最新定积分的换元积分法与分部积分法

定积分的换元积分法与分部积分法

教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法

难点：定积分换元条件的掌握

重点：换元积分法与分部积分法

由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法

定理假设

(1) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上连续；

(2) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上有连续且不变号的导数；

(3) 当?Skip Record If...?在?Skip Record If...?变化时，?Skip Record If...?的值在?Skip Record If...?上变化，且?Skip Record If...?，

则有

?Skip Record If...?．(1) 本定理证明从略．在应用时必须注意变换?Skip Record If...?应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1计算?Skip Record If...?．

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4

解令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?．于是

?Skip Record If...?

?Skip Record If...?．

例2 计算?Skip Record If...??Skip Record If...?．

解令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，? ?Skip Record If...??Skip Record If...?

?Skip Record If...?

?Skip Record If...?．

显然，这个定积分的值就是圆?(图5－8)．

例3 计算?Skip Record If...?．

解法一令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．

当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，于是

?Skip Record If...?．

解法二也可以不明显地写出新变量?Skip Record If...?，这样定积分的上、下限也不要改变．

即 ?Skip Record If...?

?Skip Record If...?．

此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．

例4 计算?Skip Record If...?．

解 ?Skip Record If...??Skip Record If...?注去绝对值时注意符号．

=?Skip Record If...?

=?Skip Record If...?．

例5 计算?Skip Record If...?．

解设?Skip Record If...?，则当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?．

?Skip Record If...?=?Skip Record If...?

?Skip Record If...?．

例6设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续，证明：

(1) 若?Skip Record If...?为奇函数，则?Skip Record If...?；

(2) 若?Skip Record If...?为偶函数，则?Skip Record If...?．

证由于

?Skip Record If...?,

对上式右端第一个积分作变换?Skip Record If...?，有

?Skip Record If...??Skip Record If...?．

故

?Skip Record If...?．

(1) 当?Skip Record If...?为奇函数时，?Skip Record If...?，故

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4

?Skip Record If...?．

(2) 当?Skip Record If...?为偶函数时，?Skip Record If...?，故

?Skip Record If...?．

利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值．例如

?Skip Record If...?．

?Skip Record If...??Skip Record If...?．

2．定积分的分部积分法

设函数?Skip Record If...?与?Skip Record If...?均在区间?Skip Record If...?上有连续的导数，由微分法则?Skip Record If...?，可得

?Skip Record If...?．

等式两边同时在区间?Skip Record If...?上积分，有

?Skip Record If...?． (2) 公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中?Skip Record If...?与?Skip Record If...?是自变量?Skip Record If...?的下限与上限．

例7计算?Skip Record If...?．

解令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．故

?Skip Record If...?

?Skip Record If...?．

例8计算?Skip Record If...?．

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4

解 ?Skip Record If...??Skip Record If...?

?Skip Record If...??Skip Record If...?．

例9计算?Skip Record If...?．

解 ?Skip Record If...?=?Skip Record If...?

=?Skip Record If...?=?Skip Record If...?

=?Skip Record If...?．

例10 计算?Skip Record If...?．

解 ?Skip Record If...?

?Skip Record If...?

?Skip Record If...?．

即 ?Skip Record If...?注移项得．

故 ?Skip Record If...?．

例11计算?Skip Record If...?．

解先用换元法，令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．

当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?．于是

?Skip Record If...?．

再用分部积分法，得

?Skip Record If...??Skip Record If...?

?Skip Record If...?．

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4

小结：

1．定积分换元积分定理：假设

(1) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上连续；

(2) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上有连续且不变号的导数；

(3) 当?Skip Record If...?在?Skip Record If...?变化时，?Skip Record If...?的值在?Skip Record If...?上变化，且?Skip Record If...?．

则有

?Skip Record If...?．

2．定积分分部积分法：设函数?Skip Record If...?与?Skip Record If...?均在区间?Skip Record If...?上有连续的导数，则有

?Skip Record If...?．

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4