(完整版)第一章,练习册答案

第一章质点运动学

1-1质点作曲线运动，在时刻 t 质点的位失为r ，速度为v ,速率为v , t 至（t t 路程为 s ，

位失大小的变化量为 r （或称 r ），平均速度为v ,平均速率为v 。 （1）根据上述情况，则必有（ B ） 时间内的位移为 r ，

(A) r s r (B) r s r ，当 t 0时有 dr ds dr (C ) r r s ，当 t 0时有 dr dr ds (D)

r s r ，当 t 0时有 dr dr ds （2）根据上述情

况,

则必有 （ C )

(A) v vj 7 v (B) v vj v v

(C ) v v 侗 v (D) v vj v v

1-2 一运动质点在某瞬时位于位失 r （x, y ）的端点处，对其速度的大小有四种意见，即 dr （1）巴；（2） dr ；（3） ds . (4) J (dx )2 (dy ) dt dt dt

X

dt dt

下述判断正确的是 :（ D )

（A ）只有（1） (2) 正确； (A ) 只有 ( 2）正确

（A ）只有（2） (3) 正确； (A ) 只有 ( 3) (4) 正确 1-3质点作曲线运动, r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，s 表示路程，

a t 表示切向加速

度。

/、 dv

/、 dr / 、ds v ； (4) dv (1) 一

a ； (2)— v ； (3)— dt dt dt dt

对下列表达式，即 a t 下述判断正确的是（ D ） （A ）只有（1）（ 4 ）是对的；（A ）只有（2）（ 4）是对的 （A ）只有（2 ）是对的；（A ）只有（3）是对的 1-4 一个质点在做圆周运动时，则有（ B ） （A ）切向加速度一定改变，法向加速度也改变 （B ） 切向加速度可能不变，法向加速度一定改变 （C ） 切向加速度可能不变，法向加速度不变 （D ） 切向加速度一定改变，法向加速度不变 1-5有一质点作直线运动，其运动方程为 x =6t -2t （SI 制），试求: （1） 第二秒内的平均速度； （2） 第三秒末的速度； （3） 第一秒末的加速度；

（4） 质点作什么类型的运动？

(5 0

解：⑴ 先求出质点在第二秒内的位移。由运动方程可知

2

3

t =1s , X 1=6X 1 -2 x 1 =4m 2

3

t =2s , X 2=6x 2 -2 x 2 =8m

第二秒内的平均速度为：

- X 2 X 1

v

把位移对时间求导, 即得质点的速度 dx dt

>t 2

2t 3 12t 6t 2

把t=3s 代入上式, 可得第三秒末的速度为 v 12 3 6 32=- 18m S 1

把速度对时间求导, 即得质点的加速度 把t=1s 代入上式， 质点作变加速直线运动。

可得第一秒末的加速度为 dv

d

丄

~ 2

丄

12t 6t 12 12t dt dt

2

a =12-12 x 1=0m/s

1-6已知一质点的运动方程为 v 2ti (2 t 2

)j (SI 制)。(1)求出t 1s ，和t 2s 时质点的位矢； ⑵

解: (1)

t 1s 时 r-j 2i j m, t 2s 时 r 2 4i 2j m (2) 质点的运动的速度 v dr v v 2i 2t j m/s :

dt v v v v

t 1s 时 v 1 2i 2 j m/s , t 2s 时 v 2 2i 4 j m/s 求出加速度。 求出1s 末和2s 末的速度；⑶

(3) 质点运动的加速度

应 2；

m/s 2

dt

1-7 一质点沿y 轴作直线运动, 其速度大小 2 v y 8 3t ，单位为SI 制。质点的初始位置在 y 轴正方向

10m

处，试求：(1)t 2s 时，质点的加速

度; (2)质点的运动方程。 解：根据题意可知, t 0s 时，v 0 8ms 1 ，y ° 10m (1) 质点在t 2s 时的加速度a y 为a y 妝6t dt

12ms (2) 质点的运动方程y 为dy v y dt ，两边积分

y 10dy t 0(8 3t 2)dt ，因此 y 10 8t t 3 m 1-8某质点在xoy 平面上作加速运动, 加速度a 3

v

v 2t j(m/ s 2)。在零时刻的速度为零，位置矢量r 0 5im 。 试求：(1) t 时刻的速度和位矢;

解：(1)t 时刻的速度v 为dv adt (2)质点在平面上的轨迹方程。 (3v 2tbdt ，积分得 v dv 0

t v v 0(3i 2t j )dt v 因此v (3ti

『bms 1 ；

t 时刻的位矢r 为dr

vdt

(3ti v t 2v

)dt r

积分得 dr

r o

1 ,3v 3

j (3t v t 2Y)dt ，因此 r r 。丄 3屛 -t 3 j

2

3 |t 2)v 3v 2 3

(2)由r 的表达式可得质点的运动方程

3+2 x 5 t

2

3

消去两式中的

t 3

y -

3

3/2

t ，便得轨迹方程

y

1 2

(x 5) m

3 3

1-9 一质点具有恒定加速度 V

(6丫 V 2

V

4j)(mgs )，在t =0时，其速度为零，位置矢量为 r 0 10i (m)。求:

(1)在任意时刻的速度和位置矢量;

解：本题注意根据已知条件在计算过程中进行适当的变量变换。

1-11 一物体沿X 轴作直线运动，其加速度 a kv 2， k 是常数。在t 0时，v V 0， x 0。

(1)求速率随坐标变化的规律； (2)求坐标和速率随时间变化的规律。

解：本题注意变量变换。

(1)

因为a

dv dv dx dt dx dt

dv v

- dx 2

v

dv x

kv ，所以

k dx 得ln Y

v

°

V

V 0

kx ，即 kx

v v 0e

(2)质点在xOy 平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。 d v 解：(1)由a —v

可得：dv adt

两边积分： dt

'adt t

V V

0(6i 4j)dt

注意到：V 0 o 可得: 又由V

.V

竺可得dV V dt

dt

两边积分: v d V r o

t Vdt 0 t V V 0(6ti 4tj)dt 注意到：r 0 10V (m)可得: V 2V 2 V 2 V 2V r 0 (3t 2i 2t 2j) 10 3t 2 i 2t 2j m (2)由运动学方程可得其分量式为： X t 10 3t 2

y t 2t 2

V

V

消去t ,得3y 2x 20，它为直线方程，如左图所示。这里由 V 10i

可得：t 0,x 0 10 m , y 0 0

1-10 一汽艇以速率V 0沿直线行驶。发动机关闭后，汽艇因受到阻力而具有与速度 V 成正比且方向相反的

加速度a kv ,其中k 为常数。求发动机关闭后,

(1)在时刻t 汽艇的速度;

(2)汽艇能滑行的距离。

(1)因为a dv dv 可得一 V

dt kv ， 积分得 m V

V 0

kt ，即: kt

v v °e (2)因为 dv dv ds dv

v — kv ，

dt ds dt V

t

A" kdt ， 所以 dv kdt ，

V

V 0

0 s 所以 dv k ds ， V 0 ks

V 0

0 V c 。

k

如利用ds vdt 进行计算, t 的积分上下限取

发动机关闭后汽艇能滑行的距离为 s 与0,可得同样结果。想一想其合理性。

（2）因为

a

dv

dt

kv 2

，所以

v

dv

v

kdt 可得 v v 0 / (v 0kt 1)

又因为 v 空，所以 dt x dx 0 t

vdt 0 七一^dt ，可得 0 V o kt 1 1 x In (wkt 1) k

1-12潜水艇在下沉力不大的情况下, 自静止开始以加速度 Ae t 竖直下沉（A 为恒量），求任一时 刻的速度和运动方程。 解：以潜水艇开始运动处为坐标原点, 竖直向下为正方向。按质点运动的加速度的定义式 dv

a dt

dv = adt =

Ae t

dt 根据题目的初始条件，积分

v t dx Ae t dt 0

可得潜水艇在任意时刻的速度为 A1 再根据速度的定义式 dx dt

dx vdt △1 e t dt

积分 x dx 0

t

dt

得潜水艇在任意时刻的位置坐标，即运动方程为 At 1-13已知质点作半径为 R 0.10m 的圆周运动, 其角位置与时间的关系为 3 2 4t (其中 的单位为rad ， t 的单位为s ）。试求：（1）当t 2s 时，角速度 和角加速度; (2) 2s 时，切向加速度a t 和法向 加速度a n 。 解：（1）质点的角速度及角加速度为 当t 2s 时, d dt 2 1

12 2 rad gs 48rad gs 12t 2， d dt 1

24t 24 2rad gs 2 48rad cs 2

（2）质点的切向加速度和法向加速度为 a t R 24Rt ，

a

n

R 2 144 Rt 4 当t 2s 时, a t R 24 0.1 2 2

2mgs 4.8m gs

a n 144 0.1 24 mgs 2 230.4mgs 2

1 . ■ 1-14 一球以30m.s -的速度水平抛出， 解：由题意可知，小球作平抛运动，它的运动方程为

试求 5s 钟后加速度的切向分量和法向分量。

x V o t

将上式对时间求导，可得速度在坐标轴上的分量为

g a n a 且互相垂直。由三角形的关系，可求得法向加速度为:

an g 2—a 2

——gVo 代入数据，得 v 2 （gt ）2

在计算法向加速度时，可以先写出它的轨迹方程，再算出曲率半径和速度大小，最后算出法向加速度。 但是这样计算是相当复杂的。在本题中，已经知道总的加速度和切向加速度，可以利用它们三者之间的关 系求解。 1-15如图所示，一卷扬机的鼓轮自静止开始作匀角加速度转动，

水平绞索上的 A 点经3s 后到达鼓轮边缘 B

点处。已知AB 0.45m,鼓轮的半径为 R 0.5m ＞求A 到达最低点C 时的速度与加速度。

1-16 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为 2m 的圆形轨道运动。此质点的角速度与运动的时间的平方

成正比，即 Kt 2 （SI 制）。式中K 为常数。已知质点在第 2秒末的线速度为32m/s ，试求0.50s 时质 点的线速度和加速度。

解：由已知 K -7 -v 2 厘y 4s 3，所以 4t 2，v R 4Rt 2

t 2 Rt 2 2 22

dx dt dy

dt

評t) Vo

伙1g t 2)gt

因而小球在t 时刻速度的大小为v 賦—VJ

I 2

2-

v 0 （gt ）故小球在t 时刻切向加速度的大小为

a t

dv dt

dt vr (gt )2 g 2t ..■v O (gt)2

由因为小球作加速度 a =g 的抛体运动，所以在任意时刻，它的切

向加速度与法向加速度满足:

9.82 5

302

一(9.8一5)2

8.36m S 2， a n

9.8 30 302

(9.8 5)2

5.12m S

解：A 点的加速度也为卷扬机边缘的切向加速度 a t ，由S

2att

2以及S AB 可得:

设到达最低点的速度为 v ， 是：v

2a t S 2a t S

0.636 -1

m.s

方向为沿点C 的切向方向向左。

v 2 a n

0.808 m.s

-2

2 -2

a n 0.841 m.s ，

arctg 82 57 a t

-2

0.10m.s

2S

1 3

1-18 一人能在静水中以1.10 m s的速度划船前进。今欲横渡一宽为1.00 10 m，水流速度为0.55 m s

的大河。（1）他若要从出发点横渡该河面到达正对岸的一点，那么应如何确定滑行方向？到达正对岸需多少时间？（2）如果希望用最短时间过河，应该如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方？

则船到达正对岸所需时间为t - d一1.05 103s

v v 'cos

（2）由于V v'cos ，在划速V'—定的条件下，只有当0时，v最大（即V V'），此时，船过河

时间t' d/v'，船到达距正对岸为I的下游处，且有

ut' d

u

V'

2

5.0 10 m

2

当t 0.50s, v 4Rt 2 m/s , a t a n

2 m/s2

a .a；a2 82228.25 m/s2, 1 3n 1 2

ta n tan 14

a t8

1 ——

1-17 一无风的雨天，以20ms匀速前进的汽车中一乘客看见窗外雨滴和垂线成75角下降。求雨滴下落的速度。（设雨滴看作匀速下降）

解：十分简单的一个相对运动问题。分清合速度和分速度即可。

*V1

v v1v2

V1

v

tg75

5.36 m.s

解：（1）由V u V可知

u arcs in

v''