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第二章 数列极限

§1 数列极限概念

教学目的与要求：

使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点：

数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入

1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。

2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，

日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32

1，……，n 21

，…… 或简记作数列：⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n 21

分析：1°、⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0；

2

二、数列极限定义

1°将上述实例一般化可得：

对数列{}n

a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。

例如：⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n 1， a=0；

⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧-+n n )1(3， a=3; {}2

n ， a 不存在，数列不收敛；

{}n

)1(-， a 不存在，数列不收敛；

2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-+n n )1(()3以3为极限，对ε

=10

1

3)1(3--+

=-n

a a n

n =10

11

n

只需取N=10，即可

3°“抽象化”得“数列极限”的定义

定义：设{}n

a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在

某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有

a

a n -＜ε

则称数列{}n

a 收敛于a ，a 为它的极限。记作

a a n n =∞

→lim ｛(或a n →a,(n →∞))

说明

（1）若数列{}n

a 没有极限，则称该数列为发散数列。

（2）数列极限定义的“符号化”记法：a

a n n =∞

→lim ⇔

ε

∀＞0，∃N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a

a

n

-＜ε，可用a

n

-替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．．

的，只要存在一个N ，就会存在无穷多

个N

（5）如何用肯定的语气叙述a a n n ≠∞

→lim ： 0ε∃＞0，∀N ，∃n 。

尽管n 。＞N ，但a

a

o

n -≥ε（6）如何用肯定的语气叙述，数列{}n

a 发散：

R a ∈∀ ，)(a O O εε=∃＞0，∀N ，∃n o,尽管n o ＞N ，但a

a

o

n -≥εo 。

（7）a a n n =∞

→lim

即a {}n a 中,所有下标大于N 的a n ,都落在a 的ε邻城内。

.的例题 例1.证明01

lim

=∞

→k

n n （K 为正实数）

证：由于

k

k n n 1

01=

- 所以∀ε＞0，取N=⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡

k 1

1ε,当n ＞N 时,便有ε〈-01

k n

注：或写作：∀ε＞0，取

N=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡k 1

1

ε，当n ＞N 时，有

ε〈=-K

K n n 101，∴01

lim =∞

→k

n n

例2. 证明34

3lim

22

=-∞

→n n n 分析，要使ε〈≤-=--n n n n 12

412343222（为简化，限定n 3≥

只要n ε

12

〉

证.⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=〉∀3,12max ,0εεN 取,当n N 〉,有

ε〈≤-=--n

n n n 12

41234322

2

由定义34

3lim

22

=-∞

→n n n 适当予先限定n ＞n 。是允许的！但最后取N 时要保证n ＞n 。 例3．证明n

n q ∞

→lim =0，这里q ＜1

证.若q=0,结果显然成立

若0＜q ＜1，令q =h h (11

+＞0) 由于由贝努利不等式n

n

n h q q )

1(1

+=

=≤nh +11＜nh 1 所以，ε∀＞0，取N=n h 当,1⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡ε＞N ，有0-n q ＜ε

注：1°特别地写当q=

2

1

时，此即为上述实例中的0)

21(lim =∞

→n

n

２°贝努利不等式（１＋h ）n ≥1+nh.

3°由例2、例3看出，在由a a n -＜ε中求N 时，适当的 “放大”不等式，可以简化运算。而“放大”的技巧应引起同学们注意体验、总结。如：用已知不等式，用限定“n ＞n 。”等方法。 例4．证明1lim

=∞

→n

n a ，其中a ＞1

证.令a n

1

-1=α，则α＞0

由贝努利不等式 α=（1+α）n ≥1+n α=1+n （11-n

a

）或11

-n a ≤

n

a 1

-

ε

∀ ＞0，取N=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-ε1a ，当n ＞N 有1

1-n

a

＜ε

四、等价定义与无穷小数列

定义1' 任给ε＞0，若在U （a;ε）之外数列{}n a 中的项至多只有有限个，

则称数列{}n a 收敛于极限a 。

由定义1' 可知，若存在某ε0＞0，使得数列{}n a 中有无穷多个项落在U(a ；ε0)