二项式定理的高考常见题型及解题对策
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题型一：求二项展开式
1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(x
x +
的展开式；
解：
原
式
=4
)1
3(
x
x +=24)13(x x +=])3()3()3()3([144
342
243144042C C C C C x x x x x ++++ =
)112548481(12342
++++x x x x x
=54112848122
++++x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
2． “n b a )(-”型的展开式
例2．求4)13(x
x -
的展开式； 分析：解决此题，只需要把4)13(x
x -
改写成4)]1(3[x
x -+的形式然后按照二
项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3．二项式展开式的“逆用”
例3．计算c C C C n
n n
n n
n n 3)1(....27931321-++-+-； 解：原式=
n
n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3
33
22
11
-=-=-++-+-+-+
小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
题型二：求二项展开式的特定项
1． 求指定幂的系数或二项式系数
（1）求单一二项式指定幂的系数
例4．（03全国）9
2
)21(x x -
展开式中9x 的系数是 ； 解：r r
r r x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r x C 3189)2
1(-- 令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9
x 的系数为：221)21(339-=-C ，∴填2
21- （2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例5．（02全国）
7
2)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3
x 的来源有：
① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为
6
6
7
)2(-C ； ② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3
x ，其系数为
44
7
)2(-C
3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(44
766
7C C 填1008。
（3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例6．（04安徽改编）3)21
(-+
x
x 的展开式中，常数项是 ； 解：3
6323
)1(])1([)21(x x x x x x -=-=-+
上述式子展开后常数项只有一项
3
3
33
6
)1(x
x C -，即20-
本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，考查了变型与转化的数学思想。
2． 求中间项
例7．（00京改编）求（103
)1
x
x -
的展开式的中间项；
解：,)1()(3
10101r r
r
r x
x T C -=
-+Θ∴展开式的中间项为53
55
10)1()(x
x C -
即：6
5
252x -。
当n 为奇数时，n
b a )(+的展开式的中间项是2
12121-+-n n n n b
a
C 和
2
12
121+-+n n n n
b
a
C
；
当n 为偶数时，n b a )(+的展开式的中间项是
2
2
2n n n n
b a C
。
3． 求有理项
例8．（00京改编）求103
)1
(x
x -
的展开式中有理项共有 项；
解：3
410103
1010
1)1()1()(r
r r
r r r
r x
x
r T C C
-
-+-=-=
Θ
∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； ② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么
这个代数式是无理式。
4． 求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例9．（00上海）在二项式11
)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：r
r r
r x T C
)1(1111
1-=
-+Θ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r
11为最大，由此得5=r ，从
而可知最小项的系数为
462)1(55
11
-=-C （2） 一般的系数最大或最小问题 例10．求84)21(x
x +
展开式中系数最大的项；
解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有
⎩⎨⎧≥≥+-11k k
k k T T T T 又1
182.+--=r r r C T ，那么有
⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--k
k k k k k k k C C C C 2.2
.2.2.8118228
118 即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-≥⨯--⨯--≥--)!8(!!
82)!9)!.(1(!82)!
10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k
⎪⎩⎪
⎨⎧≥--≥-∴K
K K K 1922211
解得43≤≤k ，∴系数最大的项为第3项2
537x T =和第4项2
747x T =。
（3） 系数绝对值最大的项