2013年普通高等学校招生全国统一考试_理科数学试卷及答案解析(新课标卷1)

2013年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

（新课标I 卷）使用省份：河北、河南、山西、陕西

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符

合题目要求的. （1）已知集合{}022>-=x x x A ，{}

55B <<-=x x ，则

（A ）=B A ? （B ）R =B A （C ）A B ? （D ）B A ? （2）若复数z 满足()i 34i 43+=-z

（A ）4- （B ）5

4-

（C ）4 （D ）54

（3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，

事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 （A ）简单的随机抽样 （B ）按性别分层抽样 （C ）按学段分层抽样 （D ）系统抽样

（4）已知双曲线C ：)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为

（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 2

1

±= （D ）x y ±=

（5）执行右面的程序框图，如果输入的[]31t ，-∈，则输出的s 属于

（A ）[]43，- （B ）[]25，- （C ）[]34，- （D ）[]52，

-

（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，

将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为

（A ）3cm 3500π （B ）3

cm 3866π （C ）3cm 31372π （D ）3

cm 3

2048π

（7）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则=m

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 （8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A ）8π16+ （B ）8π8+ （C ）π6116+ （D ）16π8+

（9）设m 为正整数，()m

y x 2+展开式的二项式系数的最大值为a ，()

1

2++m y x 展开式的二

项式系数的最大值为b ，若b a 713=，则m ＝

（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8

（10）已知椭圆E ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于

A 、

B 两点。若AB 的中点坐标为)11(-,，则E 的方程为

（A ）

1364522=+y x （B ）127362

2=+y x （C ）

1182722=+y x （D ）19

182

2=+y x （11）已知函数???+≤+-=0

),1(ln 0

2)(2＞x x x ，x x f ，若ax x f ≥)(，则a 的取值范围是

（A ）](0，

∞- （B ）](1，∞- （C ）[]12，- （D ）[]02，- （12）设n n n C B A △

的三边长分别为n a ,n b ,n c ，n n n C B A △的面积为n S ，3,2,1=n …… 若1b ＞1c ，1112a c b =+，n n a a =+1，2n 1a c b n n +=+，2

n 1a b c n n +=+，则 （A ）{}n S 为递减数列 （B ）{}n S 为递增数列

（C ）{}12-n S 为递增数列，{}n S 2为递减数列

（D ）{}12-n S 为递减数列，{}n S 2为递增数列

A

P

B

C

A

C

1

C 1

B 1

A B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生依据要求作答。 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，b a c )1(t t -+=.若c b ?=0，则 t =____________.

（14）若数列{}n a 的前n 项和为3

1

32n +=

n a S ，

则数列{}n a 的通项公式是n a =____________. （15）设当θx =时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则θcos =____________. （16）若函数))(1()(2

2

b ax x x x f ++-=的图像关于直线2-=x 对称，则)(x f 的最大值 为____________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

如图，在ABC △中，ABC ∠＝90°，3=AB ，1=BC ，

P 为ABC △内一点，BPC ∠＝90° （Ⅰ）若2

1

=

PB ，求PA ； （Ⅱ）若APB ∠＝150°，求PBA ∠tan .

（18）（本小题满分12分）

如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB CA =，1AA AB =，1BAA ∠=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥C A 1;

（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1 与平面C C BB 11所成角的正弦值。

（19）（本小题满分12分）

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果3=n ，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果4=n ，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为2

1

，且各件产品是否为优质品相互独立.

（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；

（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望。

（20）（本小题满分12分）

已知圆M ：1)1(2

2

=++y x ，圆N ：9)1(2

2

=+-y x ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .

（Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB .

（21）（本小题满分12分）

已知函数b ax x x f ++=2

)(，)()(d cx e x g x

+=若曲线)(x f y =和曲线)(x g y =都过点)2,0(P ，且在点P 处有相同的切线24+=x y .

（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；

（Ⅱ）若x ≥－2时，)()(x kg x f ≤，求k 的取值范围.

D C

B

E

A

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于

D .

（Ⅰ）证明：DC DB =；

（Ⅱ）设圆的半径为1，3=BC ，延长CE 交AB 于点F ，求BCF △外接圆的半径.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程式??

?+=+=t

y t

x sin 55cos 54（t 为参数），以坐标原点为极点，以坐标原

点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=.

（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0≥ρ,π20<≤θ）

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数a x x x f ++-=212)(，3)(+=x x g . （Ⅰ）当2-=a 时，求不等式)()(x g x f <的解集； （Ⅱ）设1->a ，且当)2

1

,2[a x -∈时，)()(x g x f ≤，求a 的取值范围.