(word完整版)2001高考数学(全国理科)

2001年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理工农医类）

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。第I 卷1至2页。第II 卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 60分）

注意事项：

1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式：

三角函数的积化和差公式

()()[]βαβαβα-++=

sin sin 21

cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21

sin cos

()()[]βαβαβα-++=cos cos 21

cos cos

()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21

sin sin

正棱台、圆台的侧面积公式

()l c c S +'=

2

1

台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长

台体的体积公式

()

h S S S S V +'+'=

3

1

台体 其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高

一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 若0cos sin >θθ，则θ在

（A ）第一、二象限 （B ）第一、三象限 （C ）第一、四象限 （D ）第二、四象限 （2）过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是 （A ）()()4132

2

=++-y x （B ）()()4132

2

=-++y x

（C ）()()4112

2

=-+-y x （D ）()()4112

2

=+++y x

（3）设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）6

（4）若定义在区间()01，

-内的函数()()1log 2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是 （A ）（0，

21） （B ）（0，21] （C ）（2

1

，+∞） （D ）（0，+∞） (5)极坐标方程)4

sin(2π

θρ+

=的图形是

（A ） （B ） （C ） （D ）

（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是

（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y （B ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y π （C ）)20)(1arccos(≤≤-=x x y （D ）)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π （7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为 （A ）

43 （B ）32 （C ）21 （D ）4

1 （8）若4

0π

βα<

<

<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则

（A ）b a < （B ）b a > （C ）1ab

（9）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =

，则1AB 与B C 1所成的角的大小为

（A ）60° （B ）90° （C ）105° （D ）75° （10）设)()(x g x f 、都是单调函数，有如下四个命题： ○

1若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ○

2若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ○

3若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ○

4若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减； 其中，正确的命题是

（A ）○1○3 （B ）○1○4 （C ） ○2○3 （D ）○2○4

（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面

积分别为321P P P 、、

.

①

② ③

若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则

（A ）123P P P >>（B ）123P P P =>（C ）123P P P >=（D ）123P P P ==

（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为 （A ）26 （B ）24

（C ）20 （D ）19

第II 卷（非选择题 90分）

注意事项：

1． 第II 卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横 线上。 （13）若一个椭圆的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个椭圆的侧面积是

（14）双曲线

116

92

2=-y x 的两个焦点为21F F 、，点P 在双曲线上.若1PF ⊥2PF ，则点P 到x 轴的距离为 .

（15）设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和.若{}n S 是等差数列，则=q . （16）圆周上有2n 个等分点（1>n ），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .

三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。

(17)(本小题满分12分)

如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，

∠90=ABC °，SA ⊥面ABCD ，1===BC AB SA 2

1=

AD . (Ⅰ)求四棱锥ABCD S -的体积；

(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.

(18) (本小题满分12分) 已知复数3

1)1(i i z -=. (Ⅰ)求1arg z 及1z ；

(Ⅱ)当复数z 满足1=z ，求1z z -的最大值. （19）(本小题满分12分)

设抛物线)0(22

>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A 、两点. 点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴. 证明直线AC 经过原点O .

（20）(本小题满分12分)

已知n m i ,,是正整数，且n m i <≤<1.

(Ⅰ)证明 i

n i i m i P m P n <；

(Ⅱ)证明 m

n n m )1()1(+>+.

(21) (本小题满分12分)

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投

入800万元，以后每年投入将比上年减少

5

1

. 本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4

1

.

(Ⅰ)设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元. 写出n n b a ,的表达式； (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

(22) (本小题满分14分)

设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意]2

1,0[,21∈x x ，都有

)()()(2121x f x f x x f ?=+，且0)1(>=a f .

(Ⅰ)求)21(f 及)4

1(f ; (Ⅱ)证明)(x f 是周期函数； (Ⅲ)记)21

2(n

n f a n +=，求)(ln lim n n a ∞→.

数学试题(理工农医类)参考答案及评分标准

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分． (1)B (2)C (3)B (4)A (5)C (6)A (7)C (8)A (9)B (10)C (11)D (12)D

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分．满分16分． (13)2π

(14)

5

16 (15)1 (16)2n (n －1)

三．解答题．

(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分． 解：(I)直角梯形ABCD 的面积是 M 底面=

21 ( BC +AD )AB ＝4

3125.01=?+ ……2分 ∴四棱推S-ABCD 的体积是

4

14313131

=??=??=

底面M SA V ……4分 (II)延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 ……6分

∵AD ∥BC ，BC =2AD ∴EA =AB =SA ，∴SE ⊥SB

∵SA ⊥面ABCD ，得面ASB ⊥面ESC ，EB 是交线， 又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ， 故SB 是CS 在面SEB 上的射影， ∴CS ⊥SE ，

所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ……10分

2

2

,1,222==

∠∴⊥==+=∴SB BC BSC tg SB BC BC AB SA SB

即所求二面角的正切值为

2

2

。 ……12分

(18)本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．

分

的最大值为从而得到取最大值时当分

则设分

得化成三角形式将分

解12122|z z |2

49|z z |,1)4

sin(9)4

sin(249)2(sin )2(cos |z z |i

)2(sin )2(cos z z ,sin i cos z )II (622|z |,4

7arcz ),4

7sin i 47(cos 22z ,z 3i 22)i 1(i |z z |z )I (:1212

221111113211K K K K K K K K +-+-=π

+απ

+α+=+α+-α=-+α+-α=-α+α==π

=

∴ππ=-=-=-

(19)本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分． 证明一：

因为抛物线y 2=2pc (p >0)的焦点为F (0,2

p

)，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为 x =my +

2

p 代人抛物线方程得 y 2-2pcmy -p 2=0

若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，y 2是该方程的两个根，所以

y 1y 2= -p 2 因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x=-2

p

上，所以点C 的坐标 为(-

2

p

，y 2)，故直线CO 的斜率为 11

1222

x y y p p y k ==-=

即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ．

证明二：如图，

记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ， 过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ． ……2分

连结AC ，与EF 相交手点N ，则

|

||

|||||,|

||

|||||||||AB AF BC NF AB BF AC CN AD EN =

==

……6分 根据抛物线的几何性质，|AF |=|AD |，|BF |=|BC |

……8分

|,||

||

|||||||||||NF AB BC AF AB BF AD EN =?=?=

∴

即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ． ……12分

(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．

分

即所以有对整数由于分同理有对于证明6p n p m ,m

p n p ,m k

m n k n ,1i ,,2,1k ,n m 4,

n 1i n n

1n n n n p ,m 1

i m m 1m m m m p ),1i m (m p ,m i 1:)I (i m

i i n i i i m

i i n i i

n i

i m i m K K K K K K K K >>->--=<+-??-?=+-??-?=+-??=≤< 分

即又因此

所以分而知由分

由二项式定理有证明12.

)n 1()m 1(.

C

n C m

).

n i m (0C m ,mn nC mC ,C n C m .

C

n C m

).

n m i 1(C n C m 10!

i P C ,!i P C ),

n m i 1(P n P m )I (8,

C

n )n 1(,

C

m )m 1(:)II (m n m

i i m i m

i i n

i

i

n i 1m 1n 0m 00n 0m

2i i m i m

2i i n

i

i m i i n i i

n i n i m i m

i

m i i n i i m m

i i m i

n n

0i i

n

K K K K K K +>+>

∴

≤<>===>

<≤<>==<≤<>=

+=+∑∑∑∑∑∑======

(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．

解．(I)第1年投入为800万元．第2年投入为800×(1-5

1

)万元，……，第n 年投入为 800×(1-

5

1)n -1

万元. 所以，n 年的总收入为

分

3];

)5

4

(1[4000)

51

1(800)5

1

1(800)511(800800a n n

1

k 1

k 1

n n ΛΛΛΛ-?=-?=

-?++-?+=∑=--

第 1年旅游业收入为 400万元，第 2年旅游业收入为 400 ×(1+4

1

)万元，……，第n 年旅游 业收人为400×(1+

4

1)n -1

万元． 所以，n 年内的旅游业总收入为

分

6];1)5

4

[(1600)41

1(400)4

1

1(400)411(400400b n n

1

k 1

k 1

n n ΛΛΛΛ-?=+?=

-?+++?+=∑

=--

(11)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 5

n ,52)54()

(1x ,52

x 02x 7x 5,)5

4

(x 90

7)54

(2)54(50

])54

(1[4000]1)54[(16000

a b n 2n n n n n n n ≥<><>+-=>-?+?>-?--?>-由此得即舍去解此不等式得

代入上式

设分

化简得即ΛΛ

答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入 …12分

(22)本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力，满分14分．

分

分所以

都有因为解6.a )41

(f ,a )21(f 0a )1(f 3,)]41(f [)41(f )41(f )41,41(f )21(f ,

)]21

(f [)21(f )21(f )21,21(f )1(f ].

1,0[x ,0)2x

(f )2x (f )x (f ),x (f )x (f )x x (f ],2

1

,0[x ,x :)I (41

21

22212121ΛΛΛΛΘ==>==?===?==∈≥?=+=+∈

分

是它的一个周期且上的周期函数是这表明得代换以将上式中的是偶函数知又由分

即故对称关于直线依题意证明10.

2,R )x (f R

x ),2x (f )x (f ,x x ,R x ),x 2(f )x (f ,R x ),x (f )x (f )x (f 8,

R x ),x 2(f )x (f ),x 1x (f )x (f ,

1x )x (f y :)II (ΛΛΛΛ∈+=-∈-=-∴∈=-∈-=-+===

分

因此分

的一个周期是知由解140)a ln n

21

(lim )a (ln lim ,

a a ),n

21

(f )n 21n 2(f 12,

2)x (f ,

a )n

21

(f ,a )2

1

(f ,

)]n 21(f [)n 21(f )n 21(f )n 21(f )

n 21)1n ((f )n 21(f )

n 21)1n (n 21(f )n 21n (f )21(f ].

1,0[x ,0)x (f )I (:)III (n n n n 21

n n 2121

n ΛΛΛΛΘΛΛ

ΛΘ==∴==+∴=∴==???==?-?=?-+=?=∈≥∞→∞→