重庆一中高一数学下学期期末考试试题

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1秘密★启用前

2013年重庆一中高2015级高一下期期末考试

数 学 试 题 卷

数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一．选择题：（共10小题，每题5分，共50分．请将唯一正确的选项选出来，并涂在机读卡上的相应位置）

1.已知直线的倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2，则此直线方程为（ ）

A ．y x =+2.

B ．y x =-2

C ．y x =-+2

D ．y x =--2 2.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是( ) A ．1a b >-

B ．1a b >+

C ．22

a b >

D ．33

a b >

3. 直线2=-y x 被圆2

2

(4)4x y -+=所截得的弦长为（ ）

A 2

B ．22

C ．42． 4

4．左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为1214,,,.A A A L 右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是（ ）

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10 5.三个数2

0.9

0.9,ln 0.9,2

a b c ===之间的大小关系是（ ）

A.b c a <<.

B.c b a <<

C.c a b << D ．a c b << 6.32等比数列{}n a 的各项都是正数，且5916a a =，则216log a =（ ） A.4 B.5 C.6

D.7

7. 若2

0,AB BC AB ABC ?+=?u u u r u u u r u u u v 则是 ( )

树茎 树叶

7 8 9 10 11 9

6 3 8

3 9 8 8

4 1 5

3 1 4

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形

8. 直线10(,0)ax by a b ++=>过圆2

2

8210x y x y ++++=的圆心，则

14

a b

+的最小值为 ( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．20 9. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足,0,01615<>S S 则3

151212315

,,,,S S S S a a a a L 中最大的项为（ ） A.

66a S B.77a S C.88a S D.9

9a S

10.（原创） 已知直线1

66(1)()2

m x n y ++++=

与圆22

(3)(6)5x y -+-=相切，若对任意的,m n R +

∈均有不等式2m n k +≥成立，那么正整数k 的最大值是（ ） A.3 B.5 C.7 D.9

二．填空题：（共5小题，每题5分，共25分．请将最简答案填在答题卷相应的位置）

11. 若2a =r ，14

b =r ，a r 与b r 的夹角为30o

，则a b ?=r r .

12.设ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若2,3,120a b B =

==?，则角

A = ．

13.人体血液中胆固醇正常值的范围在2.86-5.98mmol/L ，若长期胆固醇过高容易导致心血管疾病.某医院心脏内科随机地抽查了该院治疗过的100名病员血液的胆固醇含量情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，只知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，胆固醇含量在4.6到5.1之间的病员人数为b ,则a b += .

14.设,x y 满足约束条件1020210x y x x y -≥??

-≥??+≤?

，向量(2,),(1,1)a y x m b =-=-r r ，且//a b r r 则m 的最

小值为 .

15.（原创）已知直线41y kx k =-+与曲线|1|2y =--恰有一个公共点，则实数k 的取值范围是 .

三．解答题：（共6小题，其中16～18每小题13分，19～21每小题12分，共75分．请将每题的解答过程写在答题卷相应的答题框内）

16.（本题满分13分）已知直线1l ：310ax y ++=，2l ：(2)0x a y a +-+=. （Ⅰ）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离.

17.（本题满分13分）设ABC ?的三个内角分别为,,A B C .向量3

(1,cos )cos ,)2222

C C C m n ==+u r r 与共线.

（Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）设角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2a C c b +=，试判断?ABC 的形

状．

18.（本题满分13分）已知,a b r r 满足||||1a b ==r r ，且a r

与b r 之间有关系式

ka b +=r r a kb -r r

，其中0k >. （Ⅰ）用k 表示a b ?r

r ；

（Ⅱ）求a b ?r r 的最小值，并求此时a r 与b r

的夹角θ的大小.

19.（本题满分12分）已知已知圆C 经过(2,4)A 、(3,5)B 两点，且圆心C 在直线220

x y --=上.

（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线3y kx =+与圆C 总有公共点，求实数k 的取值范围.

20.（本题满分12分）（原创）已知函数()f x 是二次函数，不等式()0f x ≥的解集为

{|23}x x -≤≤，且()f x 在区间[1,1]-上的最小值是4.

（Ⅰ）求()f x 的解析式；

（Ⅱ）设

()5()

g x x f x =+-，若对任意的

3,4x ?

?∈-∞- ?

?

?，

2

()(1)4()()x g g x m g x g m m

??--≤+??均成立，求实数m 的取值范围.

21.（本题满分12分）（原创）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈，都有0n b >，且2

3

3

123

n n S b b b =++L ；数列{}n a 满足22*111,(1cos )sin ,22

n n n n b b a a a n N ππ

+==++∈. （Ⅰ）求12,b b 的值及数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：2624132151912

n n a a a a a a a n a -+<+++L 对一切n N +

∈成立.

命题人：李长鸿

审题人：李 华

2013年重庆一中高2015级高一下期期末考试

数 学 答 案 2013.7

一．选择题：ABBDC ；BBCCA.

二．填空题：11.

；12.

45°；13. 85.27；14. 6-；

15.11331,,122

44??-+-??

????--?

? ????

??

?

???

?U U .

三．解答题：

16. （本题满分13分）（Ⅰ）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离. 解

:

（

1

）

由

12

l l ⊥知

3(2)0

a a +-=，解得

3

2

a =

；………………………………………………………6分 （

Ⅱ

）

当

12

//l l 时，有

(2)303(2)0

a a a a --=??

--≠?解得

3a = ………………………………………………………9分

1l ：3310x y ++=， 2l ：30x y ++=即3390x y ++=,距离为

d =

=

3分

17.（本题满分13分）解：（Ⅰ）∵m u r 与n r

共线

∴

)2

cos 2sin 3(2cos 23C C C +

=1π1(1cos )sin()262C C C =++=++………………………

3分

π

sin()1

6

C += ∴

C=

3

π

…………………………………………………………………………6分 （

Ⅱ

）

由

已

知

2a c b += 根据余弦定理可得：

222c a b ab =+- ……………………………………8分

联立解得：()0b b a -=

0,,

b b a >∴=3

C π

=

，所以△ABC 为等边三角

形， …………………………………………12分

18.（本题满分13分）解：（Ⅰ）223ka b a kb +=-r r r r ，2

41b k ka ?=+r r ，

214k b k

a +?=r r …………6分；

（Ⅱ）211

111()4442

k b k k k a +?==+≥=r r ，当且仅当1k =时取“=” 故

b

a ?r r 的最小值为

1

2

……………………………………………………………………………………10分 ||cos 1||2,11cos ,b b a a b a b a ?=<>=?=?<>r r r r r r r r ，1cos ,2a b <>=r r ，

,60a b <>=?r

r ………13分.

19. （本题满分12分）解：（1）由于AB 的中点为59

(,)22

D ，1AB k =，则线段AB 的垂直平分线方程为7y x =-+， 而圆心C 是直线7y x =-+与直线220x y --=的交点，由

7220

y x x y =-+??

--=?解得34x y =??=?，即圆心(3,4)C

，又半径为1CA ==，故圆C 的方程为2

2

(3)(4)1x y -+-=………6分； （2）圆心(3,4)C 到直线3y kx =+

的距离1d =

≤

得

2430

k k -≤，解得

3

04

k ≤≤.………………………………………………………………………12分

20. （本题满分12分）

解：（Ⅰ）()0f x ≥解集为{|23}x x -≤≤，设2

()(2)(3)(6)f x a x x a x x =+-=--，且

0a <

对称轴01

2

x =

，开口向下，min ()(1)44f x f a =-=-=，解得1a =-，2()6f x x x =-++；……5分

（Ⅱ）2

2

()561g x x x x x =++--=-，2()(1)4()()x g g x m g x g m m

??--≤+??恒成立

即22222

21(1)14(1)1x x m x m m ??---+≤-+-??对3,4x ??∈-∞- ??

?恒成立 化简22221(

4)23m x x x m -≤--， 即2

214m m -≤2321x x --+对3,4x ??∈-∞- ???

恒成立……8分 令2

32

1y x x

=-

-+，记14,03t x ??=∈-????，则2321y t t =--+， 二次函数开口向下，对称轴为013t =-

，当43t =-时min 5

3

y =-，故2

21543

m m -≤-………………10分

22(31)(43)0

m m +-≥，

解

得

2

m ≤-

或

2

m ≥

……………………………………………………12分

21. （本题满分12分）解：（1）121,2b b ==；

23333233121211,n n n n S b b b b S b b --=++++=L L ，相减得：

23121212)(()n n n b b b b b b b -+-=+++++L L

31212(2)2n n n n b b b b b b -=++++L ，即2112222n n n b b b b b -=++++L （2n ≥）

同理21121222n n n b b b b b ++=++++L ，两式再减1122

11n n n n n n b b b b b b +++=+?--=，

n b n =……5分

（2）2

2*111,(1cos )sin ,22

n n n n a a a n N ππ

+==++∈, 21(10)12a a =++=，32(11)04a a =++=，43(10)15a a =++=

一般地，2122212,1m m m m a a a a +-==+，则212122m m a a +-=+有212122(2)m m a a +-+=+，

21212

22

m m a a +-+=+，数列21{2}m a -+是公比为2的等比数列，12112(2)2m m a a --+=+得：

1*21232()

m m a m N --=-+?∈，

1*2211

132()2

m m m a a m N -+=

=-+?∈所以：

1

12

12232

132n n n

n a n +--?-+??=??-+??

为奇数为偶数 令111112132232111

112322322322(132)

n n n n n n n c -------+?-+?+===+=+-+?-+?-+?-+?

而当2n ≥时，2132n --+?2≥，故2

1

01132

n -<<-+?， 则22211120132(132)132n n n ---+<

<=-+?-+?+?，从而212(132)n -<-+?2

1

32

n -? *

21411(2,)3232n n n

c n n N -<+

=+≥∈??，6241521

32n n n a a a a a a a a T -=+++L 32

1

144141

82(1)(1)(1)1(1)14323243212

n n n T n -<+++++???++=+++?-??-

211119419

1(1)432123212

n n n n n -=+++-=+-<+

?…………………………………………………12分