专题01 同构函数型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题01 同构函数型

[高考真题]

1.（2020·新课标卷Ⅱ文数·12）若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+<

C ．ln ||0x y ->

D ．ln ||0x y -< 【答案】A

【分析】将已知2233x y x y ---<-按照“左右形式形式相当，一边一个

变量”的目的变形，然后逆用函数的单调性. 【解析】由2233x y x y ---<-移项变形为2323x x y y ---<- 设()23x x f x -=-

易知()f x 是定义在R 上的增函数，故由2323x x y y ---<-，可得x y <，所以011,y x y x ->?-+> 从而ln(1)0y x -+>，故选A ． 2.（2020·新课标Ⅰ理数·12）若242log 42log a b a b +=+，则（ ） A. 2a b >

B. 2a b <

C. 2a b >

D.

2a b <

【答案】B

【分析】∵2222442242log 2log 2log 2log 21b b b b

b b b b +=+=+=+- ∴2222log 2log 21a b

a b +==+-

设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.

【解析】∵2222442242log 2log 2log 2log 21b b b b

b b b b +=+=+=+- ∴2222log 2log 21a b a b +=+-，故2222log 2log 2a b

a b +<+

设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，

所以()(2)f a f b <，所以2a b <.

2()()f a f b -=2

2222log (2log )a b a b +-+=2

22222log (2log )b b b b +-+=

2

2222log b

b b --，

当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >

当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选B.

【点评】本题需构造函数，其基本策略是：“左右形式相当，一边一

个变量，取左或取右，构造函数妥当”，我们称之为“同构函数”，然后再利用函数的单调性求值. [强化训练]

1.（2012·全国联赛）如果5533cos sin 7(cos sin )θθθθ-<-，[0,2)θπ∈，则θ的取值范围是______________. 【答案】5(,

)44

ππ

2.（2012·辽宁竞赛）不等式33

810

50(1)1

x x x x +-->++的解集是______________.

【解析】原不等式可化为：3

322

5511x x x x ??+?>+ ?

++??

构造函数3()5f x x x =+，则2()350f x x '=+>，()f x 在R 上单增 所以

2

1

x x >+，解之得21x x <-<<或-1 所以原不等式解集是{}21x x x <-<<或-1.

3.（2020·南通五月模拟·14）已知[)0,2θπ∈，若关于k 的不等

式

()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ

的取值范围

为 ．

【答案】0,4π??

????

【分析】本题的实质是含参数θ（这里当然是sin θ、cos θ）的不等式

恒成立问题，

()33sin cos k θθ≤-的对称结

构，构造函数，利用函数的单调性布列不等式.

【解析】看到

()33sin cos k θθ-想“对称结构”，将它变形为：

33sin cos k k θθ

设3()f x kx =-

2()3f x kx '=

易知当(],2k ∈-∞-

时，2()30f x kx '=<，故()f x 在[)0,+∞单减，

所以sin cos sin 0

cos 0

θθθθ≤??≥??≥?

，解之得：04πθ≤≤ 所以θ的取值范围0,4π??

????

．

4.（2019·南师附中期中·14）已知函数，

，则t 的取值范围是 ．

【答案】[1,)+∞

【分析】这里 可以发现13333

log log (2log 1)(3log 1)t t t t =-=---,将

移项变形为

3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(12log )t t f t f t -+-≥+--，易知是奇函数，33(12log )(2log 1)t f t f --=+，故进一步变形为

3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(2log 1)f t t f t t -+-≥-+-，此时,得到一个

()33x x f x -=-3313

(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥3313

(12log )(3log 1)log f t f t t

-+-≥()33x x

f x -=-

“左右形式相当，一边一个变量”的不等式，令()()F x f x x =+，问题转化为33(3log 1)(2log 1)t t F F -≥-，只需研究()()F x f x x =+的单调性，逆用该函数的单调性即可.

【解析】∵13333

log log (12log )(3log 1)t t t t =-=----

∴可变形为：

3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(12log )t t f t f t -+-≥--- ∵是奇函数 ∴33(12log )(2log 1)t f t f --=-

∴3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(2log 1)f t t f t t -+-≥-+- 令()()33x x F x f x x x -=+=-+，则()ln 33ln 3310x x F x -'=?+?+> ∴()F x 单增

∴333log 12log 1t t -≥-，即3log 0t ≥，解之得1t ≥ 所以t 的取值范围是[1,)+∞．

5.（2020·南通如皋创新班四月模拟·2）已知实数a ，b ∈(0，2)，且满

足22

44242

a

b a b b --=

--，则a ＋b 的值为_______． 【答案】2

【分析】将22

4

4242

a b a b b --=

--化为：2222(2)2a b a b -+=-+，设()22x f x x =+，则()f x 在()0,2上递增，由()()2f a f b =-，得a ＋b

的值.

【解析】由22

4

4242

a b a b b --=

--，化简为：22222(2)a b a b -+=+-，即2222(2)2a b a b -+=-+，

3313

(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥()33x x f x -=-

设()22x

f x x =+，则()f x 在()0,2上递增，因为a ，b ∈(0，2)，所以

2-b ∈(0，2)，

且()()2f a f b =-，所以2a b =-，即2a b +=.

6.（2020·淮阴中学、姜堰中学12月考·

14）)已知实数1x ，2x 满足1

31x x e e =，()522ln 2x x e -=，则12x x =______.

【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令

222ln 2,t x t x e +-==，得到3t te e =，研究函数()x f x xe =的单调性，求

出1,x t 关系，即可求解.

解法一：实数1x ，2x 满足1

3

1x x e e =，()522ln 2x x e -=，

2120,x x e >>，222ln 20,t x t x e +-=>=，则3t te e =，

()(0),()(1)0(0)x x f x xe x f x x e x '=>=+>>，

所以()f x 在(0,)+∞单调递增，而3

1()()f x f t e ==，

5121222ln 2,(ln 2)x t x x x x x e ∴==-∴=-=.

解析二：对1

3

1x x e e =两边取自然对数得：11ln 3x x +=，

对()5

22ln 2x x e -=两边取自然对数得：

()22ln ln ln 25x x +-= （※） 为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：

()()22ln 2ln ln 23x x -+-=

设()ln f x x x =+，则1()10f x x

'=+>

所以()f x 在(0,)+∞单调递增，()3f x =的解只有一个.

∴12ln 2x x =-， ∴()5

1222ln 2x x x x e =-=

【点评】两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结

构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程

求解.

7.设方程24x x +=的根为m ，设方程2log 4x x +=的根为n ，则m n += . 【答案】4

8.已知a 3－3a 2＋5a ＝1，b 3－3b 2＋5b ＝5，那么a ＋b 的值是 . 【解析】由题意知a 3－3a 2＋5a －3＝－2，b 3－3b 2＋5b －3＝2，

设f (x )＝x 3－3x 2＋5x －3，则f (a )＝－2，f (b )＝2. 因为f (x )图象的对称中心为(1,0)，所以a ＋b ＝2.

点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数f (x )y ＝ax 3

＋bx 2＋cx ＋d 其对称中心为(x 0，f (x 0))，其中f ″(x 0)＝0. 9.(宿迁·2018·期中)不等式x x x x x x 6

3242-+2+≤-+2++2()()的解集

是 .

【分析】直接解显然是不对路的.观察不等式的特征，发现其含有

x x +2()、两个因式，将不等式转化为“一边一个变量”的形式为：

x x x x x x 64232-+≤+2-+2++2()()()，构造函数f x x x x 32=-+()，

题目转化为求解f x f x 2≤+2()()的问题. 因为f x x x 2'=3-2+1()，

易知f x x x 2'=

3-2+1>0()恒成立，故f x ()为R 上的单调增函数，所以由f x f x 2≤+2()()立得：x x 2≤+2，解之得x -1≤≤2.

【方法点拨】

1. 一个式子中出现两个变量,适当变形后,两边结构相同(如例1);

2.两个式子也可适当变形,使其结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性解题，或运用同一方程代入.