Ch8多元函数微分学 基础练习

第十七章多元函数微分学习题课

第十七章 多元函数微分学习题课 一 疑难问题与注意事项 1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义： 1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+，0 () lim 0o ρρρ →=； 2）00000 [(,)(,)] lim 0x y z f x y x f x y y ρρ →?-?+?=； 3）, y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()() ()() ,0,0,0,0lim lim 0x y x y αβ??→??→= =． 2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结： 答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）： 0000000 (,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?， 0000000 (,)(,) (,)lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=?. 2）转化为一元函数的导数： ()0 000,(,)x x x df x y f x y dx ==，() 000,(,)y y y df x y f x y dy == . 例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 () ()211 ,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx ==== =. 3）先求偏导函数，在代值，即 ()0 00(,)(,),x x x y f x y f x y =，0 00(,) (,)(,)y y x y f x y f x y =. 3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结： 答 1）求 z x ??，把y 当常数，对x 求导，求z y ??，把x 当常数，对y 求导. 2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出 z x ??，只要在z x ??把x 换成y ， y 换成x ，

(整理)多元函数微分习题

第五部分 多元函数微分学 [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A

多元函数微分学知识点梳理

第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理

第七章 多元函数的微分学

第七章多元函数的微分学 一、多元函数微分学网络图 二、内容与要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。

4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求多元隐函数的偏导数。 6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件， 了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值， 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．求多元函数极限的方法 （1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则 注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。 （3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算. （4）对于证明或求时，感觉极限可能时零， 而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而 由夹逼定理知从而 2．判断多元函数极限不存在的方法 （1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。

注意： 与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限， 我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。 例1 而知不存在. 例2 在原点的两个累次极限都不存在，但是 由于，因此. 由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在， 但二重极限存在，但我们有下面的结论。 定理7。1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。 （2）推论。若存在且不相等，则不存在。 3．求多元函数的偏导数

《多元函数微分学》练习题参考答案

多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ． 解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ． （2011） 解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+， 故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006） 解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2． （2000） 解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,

122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可 导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???． （2011） 解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????， 所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2． （2009） 解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+

第八章多元函数微分学自测题答案

《高等数学》单元自测题答案 第八章 多元函数微分学 一． 填空题 1.3ln 3xy y ； 2.503-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3 131 +； 二． 选择题 2.D ； 4.D ； 三.解答题 1.解 2 2 222222222211 )221(1y x y x y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=??, 22222222221y x x y x y y x y y x x y z +++= +++=??. 2. 解 22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=??, 2 22 2111y x x x x y y z +=+=??, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+?--=??, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+?-=??, 2 22 2 22222222) ()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+?++-=???=???. 3. 解 设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有 2422''-- =--=-=??z x z x F F x z z x . 5. 解 '22'1f x y yf x z -=??, )1(1)1(''22' '212'22''12''11'12f x xf x y f x f x xf y f y x z +--++=???

=''223 ' '11'22'11f x y xyf f x f -+- . 6. 解 令?????=+-==-+=,063, 09632 '2 'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又 66' '+=x f xx , 0''=xy f , 66''+-=y f yy , 在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值; 在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值; 在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值. 8. 解 设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xy V z = ,水箱的表面积 )11(2)(2),(y x V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令 ??? ????=-==-=,02,022' 2' y V x S x V y S y x 得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D 内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 3 33 04 22V V V V z =?=.

数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学

第十七章多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及 偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.

3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5. 求偏导数. 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求. 例8. 求和. 解=, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . ,

不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件:

Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 , 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证,留为作业) 证

多元函数微分学练习题

多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．

多元函数微分学测试题及答案

第8章 测试题 1、),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值就是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的( )条件. A .充分 B .充分必要 C .必要 D .非充分非必要 2、函数(,)z f x y =的偏导数z x ??及z y ??在点(,)x y 存在且连续就是 (,)f x y 在该点可微分的( )条件. A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 3、 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+,则点(0,0) 就是( ) A 不就是(,)f x y 连续点 B 不就是(,)f x y 的极值点 C 就是(,)f x y 的极大值点 D 就是(,)f x y 的极小值点 4、 函数2 2 2 24422,0 (,)0,0 x y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?在(0,0)处( C ) A 连续但不可微 B 连续且偏导数存在 C 偏导数存在但不可微 D 既不连续,偏导数又不存在 5 、二元函数22((,) (0,0),(,)0,(,)(0,0) ? +≠?=??=?x y x y f x y x y 在点(0,0)处( A )、 A.可微,偏导数存在 B.可微,偏导数不存在 C.不可微,偏导数存在 D.不可微,偏导数不存在 6、设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数、 则=??2 2y z ( )、 (A)222y v v f y v y v f ?????+??????; (B)22 y v v f ?????; (C)22222)(y v v f y v v f ?????+????; (D)22 22y v v f y v v f ?????+?????、

多元函数微分学习题

第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A

多元函数微分学自测题

第九章多元函数微分学自测题 一、 填空题 1．已知22),(y x x y y x f -=+ ，则f(x ,y)= （ ）。 2．) sin(11lim 00xy xy y x -+→→=（ ）. 3．设xy y x z -+=1arctan ，则y x z ???2＝（ ）. 4． 设函数x y z arctan =,则dz ＝（ ）． 5.由方程2222=+++z y x xyz 确定的函数z =z （x ,y ）,在点（1，0，-1）处的全微分dz =（ ）． 6.y xe z 2=在点)0,1(1M 处沿从点)0,1(1M 到点)1,2(2-M 的方向的方向导数（ ）． 7.设z =),(y x f 具有一阶连续偏导数，则梯度grad ),(y x f =（ ）．； z =),(y x f 沿梯度方向的方向导数为（ ）． 。 8． 设函数),(y x z z =由函数y z z x ln =确定，则x z ??＝（ ）． 9. 求球面62 22=++z y x 在点（1，2，1）处的切平面方程（ ）． 10 函数f(x,y)=(6x-x 2)(4y-y 2)的极值点有（ ）． 二、 单项选择题 1. 设2y z x e u -=，则z u ??＝（ ） A. 2y z x e --； B.2y z x xe --； C. 22y z x e y x --； D. 22y z x e y x - ２．二元函数),(),(00y x y x f z 在点=可导（偏导数存在）与可微的关系是（ ）． A. 可导必可微； B. 可导一定不可微 ； C.可微不一定可导； D.可微必可导． 3．函数其它)0,0(),(0),(22≠???=+y x y x f y x xy 在（0，0）处 （ ）

多元函数微分学复习题及标准答案

多元函数微分学复习题及答案

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第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22 y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =， 2222 2 lim lim 0(0,0)1x x y kx kx f x k x k →→→===++ ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）- 14 （B ）14 （C ）-12 （D ）1 2

多元函数微分学习题课

多元函数微分学习题课 1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+?，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。 2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→x y y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→k k x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。 （2）证明极限 y x xy y x +→→0 0lim 不存在。 3．证明 ?????=≠+=00 )1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。 4. 试确定 α 的范围，使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x α 。 5. 设 ?? ???=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论 （1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？ （2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？ 6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ，求dz 。 7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ??，y x u ???2。 8. 设)(u f z =，方程?+ =x y t d t p u u )()(?确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ?可微，)(),(u t p ?'连续，且 1)(≠'u ?，求 y z x p x z y p ??+??)()(。 9. 设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求y z x z ????,。 10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定： 2=-xy e xy ，dt t t e z x x ?-=0sin ，求dx du 。 11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y z x z y x '='，证明：),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。

多元函数微分学习题

第七章 多元函数微分学 【内容提要】 1.空间解析几何基础知识 三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为： 平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>， 椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限 多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数， 记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数 值，函数值的集合称为值域。 多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式 的一切点(,)P x y D ?，都有

(完整word版)(整理)数学分析教案(华东师大版)第十七章多元函数微分学

第十七章多元函数微分学 教学目的： 1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系； 2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18 学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2 ．全微分: 例 1 考查函数在点处的可微性. P107 例 1 二. 偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17 —1.

3.求偏导数: 例 2 , 3 , 4 . P109 —110 例 2 , 3 , 4 . 例 5 . 求偏导数. 例 6 . 求偏导数. 例7 . 求偏导数, 并求. 例8 . 求和. =. 例9 证明函数在点连续, 并求和. . 在点连续.

三. 可微条件 : 1. 必要条件 : Th 1 设 为函数 定义域的内点 . 在点 可微 和 存在 , 且 . （ 证 ） 由于 , 微分记为 定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法 例 10 考查函数 2. 充分条件 : 不存在 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分 . 在原点的可微性 [1]P110 例 5 .

Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在 点处连续. 则函数在点可微. （证） P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 则函数在点可微. . 即在点可微. 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件. 验证函数在点可微, 但和在点处不连续. （简证, 留为作业） 证

多元函数微分学测试题及答案

第8章 测试题 1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（ ）条件． A ．充分 B ．充分必要 C ．必要 D ．非充分非必要 2.函数(,)z f x y =的偏导数z x ??及z y ??在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（ ）条件． A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件 3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0） 是（ ） A 不是(,)f x y 连续点 B 不是(,)f x y 的极值点 C 是(,)f x y 的极大值点 D 是(,)f x y 的极小值点 4. 函数22 224422,0 (,)0,0 x y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?在（0，0）处（ C ） A 连续但不可 连续且偏导数存在 C 偏导数存在但不可 既不连续，偏导数又不存在 5. 二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0) ? +≠?=??=?x y x y f x y x y 在点(0,0)处( A ). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在 C ．不可微,偏导数存在 D ．不可微,偏导数不存在 6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数.

则=??2 2y z ( ). (A)22 2y v v f y v y v f ?????+??????； (B)22y v v f ?????； (C)22222)(y v v f y v v f ?????+????； (D)2222y v v f y v v f ?????+?????. 7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ). (A) (1,2)； (B) ； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0) (,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（ ）. A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点 C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ??? 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ??= ??? ，求 z z x y x y ??-?? 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ?? 11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ???.

多元函数微分学练习题完整版

多元函数微分学练习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1(,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ．

12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ． 17. 曲线2226,2 x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处切线的方向向量s = ． 18. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由方程z y x e z y x --+=+确定的隐函数，则=)1,1,0(x f ． 二、选择题 1. 设0x 是n R ?E 的孤立点，则0x 是E 的 （ ） (A)聚点； (B)内点； (C)外点； (D)边界点． 2. 设0x 是n R ?E 的内点，则0x 是E 的 （ ） (A)孤立点； (B)边界点； (C)聚点； (D)外点． 3. 设22 2, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??=? ，则(0,0)y f =( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1-

《数学分析》第十七章 多元函数微分学

第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 ) 一． 可微性与全微分： 1． 可微性：由一元函数引入. ))()((22y x ?+?ο亦可写为y x ?+?βα, →??) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (. 2． 全微分: 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1 二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1. 3. 求偏导数: 例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 . 例5 设 . 0 , 0, 0 ,),(222222 2 3? ????=+≠+++=y x y x y x y x y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f . 证 ρ θθρρρθ ρθρ) sin cos (lim ),(lim 2320sin ,cos ) 0,0(),(+===========→==→y x y x y x f =)0,0(0)sin cos (lim 2 30 f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 . ) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim 300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 2 00y y y y f y f y y →→=-= 不存在 . Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 . 三. 可微条件:

一元多元函数微分学习题

第八章 多元函数微分法及其应用 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 20 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-1 4 （B ） 14 （C ）-12 （D ）12 7、设y x z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）

第十七章多元函数微分学

第十七章 多元函数微分学 §1 可微性 1．求下列函数的偏导数 （1）y x z 2= （2）x y z cos = （3）2 21y x z += （4）)ln(22y x z += （5）xy e z = （6）x y z arctan = （7）)sin(xy xyz z = （8）z x y z x y u -+= （9）z xy u )(= （10）z y x u = 解（1）xy z x 2=， 2x z y =； （2）x y z x sin -=，x z y cos =； （3）2/322)(y x x z x +-= ，2 /322)(y x y z y +-=； （4）222y x x z x += ，2 22y x y z y +=； （5）xy x ye z =，xy y xe z =； （6）2222) (11y x y x y x y z x +-=-?+= ，22y x x z y +=； （7）)]cos(1[)cos()sin()sin(2)sin(xy xy ye xy e xy ye z xy xy xy x +=+=，)sin()]cos(1[xy y xe xy xy z +=； （8）z x y u x 1 2 -- =，21y z x u y -=，21z x y u z +=； （9）1)(-=z x xy zy u ，1)(-=z y xy zx u ，)ln()(xy xy u z z =； （10）1 -=z y z x x y u ，x x zy u z y z y ln 1-=，y x y x u z y z z ln ln =； 2．设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=；求)1,(x f x 解 x x x x f =?+=arcsin 0)1,(，1)()1,(='=x x f x