《信号与系统》考研奥本海姆版考研复习笔记和典型题

《信号与系统》考研奥本海姆版考研复习笔记和典型

题

一、采样复习笔记

本章重点介绍了采样和采样定理，采样定理在连续时间信号和离散时间信号之间起着桥梁作用，采样在利用离散时间系统技术来实现连续时间系统并处理连续时间信号方面有着至关重要的作用。学完本章读者应该掌握以下内容：

（1）重点掌握采样的过程和采样定理，牢记奈奎斯特采样频率。

（2）掌握内插的定义及如何利用内插由样本重建信号。

（3）重点掌握连续时间信号的离散时间化处理过程。

（4）了解数字微分器及其频率特性。

（5）掌握离散时间信号采样的原理及恢复原离散时间信号的方法。

一、用信号样本表示连续时间信号：采样定理

1冲激串采样

（1）冲激串采样的定义

冲激串采样是指用一个周期冲激串p（t）去乘待采样的连续时间信号x（t）。该周期冲激串p（t）称为采样函数，周期T称为采样周期，而p（t）的基波频率ω＝2π/T称为采样频率。

（2）冲激串采样过程（见图7-1-1）

在时域中有

x p（t）＝x（t）p（t）

在频域中有

即X p（jω）是频率ω的周期函数，它由一组移位的X（jω）的叠加组成，但在幅度上标以1/T的变化。

图7-1-1 冲激串采样过程

（3）采样定理

频带宽度有限信号x（t），在|ω|＞ωM时，X（jω）＝0。如果ωs＞2ωM，其中ωs ＝2π/T，那么x（t）唯一地由其样本x（nT），n＝0，±1，±2，…，所确定。其中频率2ωM称为奈奎斯特率。

已知这些样本值，重建x（t）的办法：

①产生一个冲激幅度就是这些依次而来的样本值的周期冲激串。

②将该冲激串通过一个增益为T，截止频率大于ωM而小于ωs－ωM的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是x（t）。

2零阶保持采样

（1）零阶保持的含义

在一个给定的瞬时对x（t）采样并保持这一样本值，直到下一个样本被采到为止，利用零阶保持采样的原理图如图7-1-2所示。

图7-1-2 利用零阶保持采样

（2）零阶保持采样的过程

零阶保持的输出x0（t）在原理上可以用冲激串采样，再紧跟着一个线性时不变系统（该系统具有矩形的单位冲激响应）来得到，如图7-1-3所示。

①用一个单位冲激响应为h r（t），频率响应为H r（jω）的线性时不变系统来处理x0（t）。

②给出一个H r（jω），以使r（t）＝x（t）。

这就要求

若H r（jω）的截止频率等于ωs/2，则紧跟在一个零阶保持系统后面的重建滤波器的理想模和相位特性如图7-1-4所示。零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，用不着附加任何低通滤波。

图7-1-3 零阶保持输出x0（t）的原理图

图7-1-4 为零阶保持采样重建信号的重建滤波器的模和相位特性

需要注意以下两点：①零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，而不用附加任何低通滤波；②H r（jω）不可能真正实现，必须进行充分近似设计。

二、利用内插由样本重建信号

内插是一个由样本值来重建某一函数的常用过程，也就是用一连续信号对某一组样本值的拟合。

1零阶保持

零阶保持可以看成在样本之间进行内插的一种形式，图7-1-5是零阶保持和理想内插滤波器的传输函数。

图7-1-5 零阶保持和理想内插滤波器的传输函数

2线性内插（一阶保持）

（1）线性内插是将相邻的样本点用直线直接连起来，如图7-1-6所示。

图7-1-6 线性内插（虚线表示原始信号，实线表示线性内插）

（2）利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插（即带限内插）

①输入x r（t）＝x p（t）*h（t）时

上式体现了在样本点x（nT）之间如何拟合成一条连续曲线，因此代表了一种内插公式。

②对于理想低通滤波器H（jω），h（t）为

所以有

按照上式在ωc＝ωs/2时的重建过程如图7-1-7所示，其中（a）图表示带限信号x （t），（b）图表示x（t）的样本冲激串；（c）图表示用sinc函数的叠加取代冲激串的理想带限内插。

图7-1-7 利用sinc函数的理想带限内插

3高阶保持

零阶保持是一种很粗糙的近似，高阶保持是更为平滑的内插手段，它们所产生的恢复信号具有更好的平滑度。

三、欠采样的效果：混叠现象

混叠是指采样后信号的频谱发生重叠导致失真的现象。即当ωs＜2ωM时，x（t）的频谱X（jω）不在X0（jω）中重复，因此利用低通滤波不能把x（t）从采样信号中恢复出来，这时单项发生重叠，被重建的信号x r（t）不等于x（t）。

需要注意：采样定理明确要求采样频率大于信号中最高频率的2倍，而不是大于或等于最高频率的2倍。

四、连续时间信号的离散时间处理

1对连续时间信号的处理方法

处理方法分为以下三个过程，框图如图7-1-8所示。

（1）连续时间到离散时间的转换（C/D）：x d[n]＝x c（nT）。

（2）离散时间系统内部处理，x d[n]和y d[n]都是对应于x c（t）和y c（t）的离散时间信号。

（3）离散时间到连续时间的转换（D/C），实现的是作为它的输入的各样本点之间的内插。

图7-1-8 连续时间信号的离散时间处理

2连续时间信号

x c（t）和它的离散时间表示x d[n]之间的关系。

把从连续时间到离散时间的变换表示成一个周期采样的过程，再紧跟着一个把冲激串映射为一个序列的环节，整个系统的表示如图7-1-9所示，其中图（a）表示整个系统；图（b）表示两种采样率的x p（t），虚线包络代表x c（t）；图（c）表示两种不同采样率的输出序列。

图7-1-9 用一个周期冲激串采样，再跟着一个到离散时间序列的转换

需要注意：连续时间的频率变量用ω表示，将离散时间的频率变量用Ω表示。

3X c（jω）、X p（jω）和X d（e jΩ）的关系

x c（t）和y c（t）的连续时间傅里叶变换分别用X c（jω）和Y c（jω）表示；而x d[n]和y d[n]的离散时间傅里叶变换分别用X d（e jΩ）和Y d（e jΩ）表示。

（1）用x c（t）的样本值来表示x p（t）的连续时间傅里叶变换X p（jω）

又δ（t－nT）的傅里叶变换是e－jωnT，所以

现在考虑x d[n]的离散时间傅里叶变换，即

因为x d[n]＝x c（nT），因此

从而可得X d（e jΩ）和X p（jω）的关系

又因为

因此得到

（2）X c（jω）、X p（jω）和X d（e jΩ）三者之间的关系（见图7-1-10）

①X d（e jΩ）是X p（jω）的重复，唯频率坐标有一个尺度变换。

②x d[n]和x r（t）之间的频谱关系，是通过先把x c（t）的频谱X c（jω）按

进行周期重复，然后再跟着一个按

的线性频率尺度变换联系起来的。

图7-1-10 在两种不同采样率下，X c（jω）、X p（jω）和X d（e jΩ）之间的关系4利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统（见图7-1-11）

图7-1-11 利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统

图7-1-12 图7-1-11所示系统的频域说明

其中（a）连续时间信号的频谱X c（jω）；（b）冲激串采样以后的谱；（c）离散时间序列x d[n]的谱；（d）H d（e jΩ）和X d（e jΩ）相乘后得到的Y d（e jΩ）；（e）H p（jω）和X p（jω）相乘后得到的Y P（jω）；（f）H c（jω）和X c（jω）相乘后得到的Y c（jω）。

（1）图7-1-12左边是某一代表性的频谱X c（jω）、X p（jω）和X d（e jΩ），其中假定ωM＜ωs/2，所以没有混叠发生。相应于时间滤波器输出的谱Y d（e jΩ）是X d （e jΩ）和H d（e jΩ）相乘，如图7-1-12（d）所示。

（2）变换到Y c（jω）就相应于进行频率尺度的变换，然后进行低通滤波，所得到的频谱分别如图7-1-12（e）和图7-1-12（f）所示。

（3）因为Y d（e jΩ）是两个互为重叠的频谱积，如图7-1-12（d）所示，所以对两者都应施加频率尺度的变换和滤波。

（4）将图7-1-12（a）和（f）进行比较，可得Y c（jω）＝X c（jω）H d（e jωT），在输入是充分带限的，并满足采样定理的条件下，图7-1-12的整个系统事实上就等效于一个响应为H c（jω）的连续时间系统，而H c（jω）与离散时间频率响应H d （e jΩ）的关系为

等效的连续时间滤波器的频率响应是该离散时间滤波器在一个周期内的特性，只是频率轴有线性尺度变化。

5数字微分器

连续时间理想带限微分器的频率响应及用于实现一个连续时间带限微分器的离散时间滤波器的频率响应如表7-1-1所示。

表7-1-1 连续时间理想带限微分器及相应离散时间滤波器的频率响应

6半采样间隔延时

在输入x c（t）是带限的，且采样率足够高以避免混叠的条件下，整个系统的输入、输出关系为y c（t）＝x c（t－Δ），Δ代表延时时间。连续时间延时系统频率响应的模和相位特性及相应的离散时间延时系统的频率响应的模和相位特性如表7-1-2所示。

表7-1-2 连续时间延时系统及相应的离散时间延时系统的频率响应

五、离散时间信号采样

1脉冲串采样

（1）离散时间采样系统（见图7-1-13）

由采样过程形成的新序列x p[n]在采样周期N的整倍数点上就等于原来的序列x[n]，而在采样点之间都是零，即

图7-1-13 离散时间采样系统

（2）X（e jω），P（e jω）和X p（e jω）的关系

在时域中有

在频域内有

采样序列p[n]的傅里叶变换是

式中采样频率ωs＝2π/N。于是有

图7-1-14 一个离散时间信号经脉冲串采样后的频域效果

其中图7-1-14（a）原始信号的频谱；（b）采样序列的频谱；（c）在ωs＞2ωM 时已采样信号的频谱；（d）在ωs＜2ωM时已采样信号的频谱，这时发生了混叠。（3）信号的恢复

在ωs＞2ωM没有频谱重叠的情况下（见图7-1-15），X（e jω）如实地在ω＝0和2π的整数倍附近再现，这样x[n]就能利用增益为N，截止频率大于ωm而小于ωs－ωM的低通滤波器从x p[n]中恢复出来。（该低通滤波器的截止频率为ωs/2）

图7-1-15 利用理想低通滤波器从样本中完全恢复一个离散时间信号

其中（a）一个带限信号采样并从样本中恢复的方框图；（b）信号x[n]的频谱；（c）x p[n]的频谱；（d）截止频率为ωs/2的理想低通滤波器的频率响应；（e）重建信号x r[n]的频谱。

（4）该低通滤波器的单位脉冲响应

重建的序列x r[n]是x r[n]＝x p[n]*h[n]，或者等效地写成

上式代表一种理想的带限内插，从而要求实现一个理想低通滤波器。

在一般应用中，往往使用一个适当近似的低通滤波器，这时等效的内插公式为

其中h r[n]是内插滤波器的单位脉冲响应。

2离散时间抽取与内插

（1）离散时间抽取

提取每第N个点上的样本的过程称为抽取。抽取通常指每隔10抽1，现在通指每隔N（不一定为10）取1的运算。

①采样序列x b[n]：用已采样序列x p[n]中的每隔N点上的序列值构成的，即x b[n]＝x p[nN]，或因为x p[n]和x[n]在N的整数倍上都是相等的，可等效为x b[n]＝x[nN]。

②X b（e jω）和X（e jω）的关系X b（e jω）＝X p（e jω/N）。

③x p[n]和抽取序列x b[n]之间的关系：

a．已采样序列x p[n]和抽取序列x b[n]的频谱差别只体现在频率尺度上或归一化上。b．如果这个原始序列x[n]经由连续时间信号采样而得到，那么抽取过程就可以看成在连续时间信号上将采样率减小为原来的1/N的结果。

c．为了避免在抽取过程中产生混叠，原序列x[n]的X（e jω）就不能占满整个频带。（2）内插（或增采样）

内插（或增采样）是把一个序列转换到一个较高的等效采样率上的过程，基本上是抽取或减采样的逆过程。

由x b[n]可形成序列x p[n]，这只需要在x b[n]的每一个序列值之间插入（N－1）个幅度为零的序列值即可。然后可以利用低通滤波从x p[n]中得到这个已被内插了的序列x[n]。