带入最高点),(11y x 或最低点坐标),(22y x ，则)(22

1Z k k x ∈+=

+ππ

?ω或

)(22

32Z k k x ∈+=

+ππ

?ω，求?值． 易错提醒：y=Asin(ωx＋φ)，当ω>0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不满足ω>0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+600

)的初相是-600

②ω求解思路：

利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一. 2.“一图、两域、四性” “一图”：学好三角函数，图像是关键。

易错提醒：“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x ，不可针对-x 或2x 等. 例： “两域”： (1) 定义域

求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解. (2) 值域(最值)： a.直接法（有界法）：利用sinx ，cosx 的值域.

b.化一法：化为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值).

c.换元法：把sinx 或cosx 看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题. 例：

1.y=asinx 2

+bsinx+c

2.y=asinx 2+bsinxcosx+ccosx 2

3.y=(asinx+c)/(bcosx+d)

4.y=a(sinx ±cosx)+bsinxcosx+c “四性”： (1)单调性

①函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ-π2<ωx+φ<2kπ＋π

2，k ∈Z 解得, 单调递减区间由

2kπ+π

2

<ωx+φ<2 kπ＋1.5π，k ∈Z 解得;

②函数y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ+π<ωx+φ<2kπ＋2π,k ∈Z 解得, 单调递减区间由2kπ<ωx+φ<2 kπ＋π，k ∈Z 解得;

③函数y=Atan(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由kπ-π2<ωx+φ

2，k ∈Z 解得,.

规律总结：注意ω、A 为负数时的处理技巧．

(2)对称性

①函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ＋π

2(k ∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得;

②函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ＋π

2(k ∈Z) 解得;

③函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心由ωx+φ= kπ(k ∈Z)解得. 规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A 符号. (3)奇偶性

①函数y ＝Asin(ωx＋φ)，x ∈R 是奇函数?φ＝kπ(k∈Z)，函数y ＝Asin(ωx＋φ)，x ∈R 是偶函数?φ＝kπ＋π

2(k

∈Z)；

②函数y ＝Acos(ωx＋φ)，x ∈R 是奇函数?φ＝kπ＋π

2

(k ∈Z)；函数y ＝Acos(ωx＋φ)，x ∈R 是偶函数?φ＝kπ(k ∈Z)；

③函数y ＝Atan(ωx＋φ)，x ∈R 是奇函数?φ＝kπ

2(k ∈Z)．

规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A 符号. (4)周期性

函数y ＝Asi n(ωx＋φ)或y ＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T ＝2π

|ω|，

y ＝Atan(ωx＋φ) 的最小正周期T ＝

π|ω|

.

考点六 常见公式

常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用 1.同角三角函数的基本关系

22sin cos 1θθ+=；tan θ=

θ

θ

cos sin 2.三角函数化简思路：“去负、脱周、化锐” （1）去负，即负角化正角：

sin(-a)=-sina ； cos(-a)=cosa ；tan(-a)=-tana ；

（2）脱周，即将不在（0,2π）的角化为（0,2π）的角：

sin(2k π+a)=sina ； cos(2k π+a)=cosa ；tan(2k π+a)=-tana ； （3）化锐，即将在（0,2π）的角化为锐角： 6组诱导公式

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

()5sin cos 2π

αα??-=

???，cos sin 2παα??

-= ???

．