高中数学 必修一 教案 充分条件与必要条件1

充分条件和必要条件

【课时安排】

2课时

【第一课时】

【学习目标】

针对具体命题，能说出命题的充分条件、必要条件。

【学习重难点】

对命题条件的充分性、必要性的判断。

【学习过程】

一、新旧知识连接：

请判断下列命题的真假：

（1）若x y =，则22x y =；

（2）若22x y =，则x y =；

（3）若1x ＞，则21x ＞；

（4）若21x ＞，则1x ＞。

二、我能自学：

1．把下列命题改写成“p q ?”或“p q ?”的形式：

（1）若a b ＞，则ac bc ＞；（2）若a b ＞，则a c b c ++＞；

说出下列命题中p 是q 的什么条件：

（1）p ：若1x =，q ：则2430x x -+=；（2）p ：若x y =，

q ：则22 x y =

（学生自练个别回答教师点评）

2．说出下列各题中p 是q 的什么条件：

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（1）命题{} : 1,2p A =，命题{} : 1,3,5q B =

（2）命题{}2|10p A x x =-：＞，命题{}2|50q B x x x =--：＞

（师生共析学生说出答案教师点评）

总结：从集合角度去理解命题：小充分大必要

【第二课时】

【学习目标】

能写出简单命题条件的证明。

【学习重难点】

掌握命题条件的充要性判断。

【学习过程】

一、新旧知识连接：

（1）“a b c ＞＞”是“()()()0a b b c c a ---<”的 条件。反过来“()()()0a b b c c a ---<”是“a b c ＞＞”的 条件。

（2）若a 、b 都是实数，从①0ab ＞；②0a b +＞；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +＞；⑥220a b +=中选出使a 、b 都不为0的充分条件是 。

二、例题赏析

1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性

例1：已知:2p x y +≠-；q ：x 、y 不都是1-，p 是q 的什么条件？

（教师引导学生书写教师点评）

分析：要考虑p 是q 的什么条件，就是判断“若p 则q ”及“若q 则p ”的真假性。 从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性，“若p 则q ”的逆否命题是“若x 、y 不都是1-，则2x y +=-”真的，“若q 则p ”的逆否命题是“若2x y +=-，则x 、y 都是1-”假的，故p 是q 的充分不必要条件。

注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手。

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练习：已知:2p x ＞或23

x ＜；q ：x 2＞或1x <-，则p ?是q ?的什么条件？

2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性

例2：若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的什么条件？（师生共同分析）

分析：命题的充分必要性具有传递性M N P Q ???，显然M 是Q 的充分不必要条件。

3．充要性的求解是一种等价的转化

例3：求关于x 的一元二次不等式21ax ax +＞于一切实数x 都成立的充要条件。 分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化。

由题可知等价于0a =或0000a a a ≠??>?=???

4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么

例4：证明：对于x y ∈R 、，0xy =是220x y +=的必要不充分条件。

分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件 必要性：对于x y ∈R 、，如果220x y +=

则0x =，0y =即0xy =

故0xy =是220x y +=的必要条件

不充分性：对于x y ∈R 、，如果0xy =，如0x =，1y =，此时220x y +=

故0xy =是220x y +=的不充分条件

综上所述：对于x y ∈R 、，0xy =是220x y +=的必要不充分条件

【达标检测】

1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件。（类比例2）

2．对于实数x 、y ，判断“8x y +≠”是“2x ≠或6y ≠”的什么条件。（类比例1）

3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是：33220a b ab a b ++--=。（类比例4） （学生自练个别回答教师点评）

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