(完整版)数学必修五数列知识总结

数列知识总结

一.知识网络:

二. 1.数列的定义:按一定次序排列的一列数. 数列是定义在正整数集或其有限子集｛1，2，3，…，n ｝上的函数当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值．

2.数列的通项公式和前n 项和:对于任意数列{}n a ,其通项是a n 和它的前n 项和n

S 之间的关系是:???-=-11

n n n S S S a ,*)

,2()1(N n n n ∈≥=.

3.求数列通项公式的方法:

①观察法:找项与项数的关系,然后猜想检验,即得通项公式a n ,注意利用前几项得出的通项公式不一定唯一.

②利用通项a n 和它的前n 项和n S 之间的关系是:,

③公式法:利用等差数列,等比数列的通项公式求解. ④其它方法:迭加,迭乘,待定系数等.

4.证明一个数列是等差数列或等比数列,常用的两种基本方法．．．．:一是利用定义;二是利用等差中项（或等比中项）来进行证明.(注意:通项的特点与前n 项和的特点只用于判断)

5.等差数列的性质:

(1)数列{}n a 为等差数列，则a m = a n ＋（m －n ）d ,或m

n a a d m

n --=

(2)数列{}n a 为等差数列的充要．．条．件．是:其通项公式可以写成a n = an ＋b (a,b 为实常数). (3)数列

{}

n a 为等差数列的充要．．条．件．112+-+=n n n a a a ,推广

k n k n n a a a +-+=2(n>k.>0)

(4)数列{}n a 为等差数列:若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+. (5)数列{}n a 为等差数列,去掉前m 项,剩下的项构成等差数列. 推广：数列{}n a 为等差数列,则每隔k 项取m 项的和仍构成等差数列. (6)数列{}n a 是公差为d 的等差数列,则奇(偶)数项构成公差为2d 的等差数列. 推广①:数列{}n a 为公差为d 等差数列:则在数列中每隔k 项取一项构成的数列是公差为d k )1(+的等差数列.项数成等差数列的项成等差数列.

推广②:数列{}n a 是公差为d 的等差数列,则项下标成等差数列的项也成等差数列.

(7)数列{}n a ,{}n b 项数相同的等差数列:则{}n ka ,{}n n qb pa +,{}q p q pa n ,(+为常数)仍为等差数列.

(8)数列{}n a 为等差数列,其前n 项和n S 可以写成b a bn an S n ,(,2+=为常数). (9)数列{}n a 为等差数列:则数列中依次每连续k 项之和构成的数列也是等差数列. (10)数列{}n a 为等差数列:奇S 表示奇数项的和,偶S 表示偶数项的和,

若项数为n 2项时, 则有奇S －偶S = nd , 奇S /偶S = a n / a n+1;

若项数为n 2－1项时,则有奇S －偶S = a n , 奇S /偶S = n / (n －1),n n a n S )12(12-=-. 6.等比数列的性质:

(1)数列{}n a 为等比数列:m n m n n n m n m n n a a a q a a q a a +---?===2

11,,.

(2)数列{}n a 为等比数列: 112

+-?=n n n a a a ,推广m n m n n a a a +-?=2

(n>m >0)

(3)数列{}n a 为等比数列:k p n m +=+,则k p n m a a a a ?=?. (4)数列{}n a 为等比数列,取掉前若干项,剩余的项也构成等比数列. 推广：数列{}n a 为等比数列,则每隔k 项取m 项的和(积)仍构成等比数列.

(5)数列{}n a 为等比数列,则奇(偶)数项构成等比数列.

推广①:数列{}n a 为公比为 q 等比数列:则在数列中每隔k 项取一项构成的数列是公比为1+k q 的等比数列.

推广②:数列{}n a 为等比数列,则项数成等差数列的项成等比数列. (6)数列{}n a ,{}n b 为项数相同的等比数列:则}1{n

a ,}{n n

b a ,{}n ka ,{}n n b a ?,{}

k a k

n (为

常数)等仍为等比数列.

(7)数列{}n a 为公比为q (q ≠±1)的等比数列:则数列中连续k 项之和(积)构成的数列是等比数列.

(8)数列{}n a 为等比数列: (奇S 表示奇数项的和,偶S 表示偶数项的和)

若项数为n 2项时,则有偶S /奇S = q ;若项数为n 2－1项时,则有(奇S －1a )/偶S =

q.

(9)递推公式为)1(1≠+=+p q pa a n n 的递推数列}{n a ,都可以转化为

11

1n n q

q a p a p p +??+

=+ ?--??

从而构造等比数列.

7.等差数列与等比数列比较:

(1)各项为正的等比数列{}n a ,其对数数列)1,0}({log ≠>a a a n a 为等差数列. (2)数列{}n a 为等差数列,则数列C C n a }({为正常数)为等比数列. 9.数列求和的一般方法(结合于具体的示例讲解): ①倒序求和法:(等差数列的求和); ②错位相减法:(等比数列和差比数列);

例1:求和:*)(432432N n na a a a a n ∈+++++Λ. ③裂项相消法:(数列中的各项可以拆成几项,然后进行消项); 例2:求和:

)

12()12(1751531311+?-++?+?+?n n Λ. 例3:求数列}1

1{

++n n 的前n 项和.

④通项化归法:(化出通项,由通项确定求和方法);

例4:求数列:ΛΛΛ,3211

,,3211,211,1n

+++++++的前n 项和n S .

⑤分组求和法:(将一个数列分成几组,每组都可以用求和公式来求解);

例5:求数列ΛΛ,2

1

,,814,413,212,21-+n n 的前n 项之和.

⑥公式法:(应用等差或等比数列的求和公式直接来求解). ⑦.累差迭加法

例6:已知数列6,9,14,21,30,…,其中相邻两项之差成等差数列,求它的通项.

⑨∑求和记法

用∑=n

k k a 1= n a a a a ++++Λ321。

例7: 若)(12

)

1()1(43322122222c bn an n n n n +++=+++?+?+?Λ, 对n ∈N 恒成立,求a ,b ,c 的值.