高三综合测试数学试卷

浙江省余杭高级中学高三上学期第二次阶段性检测

数学（理）试题

考生须知:

1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.

2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.

3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.

4. 考试结束, 只需上交答题卷.

选择题部分

一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．

1．已知i z i -=?+)1(，那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ▲ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2．设集合{}

{}

1log ,0122<=>-=x x B x x A ，则B A 等于（▲ ） A ．{|1}x x <-

B ．{}

20<<-或

3．如果对于任意实数，＜＞表示不小于的最小整数，例如＜1.1＞2=，＜ 1.1-＞1=-，那么“||1x y -<”是“x y <>=<>”的 ( ▲ )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．设数列的前n 项和，则的值为（ ▲ ）

A ．15

B ． 16

C ．49

D ． 64

5．8月在北京召开了国际数学家大会, 会标如图示, 它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形, 若直角三角形中较小的锐角为θ, 大正方形面积是1, 小正

方形面积是

251

, 则θθ22cos sin -的值是（ ▲ ） A ．2524- B ．257- C ．2524 D ．25

7

6．已知非零向量a ，b 满足|a + b | =|a –b |=

23

|a |，则a + b 与a –b 的夹角为（ ▲ ） A ． 30? B ．60? C ．120? D ．150?

7．设函数2

)()(x x g x f +=，曲线)(x g y =在点))1(,1(g 处的切线方程为12+=x y ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线的斜率为（ ▲ ）

{}n a 2

n S n =8a

A ． 4

B ． 41-

C ． 2

D ． 2

1- 8．已知函数)0,0,0)(cos()(π?ω?ω<<>>+=A x A x f 为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ?是边长为2的等边三角形，则)1(f 的

值为 ( ▲ )

A ．2

3

-

B ．2

6

-

C ．3

D ． 3- 9．定义一种运算???>≤=?b

a b b a a b a ,,，令45)sin (cos )(2?+=x x x f ，且]2,0[π

∈x ，则函数

)2

(π

-

x f 的最大值是 （ ▲ ）

A ．

4

5 B ． 4

5

-

C ． 1

D ． 1- 10．已知2*

11()2,()(),()(())(2,)n n f x x x c f x f x f x f f x n n N -=-+==≥∈，若函数

()n y f x x =-不存在零点，则c 的取值范围是（ ▲ ） A ．14c < B ．34c ≥ C ．94c > D ．9

4

c ≤

非选择题部分

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．已知向量，，，若∥，则= ▲ ． 12．若函数x x f x

2log 12)(-+=，则)4(f = ▲ . 13．设)cos 1(22cos )(x x x f +-=的最小值为 ▲ ．

14．已知数列满足：则=2012a ▲ ．

15．已知1tan()42π

α+=，且02π

α-<<，则

22sin sin 2cos()4

ααπα+=- ▲ ．

16．当一个非空数集F 满足条件“如果F b a ∈,，则F b a b a b a ∈?-+,,，并且当0≠b 时，F b

a ∈”时，我们就称F 为一个数域。以下四个关于数域命题：①0是任何数域的元素；②若数域F 中有非零元素，则F ∈2011；③集合{}

Z k k x x p ∈==,3是一个数域；④有理数是一个数域。其中正确命题的序号为 ▲ ．

17．给定两个长度为1的平面向量OA 和，它们的夹角为 120．

(3,1)a =(1,3)b =(,7)c k =()a c -b k {}n a 434121,0,,N ,n n n n a a a a n *

--===∈OB

如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是 ▲ ．

AB ,OC xOA yOB =+,x y R ∈x y +

三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 18. （本小题满分14分）

在ABC ?中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，已知4

102sin =C 。 （1）求C cos 的值； （2）若ABC ?的面积为

4153，且C B A 2

22sin 16

13sin sin =+，求c b a ,,的值。

19．（本小题满分14分）

设首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前项和为n S ，已知30,257=-=S a 。 （1）求1a 及d ； （2）若数列{}n b 满足)(32321*∈++++=N n n

nb b b b a n

n ，求数列{}n b 的通项公式。

20．（本小题满分14分）

已知函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，当01≤<-x 时， x

e

x f -=)(；当10≤

144)(2+-=x x x f 。

（1）求函数)(x f 的单调区间；

（2）若)0()()(>-=k kx x f x g ，求函数)(x g 在]5,0[∈x 时的零点个数。

21．（本小题满分15分）

已知向量x f x x x x ?=-+=+

=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令π

ππ。

（1）求当)3

2,2(π

π∈x 时函数)(x f 的值域；

（2）是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之。 22．（本小题满分15分）

设函数x b x x f ln )1()(2

+-=，其中b 为常数。 （1）当1-=b 时，求函数)(x f 的单调区间；

（2）若函数)(x f 有极值点，求b 的取值范围及)(x f 的极值点； （3）证明：对任意不小于3的正整数，不等式n n n n 1

ln )1ln(12

<-+<都成立。

余杭高级中学高三第二次阶段性检测 数 学（参考答案及评分标准）

三、解答题

18．解：（1）

4

1451)410(212sin

21cos 22

-=-=?-=-=C C ………… 6分 （2）C B A 2

22sin 1613sin sin =+ ，由正弦定理可得：2221613c b a =+

由（1）可知4

15cos 1sin 0,41cos 2

=-=∴<<-=C C C C π …………8分

4

15

3sin 21==?C ab S ABC ，得到6=ab

由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=可得316

132

2+=c c 4,0,162=∴>=c c c ………12分

由???==+61322ab b a 可得???==23b a 或???==32b a ， 所以?????===423c b a 或??

???===4

32

c b a …………14分

19．解：（1）因为{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列

???=+=-=+=30

105261517d a S d a a 解得??

?-==210

1d a …………6分 （2）由题可知： n n na nb b b b =++++ 32132 ①

11321)1()1(32---=-++++n n a n b n b b b )2(≥n ②

① - ② 可得 1)1(---=n n n a n na nb )2(≥n …………9分 由（1）可知n a n 212-= …………11分

所以 )2(414)]1(212)[1()212(≥-=-----=n n n

n n n n n b n …………13分

1011==a b 符合，所以n

n

b n 414-=…………14分

20. 解：

（1）由题可知?????≤<+-≤<-=-1

0,1440

1,)(2x x x x e x f x

由)()1(x f x f -=+可知)()2(x f x f =+，即函数)(x f 是

以2为最小正周期的周期函数

由图可知，函数)(x f 的单调递减区间为)](2

12.12(Z k k k ∈+-，

递增区间为)](12.2

1

2[Z k k k ∈++

…………6分

21．解：（1）)

4

2tan()42tan()42

sin(22cos 2)(πππ

-+++?=?=x x x x

b a x f )4

sin(2cos sin 1)2cos 2(sin

2cos 2π

+=+=-+=x x x x x x ……… 5分

由)12

11,43(4),32,2(π

ππππ∈+∈x x ，所以 )22,426(

)4sin(-∈+πx ……………… 8分 所以函数)(x f 的值域为)1,2

1

3(- ……………… 10分 （2）0sin cos cos sin )()(=-++='+x x x x x f x f ，

即0cos =x ，],0[π∈x ，所以2

π

=

x 。 ………… 13分

因为22ππ+≠k x ，且)(,2

32Z k k x ∈+≠π

π ，所以不存在。………… 15分

22．解：（1）当1-=b 时，函数x x x f ln )1()(2

--=，)0(2

1221)1(2)(2>--=

--='x x x x x x f 此时)(x f 有惟一极小值点2

3

12211+=-+=b x ， ……………… 3分

则当)231,0(+∈x 时，0)('

3

1,0(+上为减函数， 当),231(+∞+∈x 时，0)('>x f ，所以)(x f 在),2

3

1(+∞+上为增函数。……………… 5分 （2）由题意得，)(x f 的定义域为()∞+,0，x

b x x b x x f 21)21(222)(2'-+-=+-=， …… 6分①当2

1>b 时，0)('

>x f ，函数)(x f 在定义域()∞+,0上单调递增。此时函数)(x f 无极值点；…

7分

②当21=b 时，02)12()(2'

=-=

x x x f 有两个相同的解21=x ，但当??

? ??∈21,0x 时，0)('>x f ； 当??

? ??∞+∈,21x 时，0)('

>x f ，所以当21=b 时，函数)(x f 在),1(∞+-上无极值点；…… 8分

③当2

1<

b 时，0)('

=x f 有两个不同解，2211,221121b x b x -+=--=，

④当0≤b 时，),0(02

2111∞+?≤--=

b

x ，舍去。 而),0(12

2112∞+∈≥-+=

b

x ，此时，当),0(2x x ∈时，)(,0)('x f x f <单调递减， 当),(2∞+∈x x 时，0)('

>x f ，)(x f 单调递增，

所以当0≤b 时)(x f 有惟一极小值点2

2112b

x -+=。 ………………9分 当2

10<

>x f ，)(x f 单调递增， 当),(21x x x ∈时， )(,0)('

x f x f <单调递减，

当),(2∞+∈x x 时0)('

>x f ，)(x f 单调递增，所以当2

10<

)(x f 有一个极大值点2

2111b

x --=

和一个极小值点

2

2112b

x -+=

……………10分 综上所述，当且仅当21

小值点2

211b x -+=；

当2

1

0<

解法二：（Ⅰ）由题意得，)(x f 的定义域为()∞+,0，

()()/

2()2200220b f x x x b x x x x =-+≥>?≥-> ()2

112022b x x ?

??≥--+> ??

? … 7分

如图作出函数()()2

112022g x x x ?

?=--+> ??

?的图象，

当2

1

由图象可知： 当且仅当2

1

当210<

x --=和一个极小值点2

211b x -+=………11分

（3）由（1）知1-=b 时，函数x x x f ln )1()(2

--=，)(x f 有惟一极小值点23

12211+=-+=

b x ，

且)231,0(+∈x 时，0)('

3

1,0(+上为减函数。

因为当3≥n 时，2

31341110+<≤+<

1()1(n

f f +

>，……12分 即恒有)11ln(102n n +->

。所以当3≥n 时恒有21

ln )1ln(n

n n >-+成立。…………… 13分 令函数)0(ln )1()(>--=x x x x h ，则x

x x x h 1

11)('-=-=，

所以当1>x 时，0)('

>x h ，又)(x h 在1=x 处连续，所以[)∞+∈,1x 时)(x h 为增函数。 (14)

分

因为当3≥n 时，n 111+<，所以)1()11(h n h >+，即0)1

1ln(1>+-n n ， 所以n n n n 1

)11ln(ln )1ln(<+=-+，

综上可知，当3≥n 时不等式n n n n

1

ln )1ln(12<-+<都成立 ……………… 15分。