(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，
复数几何意义的应用学案.
复数几何意义的应用学案 一、复数相关知识 1.复数z a bi (a,b R)的几何意义是什么？ 2. I z I的几何意义是什么？ 3. 复数z1,z 2差的模I Z1-Z 2 I的几何意义是什么？ 二、轨迹问题 (一)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设Z(x,y)以Z0(x0, y0)为圆心，r(r 0)为半径的圆上任意一点，则点 Z(x,y)满足ZZ o r (r0) 1. 该圆向量形式的方程是什么 2. 该圆复数形式的方程是什么 3.该圆代数形式的方程是什么(二)椭圆的定义：平面内与两定点Z1,Z2的距离的和等于常数(大于乙Z2 ) 的点的集合(轨迹) 设Z(x, y)是以Z i(x i, y2)Z2(X2,y2)为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任 意一点，则点Z(x, y)满足ZZ1ZZ22a (2a 乙Z?) 1.该椭圆向量形式的方程是什么
2.该椭圆复数形式的方程是什么 变式(1)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ 变式(2)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ (三)双曲线的定义：平面内与两定点Z1, Z2的距离的差的绝对值等于 常数(小于乙Z2 )的点的集合(轨迹) 设Z(x, y)是以Z i(x i, y2)Z2(X2, y2)为焦点，2a为实轴长的椭圆的上 任意一点，则点Z(x, y)满足ZZ1ZZJ 2a （2a 乙Z2） 1.该双曲线向量形式的方程是什么 2.该双曲线复数形式的方程是什么 变式(1)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ 变式(2)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a 0"那么点Z的轨迹是什么？
复数的概念与几何意义
1 第三章第一节 数系的扩充与复数的概念 学习目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。 2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。 自学探究 问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么？ 方程x 2 +1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能 设想一种方法，使这个方程有解吗？ 问题2.复数的概念是什么？ 问题3.若复数a+bi=c+di ，则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件？ 问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。 练习题： （一）完成课本104页1，2，3 （二）1.实数m 取何值时，复数z=m+1+(m-1)i 是实数？虚数？纯虚数？ 2.已知i 是虚数单位，复数Z=(m 2 -4)+(m+2)i ，当m 取何实数时，Z 是：（1）实数 （2）纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？ 5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2 -4x+3=0的两根，试求：,,a b k 的值。 [思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？ 第三章第二节 复数的几何意义 学习目标 1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想； 2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。 自学探究 问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？ 问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈（ 可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？ 问题3.怎样求一个复数的模？ 练习题： （一）完成课本105页1，2，3；106页A 组全做 （二） 1.若复数12z i =+，求z 的模。 2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z 的模。 3.在复平面内指出与复数112z i =+，223z i =，332z i =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z . 试 判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论. 第三章第三节 复数代数形式的加减运算及其几何意义 1.会进行复数的代数形式的加、减运算，了解其几何意义； 2.通过复数加法几何意义的探究渗透数形结合、类比的数学思想。 自学探究 问题1.复数与复平面内的向量有一一对应的关系，类比向量加法，你能得出复数的加法运算法则吗？ 复数加法的几何意义呢？ 问题2.复数的加法满足交换律、结合律吗？请结合复数加法运算法则证明。 问题3.若复数z 1+z 2=z 3,你能否用z 2和z 3表示出z 1 ？请画图说明。 你能因此得出复数减法法则及其几何意义吗？ 练习题： （一）完成课本109页1，2 （二）计算 （1）(56)(2)(34)i i i -+---+ （2）5i -(-2+3i )+(4-7i ) 2 . 已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，32i +，24i -+，试求： （1）AO 表示的复数； （2）CA 表示的复数； （3）B 点对应的复数. 3.ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数. 4. 当2 13 m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 第三章第四节 复数代数形式的乘除运算 学习目标 1. 理解共轭复数的概念； 2. 能进行复数的代数形式的乘、除运算，从中体会类比数学思想。 自学探究 问题1.类比(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,你能得出(a+bi)(c+di)=? 问题2.复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？请举例说明。 问题3.复数34i +与3-4i 有何关系？a bi +的共轭复数是什么？bi 的共轭复数是什么？ 思考：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系如何？ （2）12z z ?是一个怎样的数？有何特征？ 问题4.类比实数的除法是乘法的逆运算，请探究（1+2i ）Z =4+3i 中的复数Z =？ 你能得出复数除法运算法则吗？ 练习题： （一）完成课本111页1，2，3；112页A 组1至6题;116页A 组全做，B 组1，2题。 （二）1. 复数5 2 i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -- D ．2i - 2.如果复数212bi i -+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ） A 2 B ．-2 C ．23- D ．2 3 3. 若12z i =，则22z z -的值为 4. 计算 （1）13()(1)2i -+； （2）3113 ()()22-- 5. 若复数z 满足11z i z -=+，则|1|z +的值为 第三章 数系的扩充与复数的引入（复习课） 1. 设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 2(1)i i -?等于（ ） A ．22i - B ．22i + C ．2- D ．2 3. 复数21 (1)i +的值是（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2-
最新复数的几何意义及应用
复数的几何意义及应 用
复数的几何意义及应用 一、教学目标： (一)知识与技能: 通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。 (二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力; 2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点； 3、提高知识之间的理解与综合运用能力。 (三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。 二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用 三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用 四、教学工具：计算机、投影仪 五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法 六、教学过程： (一)设置情境，问题引入 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈ R ），连结OZ ，则点Z ，?Skip Record If...? ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是?Skip Record If...?，则向量是?Skip Record If...?的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，|z|=?Skip Record If...?=| a+bi |=?Skip Record If...?（a ，b ∈R ）。 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差?Skip Record If...?所对应的向量 就是连结?Skip Record If...?并且方向指向（被减数向量）的向量, ?Skip Record If...? (二)探索研究 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设?Skip Record If...?以?Skip Record If...?为圆心， ? Skip Record If...?为半径的圆上任意一点, 则?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 一一对应 向量 O Z
(完整word版)复数的概念及其几何意义练习题
一．选择题（共10小题） 1．（2015?遵义校级一模）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（） A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i 2．（2015?安庆校级三模）设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（） A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i 3．（2015?广西校级学业考试）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 4．（2015?泉州校级模拟）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2 5．（2015?潍坊模拟）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（） A．B．C．±1 D． 6．（2015?浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（） A．﹣2i B．2i C．﹣i或i D．2i或﹣2i 7．（2015?新课标II）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．（2015?南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（）A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i 9．（2015?宜宾模拟）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（） A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i 10．（2015?上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．填空题（共5小题） 11．（2015?岳阳二模）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2，则ix+y=．12．（2015春?常州期中）计算i+i2+…+i2015的值为． 13．（2015春?肇庆期末）从{0，1，2，3，4，5} 中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有个． 14．（2015?泸州模拟）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=． 15．（2014?奎文区校级模拟）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量 对应的复数是． 三．解答题（共8小题） 17．（2015?赫章县校级模拟）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i． （1）求点C，D对应的复数； （2）求平行四边形ABCD的面积． 18．（2015春?蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：
3-1-2 复数的几何意义
基础巩固强化 一、选择题 1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．3 [答案] C [解析] 由OZ →＝(0，－3)，得点Z 的坐标为(0，－3)， ∴OZ →对应的复数为0－3i ＝－3i.故选C. 2．复数z 与它的模相等的充要条件是( ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数 D ．z 是非负实数 [答案] D [解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0. 3．已知复数z ＝a ＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的模为|z |＝2，则a 等于( ) A ．1 B ．±1 C. 3 D ．±3 [答案] D [解析] ∵|z |＝2，∴a 2＋1＝4，∴a ＝±3. 4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i
C ．2＋4i D ．4＋i [答案] C [解析] 由题意，得点A (6,5)，B (－2,3)．由C 为线段AB 的中点，得点C (2,4)， ∴点C 对应的复数为2＋4i. 5．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2或a ≠－1 C ．a ＝2或a ＝0 D ．a ＝0 [答案] C [解析] 由题意知a 2－2a ＝0， 解得a ＝0或2. 6．当2 30，m －1<0. 二、填空题 7．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是________． [答案] (1,2) [解析] 由已知，得? ???? x 2－6x ＋5<0 x －2<0，
复数的几何意义及应用
复数的几何意义 问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是，则向量是的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，=| a+bi |=22b a +（a ，b ∈R ）。 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量, 22122121)()(y y x x z z d -+-==-= (二)探索研究 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 则r ZZ =0 )0(>r （1）该圆向量形式的方程是什么? )0(>=r r （2）该圆复数形式的方程是什么? r z z =-0 )0(>r （3）该圆代数形式的方程是什么? )0()()(22020>=-+-r r y y x x 2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨一一对应 向量 O
迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ ZZ 221=+ )2(21Z Z a > （1）该椭圆向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a > （2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段 （1）向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a = （2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a = （三）应用举例 例1．复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4， 则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（ ） （A ） 双曲线 （B ）双曲线的右支 （C ）线段 （D ）射线 答案：（D ）一条射线 例2．若复数z 满足条件1=z ， 求i z 2-的最值。 （数形结合法）由1=z 可知，z 对应于单位圆上的点Z ； i z 2-表示单位圆上的点Z 到点P （0，2）的距离。 由图可知，当点Z 运动到A （0，1）点时，12min =-i z ,此时z=i ； 当点Z 运动到B （0，-1）点时，32max =-i z , 此时z=-i 。 例3．已知z 1、z 2∈C ，且11=z ， 若i z z 221=+，则21z z -的最大值是（ ）
新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.2 复数的几何意义
7．1.2 复数的几何意义 考点 学习目标 核心素养 复平面 了解复平面的概念 数学抽象 复数的几何意义 理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系 直观想象 复数的模 掌握复数的模的概念，会求复数的模 数学运算 共轭复数 掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数 数学运算 问题导学 预习教材P70－P72的内容，思考以下问题： 1．复平面是如何定义的？ 2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 3．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数是什么？ 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的两种几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应 复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →. ■名师点拨 (1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i. (2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数． (3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写． 3．复数的模
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ → 的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2． ■名师点拨 如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数 (1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． (2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z － ＝a －b i ． ■名师点拨 复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z － ＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．( ) (2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( ) (3)若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.( ) (4)若z 1与z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 复数1－2i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D 复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10 D ．2 2 答案：C 复数z ＝－2＋5i 的共轭复数z － ＝________． 答案：－2－5i
复数的概念、几何意义及运算
高考数学一轮复习专题训练(40) 复数的概念、几何意义及运算 班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日 一、填空题 1. 复数z＝ 1 1－i 的虚部是________． 2. 设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________． 3. 若复数a＋i 1＋i 为纯虚数，则实数a的值是________． 4. 若复数z＝2－i 3－4i ，则z的共轭复数为z＝________． 5. 在复平面内，复数1－i 2＋i ＋i2 019对应的点位于第 ________象限． 6. 若复数z＝ 1 a－2 ＋(a2－4)i(a∈R)是实数，则a＝ ________．
7. 已知i是虚数单位，则满足z－i＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点在第________象限． 8. 满足条件|z－i|＝|z＋3|的复数z在复平面上对应点的轨迹是________． 9. 已知i是虚数单位，a、b∈R，则“a＝b＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 10. 若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m＋6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值为________． 11. 设a∈R，若复数a＋i 1＋i (i为虚数单位)的实部和虚部相 等，则a＝________． 12. 已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋a i＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋b i，则复数z＝________． 13. 若复数(x－2)＋y i(x，y∈R)的模为3，则y x的最大值
复数的几何意义及应用
复数的几何意义及应用 一、教学目标： (一)知识与技能: 通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。 (二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力; 2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点； 3、提高知识之间的理解与综合运用能力。 (三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。 二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用 三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用 四、教学工具：计算机、投影仪 五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法 六、教学过程： (一)设置情境，问题引入 问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是OZ ，则向量是OZ 的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，=| a+bi |=22b a +（a ，b ∈R ）。 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量, 2 2122121)()(y y x x z z d -+-==-=一一对应 向量 O Z
(二)探索研究 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 则r ZZ =0 )0(>r （1）该圆向量形式的方程是什么)0(>=r r （2）该圆复数形式的方程是什么? r z z =-0 )0(>r （3）该圆代数形式的方程是什么? )0()()(22020>=-+-r r y y x x 2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ ZZ 221=+ )2(21Z Z a > （1）该椭圆向量形式的方程是什么a 2=+ )2(21Z Z a > （2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段 （1）向量形式的方程是什么a 2=+ )2(21Z Z a = （2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a = 3．双曲线的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的差的绝对值等于 常数(小于21Z Z ) 的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为实轴长的双曲线的上 任意一点,
(完整word版)复数的概念与几何意义
第三章第一节 数系的扩充与复数的概念 学习目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。 2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。 自学探究 问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么？ 方程x 2 +1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能 设想一种方法，使这个方程有解吗？ 问题2.复数的概念是什么？ 问题3.若复数a+bi=c+di ，则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件？ 问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。 练习题： （一）完成课本104页1，2，3 （二）1.实数m 取何值时，复数z=m+1+(m-1)i 是实数？虚数？纯虚数？ 2.已知i 是虚数单位，复数Z=(m 2 -4)+(m+2)i ，当m 取何实数时，Z 是：（1）实数 （2）纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？ 5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2 -4x+3=0的两根，试求：,,a b k 的值。 [思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？ 第三章第二节 复数的几何意义 学习目标 1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想； 2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。 自学探究 问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？ 问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈（ 可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？ 问题3.怎样求一个复数的模？ 练习题： （一）完成课本105页1，2，3；106页A 组全做 （二） 1. 若复数1z =，求z 的模。 2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z 的模。 3.在复平面内指出与复数112z i =+ ，2z = ，3z =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z . 试 判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.
复数的几何意义及应用
复数的几何意义及应用 一、教学目标： (一)知识与技能: 通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。 (二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力; 2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点； 3、提高知识之间的理解与综合运用能力。 (三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。 二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用 三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用 四、教学工具：计算机、投影仪 五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法 六、教学过程： (一)设置情境，问题引入 问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是OZ ，则向量是OZ 的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，|z|==| a+bi |=2 2 b a +（a ， b ∈R ）。 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量, 2 212 2121)()(y y x x z z d -+-= =-= 一一对应 向量 O Z
(二)探索研究 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 则r ZZ =0 )0(>r （1）该圆向量形式的方程是什么? )0(>=r r （2）该圆复数形式的方程是什么? r z z =-0 )0(>r （3）该圆代数形式的方程是什么? )0()()(22020>=-+-r r y y x x 2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ ZZ 22 1=+ )2(21Z Z a > （1）该椭圆向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a > （2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段 （1）向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a = （2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a = 3．双曲线的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的差的绝对值等于 常数(小于21Z Z ) 的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为实轴长的双曲线的上 任意一点,
复数的几何意义及应用.
复数的几何意义及应用 、教学目标: (一) 知识与技能： 通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。 (二) 过程与方法：1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力 2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点； 3、提高知识之间的理解与综合运用能力。 (三) 情感、态度、价值观：通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学, 对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。 二、教学重点 三、教学难点 四、教学工具复平面内两点间距离公式的应用复平面内两点间距离公式的应用计算机、投影仪 探究式教学法、问题解决教学法 (一) 设置情境，问题引入 问题1:复数z的几何意义？设复平面内点Z表示复数z= a+bi (a, b € R),连结OZ,则 点Z , OZ ，复数z= a+bi (a, b€ R)之间具有一一对应关系。 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应一一对应 一一对应 复数z=a+bi ?向量OZ 问题2: I z I的几何意义？若复数z= a+bi (a, b € R)对应的向量是OZ ,则向量是OZ 的模叫做复数z= a+bi (a, b€ R)的模，|z|= 0Z =| a+bi |=J a2b2(a, b€ R)。 问题3：I Z1-Z2 I的几何意义？两个复数的差z1z2z所对应的向量就是连结ZZ2并 且方向指向(被减数向量)的向量，
d z i Z2 Z2Z1 v'(x i X2)2 (y i y2)2 （二）探索研究根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹） 设Z（x, y）以Z0（x0,y0）为圆心，r（r 0）为半径的圆上任意一点， 则ZZ0 r （r 0） （1）该圆向量形式的方程是什么？玄r（r 0） （2）该圆复数形式的方程是什么？z z0 r （r 0） （3）该圆代数形式的方程是什么？（x x0）2（y y0）2 r2（r 0） 2. 椭圆的定义:平面内与两定点Z l, Z2的距离的和等于常数（大于乙Z2 ）的点的集合（轨迹）设Z（x, y）是以Z i（x i，y2） Z2&2,曲为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点， 则ZZ, ZZ2 2a （2a 乙Z2） （1）该椭圆向量形式的方程是什么？|ZZ2 2a （2a 乙Z2） （2）该椭圆复数形式的方程是什么？z z, z z22a （2a 乙Z2） 变式:以乙（x,, y2）Z2（X2,y2）为端点的线段 （1）向量形式的方程是什么？|ZZ」|ZZ2| 2a （2a Z,Z2） （2）复数形式的方程是什么？z z, z z2 2a （2a Z,Z2） 3. 双曲线的定义：平面内与两定点Z1, Z2的距离的差的绝对值等于 常数（小于乙Z2）的点的集合（轨迹） 设Z（x, y）是以Z i（x i，y2）Z2&2, g为焦点，2a为实轴长的双曲线的上 任意一点，
(完整版)复数的基本概念和几何意义
复数 一、考点、热点回顾 1.复数的有关概念 （1）复数 ①定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1. ②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部. 注意：复数m ＋n i 的实部、虚部不一定是m 、n ，只有当m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部. （2）复数集 ①定义：全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母C 表示. 2.复数的分类 （1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）???? ?实数（b ＝0） 虚数（b ≠0）?????纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0 （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3.复数相等的充要条件 设a 、b 、c 、d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0?a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，即分离实部和虚部. （2）只有当a ＝c 且b ＝d 的时候才有a ＋b i ＝c ＋d i ，a ＝c 和b ＝d 有一个不成立时，就有a ＋b i ≠c ＋d i. （3）由a ＋b i ＝0，a ，b ∈R ，可得a ＝0且b ＝0. 4.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 5.复数的两种几何意义 （1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应 复平面内的点Z （a ，b ）. （2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应平面向量OZ → . 6.复数的模 复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ → 的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ a 2＋b 2. 注意：复数a ＋b i （a ，b ∈R ）的模|a ＋b i|＝a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小. 二、典型例题 考点一、复数的概念 例1、下列命题： ①若a ∈R ，则（a ＋1）i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集.
(完整版)复数的基本概念和几何意义
一、考点、热点回顾 1. 复数的有关概念 （1）复数 ① 定义：形如 a ＋ bi （ a ， b ∈ R ）的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i 2＝－ 1. ② 表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z ＝ a ＋bi （ a ，b ∈ R ），这一表示形式叫做复数的代数形式 .a 叫做复 数 z 的实部， b 叫做复数 z 的虚部 . 注意：复数 m ＋ni 的实部、虚部不一定是 m 、 n ，只有当 m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部 . （ 2）复数集 ①定义：全体复数所成的集合叫做复数集 . ②表示：通常用大写字母 C 表示 . 2. 复数的分类 实数（ b ＝0） 2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3. 复数相等的充要条件 设 a 、 b 、 c 、 d 都是实数，则 a ＋bi ＝c ＋di? a ＝c 且 b ＝d ，a ＋bi ＝0?a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）的形式，即分离实部和虚 部. 2）只有当 a ＝c 且 b ＝d 的时候才有 a ＋bi ＝c ＋di ，a ＝ c 和 b ＝d 有一个不成立时，就有 a ＋bi ≠c ＋ di. 3）由 a ＋ bi ＝ 0，a ，b ∈R ，可得 a ＝0 且 b ＝ 0. 4. 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 .实轴上的点都表示实 数；除了 原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 . 6.复数的模 复数 z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）对应的向量为 O →Z ，则O →Z 的模叫做复数 z 的模，记作 |z|，且 |z|＝ a 2＋b 2. 注意：复数 a ＋bi （a ， b ∈R ）的模 |a ＋ bi|＝ a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以 比较大小 . 考点一、复数的概念 例 1、下列命题： ①若 a ∈ R ，则（ a ＋1）i 是纯虚数； ②若 a ，b ∈R ，且 a>b ，则 a ＋i>b ＋ i ； 复数 1）复数 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ） 虚数（ b ≠0） 纯虚数 a ＝ 0 非纯虚数 5.复数的两种几何意义 （ 1）复数 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ） 一一对应 ←一 ―一对 ―应 →复平面内的点 Z （a ，b ） 一一对应 ←― 平面向量 O →Z. 典型例题
复数的概念及其几何意义练习题
一．选择题（共10小题） 1．（2015遵义校级一模）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（） A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i 2．（2015安庆校级三模）设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（） A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i 3．（2015广西校级学业考试）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 4．（2015泉州校级模拟）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2 5．（2015潍坊模拟）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（） A．B．C．±1 D． 6．（2015浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（） A．﹣2i B．2i C．﹣i或i D．2i或﹣2i 7．（2015新课标II）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．（2015南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（） A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i 9．（2015宜宾模拟）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（） A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i 10．（2015上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 二．填空题（共5小题） 11．（2015岳阳二模）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2，则ix+y=．12．（2015春常州期中）计算i+i2+…+i2015的值为． 13．（2015春肇庆期末）从{0，1，2，3，4，5} 中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有个． 14．（2015泸州模拟）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=． 15．（2014奎文区校级模拟）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量 对应的复数是． 三．解答题（共8小题） 17．（2015赫章县校级模拟）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i． （1）求点C，D对应的复数； （2）求平行四边形ABCD的面积． 18．（2015春蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是： （1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）表示复数z的点在复平面的第四象限
复数模的几何意义的应用
复数模几何意义的应用 教学目标： 1、 会求复数的模，并知道Z 和21Z Z -的几何意义。 2、 使学生初步掌握一些简单的复数方程所表示的轨迹。 3、 能利用复数模的几何意义，解决简单复数模求范围的问题。 4、 在利用复数模的几何意义解题过程中，学会把问题进行转化， 并同时渗透数形结合的数学思想方法。 教学重点：简单复数模的几何意义的应用 教学难点：复数方程所表示的几何意义。 教学过程： 一、 复习提问： 1、 已知Z =a+bi,（R b a ∈.），（1）求Z 的值。（2）Z 的几何 意义？ 2、 已知1Z =a+bi,2Z =c+di （a,b,c,d ∈R)，求（1）21Z Z -的 值。（2）21Z Z -的几何意义？ 二、 新课学习 例：（一）求满足下列条件的复数Z 对应的点的轨迹。 1、Z =1 答：复数z 对应的点Z 轨迹以原点O 为圆心，以1为半径的圆 周。 2、i Z Z 432+-=- 答：复数z 对应的点Z 轨迹是以（2，0），（3，-4）为端点的
中垂线。 3、122<--i Z 答：复数z 对应的点Z 轨迹是以（2，2）为圆心，1为半径的 圆面（不包括边界）。 4、422=-++Z Z 答：复数z 对应的点Z 轨迹是以（2，0），（-2，0）为端点的 线段的中点。 5、622=-++Z Z 答：复数z 对应的点Z 轨迹是以（-2，0），（2，0）为焦点， 长轴长为6的椭圆。 6、122=--+Z Z 答：复数z 对应的点Z 轨迹以（-2。0），（2，0）焦点，实轴 长1的双曲线的右支。 归纳： 1、圆的复数方程：)0(||0>=-r r Z Z 2、椭圆的复数方程：a Z Z Z Z 221=-+-（a>0） (1)若a Z Z 2||21>-，轨迹不存在。 (2)若a Z Z 2||21=-，轨迹表示线段。 (3)若a Z Z 2||21<-，轨迹表示椭圆。 3、双曲线的复数方程：)0(221>±=---a a Z Z Z Z (1)若a Z Z 2||21>-,轨迹表示双曲线。 (2)若a Z Z 2||21=-，轨迹表示两条射线。
