上海八年级上数学知识点汇总

《数学》（八年级上册）知识点总结

第十六章 二次根式

一、二次根式计算

1、含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。

2、性质：

（1）)0()(2≥=a a a

)0(0=a

（2）==a a 2

)0(<-a a

（3）)0,0(≥≥?=

b a b a ab （)0,0(≥≥=?b a ab b a ）

（4）

)0,0(>≥=b a b

a

b a （)0,0(>≥=

b a b

a

b

a ） 3、化简二次根式：把二次根式被开方数的完全平方因式移到根号外。例：2332182=?=。(字母

因式由根号内移到根号外时，必须考虑字母因式隐含的符号）

4、最简二次根式：化简后的二次根式需同时符合以下两个条件：⑴被开方数中各因式的指数都为1；⑵被开方数不含分母。这样的二次根式叫做最简二次根式。

将一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况：

⑴如果被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的自述平方根的性质把它写成分式的形式，然后再分母有理化；

⑵如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，然后把能开方的因式或因数开出来，从而将式子化简。

化二次根式为最简二次根式的步骤： ⑴把被开方数分解质因数，化为积的形式； ⑵把根号内能开方的的因数移到根号外；

⑶化去根号内的分母，若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数。

5、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。例：18、22、

22

1

。（判断是不是同类二次根式：首先，要看它们是不是最简二次根式；其次，看这些最简二次根式的被开方数是否相同）

6、二次根式的加法、减法：⑴化简，化成最简二次根式；⑵合并同类二次根（即将被开方数相同的二次根

)0(0=a

式的系数进行合并）

7、二次根式的乘法、除法：⑴先完成根号内乘除，再化简二次根式；⑵小数化分数，带分数化假分数；⑶字母需考虑取值范围（不要忽视隐含条件）。

8、分母有理化：把分子和分母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号，这种计算叫做分母有理化。

第十七章 一元二次方程

一、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数是二次的整式方程。 二、一般式：)0(02

≠=++a c bX aX 三、一元二次方程的解法：

1、开平方法：一般来说，形如d X =2

、)0(02

≠=+a c aX 的一元二次方程可以用开平方法。（三种情况：有

两个不相等的实数根，等于0,没有实数根）

2、因式分解法：提取公因式、公式法（平方差、完全平方公式）、十字相乘法、分组分解法。

3、配方法：⑴移常数项；⑵化二次项系数为1；⑶配方，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；⑷用开平方法求解；⑸结论。

4、公式法：⑴先把方程化为一般形式；⑵写出方程各项的系数a 、b 、c 的值（要注意它们的符号）；⑶计算

ac b 42-；⑷当042≥-ac b 时，将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根；⑸当ac b 42-<0时，方

程没有实数根，就不必解了。

（开平方法、因式分解法一般适用于特殊形式的方程，而配方法、公式法是使用最普遍的方法，适用任意方程，其中：公式法计算较繁琐。） 四、一元二次议程根的判别式

1、定义：ac b 42

-叫做一元二次方程)0(02

≠=++a c bX aX 的根的判别式，通常用符号“△”来表示，即

△=ac b 42

-。

2、一元二次方程)0(02

≠=++a c bX aX 的根的情况与△的关系： ⑴△=??-042

ac b 方程有两个不相等的实数根。 ⑵△=?=-042

ac b 方程有两个相等的实数根。 ⑶△=??-042ac b 方程没有实数根。 3、由方程的情况求字母系数的值或取值范围 ⑴如果说方程有实数根，那么042

≥-ac b ；

⑵注意：因为是一元二次方程，不要遗漏隐含条件0≠a 。

五、一元二次议程的应用

1、二次三项式的概念：形如（a 、b 、c 都不为0）的多项式称为二次三项式。

2、二次三项式的因式分解：

⑴首先考虑能否提取公因式；⑵能否运用十字相乘法；⑶最后考虑用公式法。 3、列一元二次方程解应用题的一般步骤： ⑴审题⑵设元⑶列方程⑷解方程⑸检验⑹写答案 4、根据题意列方程时，必须同时满足以下四个条件：

⑴方程两边意义相同；⑵方程两边单位一致；⑶方程两边数值相等；⑷方程全面地反映了题中所有数量之间的关系。

5、列一元二次方程解题的类型：

⑴几何类问题（利用几何定理、面积公式等作解题依据，列出一元两次方程，解题）；

⑵增长（降低）率问题：如设基数为a ，平均增长率为x ，则第一次增长后为a(1+x),第二次增长后为a(1+x)2

； ⑶利润（销售）问题：常用等量关系有：利润=售价-进价（成本）、总利润=每件的利润×总件数、利润率=

00100 进价（或成本）

利润

、售价=标价×打折数等；

注意：解应用题时一定不要忘记检验所求的根是否符合实际问题的要求。

第十八章 正比例函数和反比例函数

一、函数：

一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。 二、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。 （1）.用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数。

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。 三、函数的三种表示法及其优缺点

（1）关系式（解析）法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关

系式（解析）法。

（2）列表法

把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图象法

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 四、函数图像

函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 用描点法画函数的图象的一般步骤 ：

1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。） 注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。

2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。

3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。 五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，若两个变量x ，y 间的关系可以表示成b kx y +=（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b=0时（即kx y =）（k 为常数，k ≠0），称y 是x 的正比例函数，是一次函数的特例。

2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。

4、正比例函数的性质

y 有下列性质：

一般地，正比例函数kx

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数b kx y +=有下列性质： （1）当k>0时，y 随x 的增大而增大 （2）当k<0时，y 随x 的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。解这类问题的一般方法是待定系数法。 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。 (1) 一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x 为何值时函数y= ax+b 的值为0。

(2) 求ax+b=0(a, b 是常数，a≠0)的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b 与 x 轴交点的横坐标。 (3) 一次函数与一元一次不等式：

解不等式ax+b ＞0(a ，b 是常数，a≠0) 。从“数”的角度看，x 为何值时函数y= ax+b 的值大于0。 (4)解不等式ax+b ＞0(a ，b 是常数，a≠0)。 从“形”的角度看，求直线y= ax+b 在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围。

7、一次函数与一元一次方程的关系：

任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b （k 、b 为常数，k ≠0）．当函数值为0时，?即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．

结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．

从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值． 7、反比例函数

定义：一般地，形如x

k y =（k 为常数，o k ≠）

的函数称为反比例函数。x k

y =还可以写成kx y =1- 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k

⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法

① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线，x

k

y =

（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相

交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y =

（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x

k

y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

反比例函数性质如下表：

k 的取值 图像所在象限 函数的增减性

o k > 一、三象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而减小 o k <

二、四象限

在每个象限内，y 值随x 的增大而增大

反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出

k ）

“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数

x k

y =中的两个变量必成反比例关系。

第十九章 几何证明

一、几何证明中常用的证明方法：

1、证明两直线平行——利用平行线的性质和判定，利用平行线的判断定理及其推论来证明，这是证明两直线平行最基本的方法，关键是找出同位角、内错角的相等关系或同旁内角的互补关系。

2、证明两线段相等——利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定 （1）如果两线段分别在两个三角形中，那么可证这两个三角形全等，有时可能缺少直接条件，要证明两次全等； (2)有时两线段分别在两个三角形中,但这两个三角形不全等,那么可添辅助线构造全等三角形来证。常添的辅助线有:平行线、垂线、中线、连结线段等。

（3）如果两线段是一个三角形的两边，可证它们所对的角相等、等角对等边；

（4）证明两条线段都等于第三条线段，即以第三条线段为媒介。

3、证明两角相等——利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定。

4、证明两直线互相垂直——利用垂直的定义、利用等腰三角形三线合一的性质。 *

5、证一线段等于另一线段的2倍或一半——利用加倍法或拆分法常常要作辅助线。

添辅助线：由于证明的需要，可以在原来的图上添画一些线，即添加辅助线来完成一些几何证明，辅助线通常画成虚线。 三角形证明题中常见在辅助线做法：利用三角形的主要线段构造全等三角形 。

二、勾股定理

1、勾股定理的定义

直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2

2

2

c b a =+ 2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2

2

2

c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2

2

2

c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

垂线的性质：

①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；

线段的垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线。

定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：和一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 角的平分线

定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。