高中数学新课标典型例题 两个基本原理

典型例题一

例1 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？

分析与解：分析个位数字，可分以下几类．

个位是9，则十位可以是1，2，3…，8中的一个，故有8个；

个位是8，则十位可以是1，2，3…，7中的一个，故有7个；

与上同样：

个位是7的有6个；

个位是6的有5个；

……

个位是2的只有1个．

由分类计数原理知，满足条件的两位数有

3682

8187654321=?+=+++++++（个）． 说明：本题是用分类计数原理解答的，结合本题可加深对“做一件事，完成之可以有n 类办法”的理解，所谓“做一件事，完成它可以有n 类办法”，这里是指对完成这件事情的所有办法的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类计数原理．

典型例题七

例7 (1)若a 、b 是正整数且6≤+b a ，则以),(b a 为坐标的点共有多少个？

(2)若x 、y 是整数，且6≤x ，7≤y ，则以),(y x 为坐标的不同的点共有多少

个？

分析：两小题所处理的具体事情都可视为找满足条件的点的坐标，问题是点的坐标有多少个．

(1)因为a 、b 互相制约，可以把点的坐标按a 的取值进行分类，比如1=a ，b 可以取5,4,3,2,1共五个值，2=a ，b 可以取4,3,2,1共四个值，以此类推，然后再用分类计数原理解题．

(2)因为x 、y 的取值相互独立，可以把找点的坐标的过程分成找横坐标和纵坐标分别进行，然后用分步计数原理解题．

解：(1)按a 的取值分类：1=a 时，b 有5个值，2=a 时，b 有4个值，3=a 时，b 有3个值，4=a 时，b 有2个值，5=a 时，b 有1个值．

用分类计数原理，所有满足条件的点的坐标共有：1512345=++++(个)．

(2)先确定x 的取值，共有13个值，再确定y 的取值，共有15个值，用分步计数原理，所有满足条件的点的坐标共有：1951513=?(个)．

说明：本例中找点的坐标，也可换成确定一个两位数，如：个位、十位数字之和小于b

的二位数是多少个？

按个位的取值进行分类：个位取0，十位可取5个数，个位取1，十位可取4个数，以此类推，所有满足条件的两位数共有：1512345=++++(个)．

典型例题三

例3 二年级一班有学生56人，其中男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．

分析与解：男生38人，女生18人，

由分步计数原理共有6841838=?（种）

答：选取代表的方法有684种．

说明：本题是用分步计数原理解答的，结合本题可以加深对“做一件事，完成之需要分成n 个步骤”的理解，所谓“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，分析时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次，分步时还要注意满足完成这件事情必须并且只需连续完成这对n 个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时，才能使用来法原理．

典型例题九

例9 某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件和磁盘至少各买2件，则不同的选购方法种数有多少种？

分析：由于该电脑用户买两种材料所用总钱数不超过500元，所以购买软件和磁盘的数量互相制约，我们可以按购买软件的个数进行分类，用分类计数原理解题．

解：购买单片软件、盒装磁盘各2件，需260元，用钱总数不超过500元，

所以最多还可使用240元，按额外购买的单片软件的数目分类：

购买4件，磁盘不再购买；

购买3件，磁盘不再购买；

购买2件，磁盘不再购买或买1件；

购买1件，磁盘不再购买或买1件，或买2件；

不购买，磁盘不再购买或买1件、2件、3件；

使用分类计数原理，不同的购买结果共有1143211=++++（种）．

典型例题二

例2 在由电键组A 与B 所组成的并联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法有多少种？

解：因为只要合上图中的任一电键，电灯即发光，由于在

电键组A 中有2个电键，电键组B 中有3个电键，应用分类计

数原理，所以共有：

2+3=5种接通电源使灯发亮的方法。

典型例题五

例5 在电键组A 、B 组成的串联电路中，如图，要接通

电源使灯发光的方法有几种？

解：只要在合上A组中两个电键之后，再合上B组中3个电键中的任意一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光，根据分步计数原理共有：

2×3=6中不同的方法接通电源，使电灯发光。

典型例题八

例8 (1)六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？

(2)六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？

分析：(1)可以把报名过程分成六步，你可以充当一个体育班委的角色，先让第一个人报名，有3种不同方法，再让第二个人报名，仍然有3种不同的方法，以此类推，用分步计数原理解题．

(2)本题可视为通过比赛找出三个项目的冠军，仍然可以分为三步，第一步进行第一个项目的比赛，第二步进行第二个项目的比赛……用分步计数原理解题．

解：(1)把报名过程分为六步，第一个人报名有三种方法，第二个人报名有3种方法，

36=种．

以此类推，不同的报名结果共有：729

(2)把比赛决出冠军的过程分为三步，先决出第一项目的冠军，有6种结果，再决出第

63=种．

二项目冠军，有6种结果，以此类推，比赛冠军的不同结果数为：216说明：如果去掉(1)中每人限报一项的要求，又有多少种不同的报名结果？

我们把三个项目记为a、b、c，这样每个人就有八种不同选择，分别为选a、选b、选c、选ab、选ac、选bc、选abc以及不选．再用原来的分步方法，使用分步计数原理，共有

6

8种不同的投报结果．

典型例题六

例6同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）

A．6种B．9种C．11种D．23种

分析：本题完成的具体事情是四个人，每人抽取一张贺卡，问题是按照一定要求，抽取结果有多少种不同情况．我们可以把抽卡片的过程分成四步，先是第一人抽，然后第二人，以此类推，但存在的问题是，我们把四个人记为A、B、C、D，他们的卡片依次记为a、b、c、d，如果第一步A抽取b，接着B可抽a、c、d，有三种方法，而A抽c或d，B仅有两种抽法，这样两步之间产生影响，这样必须就A抽的结果进行分类．解法1：设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是a，b，c，d，当A拿贺年卡b，则B 可拿a，c，d中的任何一个，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同分配方法．同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式．由分类计数原理，四张贺年卡共有3＋3＋3=9种分配方式．解法2：让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡．如果A先拿有3种，此

时写被A 拿走的那张贺年卡的人也有3种不同的取法．接下来，剩下的两个人都各只有一种取法．由分步计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有91133=???种．

∴ 应选B ．

说明：（1）本题从不同的角度去思考，从而得到不同的解答方法，解法1是用分类计数原理解答的，解法2是用分步计数原理解答的．在此有必要再进一步对两个原理加以理解：

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．

如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

（2）分类计数原理、来法原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．

（3）如果把四个人依次抽取的结果用一个图表体现出来，就显得更加清楚．

共有9种不同结果．

这个图表我们称之为“树形图”，在解决此类问题往往很有效，通过它可以把各种不同结果直观地表现出来．

典型例题十一

例11 (1)现有4封信需要寄出，邮局内共有三个邮箱，邮箱的功能相同．问共有多少种投信方法？

(2)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的1个运动队．不同报名方法的种数是43还是34？

分析：这两个问题有一定代表性．以第(1)小题为例：需要完成的事件是把4封信都投出去，而不是把3个邮箱都投上信．事实上可以把4封信都投在一个邮箱里．要完成这件事，可以认为是分4步完成的：把第一封信投出去，把第二封信投出去，……，把第4封信投出去．应用分步计数原理即可得出答案．第(2)小题完全相同，需要完成的事件是4个同学都报上名．

解：(1)完成这件事需分4步，即分4次投信：把第一封信投出去，有3种投法；把第二封信投出去，有3种投法；……．故共有81333334==???种不同的投法．

(2)共有433333=???种不同的报名方法．

说明：此类问题还可举出很多，例如教材上的习题：3个班分别从5个风景点中选择1处游览，不同选法的总数是53还是35？解决问题的关键是牢牢抓住“要完成的事情是什么”，本题要完成的事情是“3个班各选一个风景点”，故可认为分三步完成．答案应是

35555=??．

典型例题十二

例12 已知集合{}3,1,0,2-=A ，集合{}4,2,4,5--=B ．从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，那么在平面直角坐标系内，位于第一、二象限中不同的点共有多少个？

分析：本题要完成的事情是：选出横坐标、纵坐标组成一个点，但没有说明从哪个集合中选出的数作为横坐标，从哪个集合中选出的数作为纵坐标，因此选法可分两类：(1)从A 中选出一数作为横坐标，从B 中选出一数作为纵坐标；(2)从B 中选出一数作为横坐标，从A 中选出一数作为纵坐标．而每一类选法中又分两步完成．

解：选法分为两类：

(1)先从A 中选出一个数作为横坐标，有3种选法)3,1,2(-，再从B 中选出一个数作为横坐标，有2种选法)4,2(（因为纵坐标必须大于0），故共有623=?种选法．

(2)先从B 中选出一个数作为横坐标，有4种选法)4,2,4,5(--，再从A 中选出一个数作为纵坐标，有2种选法)3,1(，故共有824=?种选法．

根据分类计数原理，所有选法总数是1486=+种，也即位于第一、二象限内的点共有14个．

说明：此类问题还可举出多例．如，用7,5,3,1作分子，用8,6,4,2作分母可构造多少个不同的分数？但有一问题需要注意，即有的选法可能被重复计算了2次，这样在合计选法总数时就应该减去1，即被多计算的那种选法，如，从集合{}1,2-=A 和{}3,2,1=B 中各取一个元素作为点的坐标，则位于第一、二象限的点的个数是多少？如果按照例题的解法：点的个数应是91332=?+?，而实际上)2,2(被计算了两次：)1,2(，)2,2(，)3,2(，)1,1(-，)2,1(-，)3,1(-，)2,1(，)2,2(，)2,3(．因此符合条件的点的个数应是8个．

典型例题十四

例14 用5,4,3,2,1,0这6个数字：

(1)可以组成______________个数字不重复的三位数．

(2)可以组成______________个数字允许重复的三位数．

(3)可以组成______________个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．

分析：第(1)和第(2)小题可以认为从上面6个数中选出三个数去填三个空：

，故应分三步完成．百位数不能填0，同时应注意数字可重复与不可重复的

区别．第(3)小题应先分类再分步．

解：(1)分三步：先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；再选十位数字，由于数字不允许重复，因此只能从剩下的5个数字中选一个，有5种选法；最后选个位数字，由于百位数、十位数已经选去了2个数字，故只能从剩下的4个数字中选一个，因此有4种选法．由分步计数原理得，所求三位数共有100455=??个．

(2)分三步：百位数字有5种选法；由于数字允许重复，故十位数字有6种选法；个位数字也有6种选法．因此所求三位数共有180665=??个．

(3)分四类：千位数字为4,3之一时，有1203452=???个；千位数字为5，百位数字为3,2,1,0之一时，共有483441=???个；千位数字是5百位数字是4，十位数字是1,0之一时共有63211=???个；最后还有5420也满足条件．

所以所求四位数共有1751648120=+++个．

说明：(1)数字排列的问题，可以看成从所给定的数字中选出某些数来“填空”，这种方法在很多题目都会用到．例如后面“排列”中有一问题：从甲、乙、丙三名同学中选出2名同学参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有

多少种不同的方法：可以看成是从“甲、乙、丙”三个元素中选出2个去填空：

第一个空有3种填法，第二个空有2种填法（因为当参加上午活动的同学确定

后，参加下午活动的同学就只能从余下的2人中去选）．

(2)在“选元素填空”时，一定要考虑到元素允许重复还是不允许重复．

典型例题四

例4 有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，有多少种不同取法？

分析：任取两本不同类的书，有三类：一、取数学、语文各一本；二、取语文、英语各一本；三、取数学、英语各一本．然后求出每类取法，利用分类计数原理即可得解．

解：取出两本书中，一本数学一本语文有90910=?种不同取法，一本语文一本英语有7289=?种不同取法，一本数学，一本英语有80810=?种不同取法．

由分类计数原理知：共有242807290=++种不同取法．

说明：本例是一个综合应用分步计数原理和分类计数原理的题目，在处理这类问题时，一定要搞清哪里是分类，哪里是分步，以确定利用加法或分步计数原理．

典型例题十三

例15 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ）．

A ．12对

B ．24对

C ．36对

D ．48

解：把六棱锥所有棱分成3类：①底面上的六条棱所在的直线共面，则每两条之间不能构成异面直线．

②六条侧棱所在的直线共点，每两条之间也不能构成异面直线．

③结合图形可知，有2446=?(对)．

的四条侧棱所在的四条直线中一条才能构成异面直线．

由分步计数原理，构成异面直线有2446=?(对)

∴应选B ．

说明：此题是用分步计数原理来解的．结合这几例题，可以加深对“完成一件事，需要分成n 个步骤，分析时，需要分成n 个步骤”的理解，所谓“完成一件事情，需要分成n 个步骤”，分析时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次还要注意完成这件事情必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时，才能使用分步计数原理．