大一下学期高等数学期中考试试卷及答案定稿版

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案精编

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大一第二学期高等数学期中考试试卷

一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。

1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________

2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为

3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为

4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+

5、设二元函数y x xy z 3

2+=，则=???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。

1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ）

（A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成；

（B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成；

（C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成；

（D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．

2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ）

其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.

(A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;

(B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++;

(C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++;

(D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++

3、已知直线π

22122

:-=+=-z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交;

(C).L 与π正交; (D).L 与π斜交.

4、下列说法正确的是（ ）

(A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=；

(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y

z ??在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；

(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条

件；

(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要条件.

5、设),2,2(y x y x f z -+=且2

C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=???y x z 2（ ） (A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++;

(C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.

三、计算题（本大题共29分）

1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。

(1)（6分）221xy y x y +++='

(2)（7分）x xe y y y 223=+'-''

2、（本题8分）设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数

dt dz 。 3、（本题8分）求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值。

四、应用题（本题8分）

1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为

xy y x y x c -+=222),( （万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产使其总成本最少最小成本为多少

五、综合题（本大题共21分）

1、（本题10分）已知直线?????==+011x c z b y l ：，?????==-0

12y c z a x l ：，求过1l 且平行于2l 的平面方

程．

2、（本题11分）设函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++ 在球面

22225(0,0,0)x y z R x y z ++=>>>上求一点，使函数(,,)f x y z 取到最大值．

六、证明题（本题共12分）

1、设函数??

? ??=x y x z F x u k ,，其中k 是常数，函数F 具有连续的一阶偏导数．试证明:z u z y u y x u x ??+??+????? ??=x y x

z F kx k , 第二学期高等数学期中考试试卷答案

一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）

1.、 ()()()211132

22=-+++-z y x 2、12

． 3、2450x y z +--=．

4、0

5、232x y +；

二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）

1（A ）

2（B ）

3（C ）

4（C ）

5（A ）

三、计算题（本大题共29分）

1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：x x y

y d )1(1d 2+=+ 上式两端积分得c x x x x y y

y ++=+==+??2)d 1(arctan 1d 22 即 ： c x x y ++=2

arctan 2

其中c 为任意常数． （2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232=+-r r 特征根为,11=r ,22=r 于

是，该齐次方程的通解为,221x e C x C Y +=因2=λ是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：.)(210*x e b x b x y +=代入题设方程,得,22010x b b x b =++比较等式两端同次幂的系数,得,2

10=b ,11-=b

于是，求得题没方程的一个特解*y .)121

(2x e x x -=

从而，所求题设方程的通解为.)121(2221x x x e x x e C e C y -++=

2、解：()

u t v u t uv u u z sin cos 22-=+??=??， ()

uv u t uv v v z 2cos 2=+??=??，u t z cos =?? 依复合函数求导法则，全导数为

3、解：解方程组()()()()?????=+==+++=0

22,01422,222y e y x f y y x e y x f x y x x ，得驻点??? ??-1,21。由于()()

124,22+++==y y x e y x f A x xx ，()()142+==y e xy f B x xy ，()x yy e y x f C 22,==在点??? ??-1,21处，02>=e A ，0=B ，e C 2=，224e B AC =-，所以函数在点??

? ??-1,21处取得极小值，极小值为21,21e f -=??

? ??-。 四、应用题（本题8分）

1、解：即求成本函数()y x c ,

在条件8=+y x 下的最小值 构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ

解方程组 ?????=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λ

λλ

解得 3,5,7==-=y x λ

这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为：2835325)3,5(22=?-?+=c （万）

五、综合题（本大题共21分）

1、解：直线1l 与2l 的方向向量分别为

{}????

??-=???????=b c c b 1100011101，，，，，，s ， {}?

?????=???????-=a c c a 1010101012，，，，，，s ， 作 ??????--=?=221111c bc ca

，，s s n ， 取直线1l 上的一点()c P ，，001，则过点1P 且以??????--=2111c bc ca

，，n 为法向量的平面01=+--c

z b y a x ， 就是过1l 且平行于2l 的平面方程．

2、解：设球面上点为(,,)x y z ．

令 2222(,,,)ln ln 3ln (5)L x y z x y z x y z R λλ=+++++-，

由前三个式子得222

3z x y ==，代入最后式子得,x y R z ===．由题意得(,,)f x y z 在

球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点(,)R R 就是最大值点，最大值为

5(,))f R R =．

六、证明题（本题共12分）1、证明：

所以，z u z y u y x u x ??+??+??