2014北京市高考压轴卷理科数学试题和答案

2014北京市高考压轴卷

理科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知

11x

yi i

=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -

2.已知函数3()f x x x =--，123,,x x x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则

123()()()f x f x f x ++的值为(

)

A.正

B.负

C.零

D.可正可负

3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）

A ．4+

52π B ．4+32π C ．4+2

π D ．4+π 4.如图所示为函数π

()2sin()(0,0)2

f x x ω?ω?=+>≤≤的部分图像，

其中A ，B 两点之间的距离为5，那么(1)f -=( )

A ．-1

B ．

C

D ．1

5.（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；

②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

③若m、n是两条异面直线，m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，则n⊥α．

其中正确命题的个数是（）

6.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有

，则不等式的解集为

A． B．C． D．

7.已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）

B

8.已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且x∈[0，1]时，，则方程在区间[﹣3，3]上的根的个数为（）

9.已知集合

{}{}

22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若

{}

3A B =-，则实数a 的值为

________________.

10.已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a 指向①时输出的结果S ＝m ，当箭头a 指向②时，输出的结果S ＝n ，求m ＋n 的值．

11.若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且8320S S -=，则11S 的值为 ． 12.

展开式中有理项共有 项．

13.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x

x f 2

)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是_______

14.设a ∈R ，若x ＞0时均有[（a ﹣1）x ﹣1]（x 2﹣ax ﹣1）≥0，则a= ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答

写在答题卡上的指定区域内．

15.已知向量)4

cos ,4(cos ),1,4sin 3(2x x x ==．记x f ?=)( (I)求)(x f 的周期；

(Ⅱ)在?ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a —c)cos B=b cosC ， 若

f (A )=

，试判断?ABC 的形状． 16.在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）

（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”． ①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；

②设乙、丙两人中被抽中的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)． 下面临界值表供参考：

参考公式：2

()()()()

K a b c d a c b d =++++

命题意图:考查分类变量的独立性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题. 17.已知正四棱柱1111-ABCD A BC D 中，12,4==AB AA . （Ⅰ）求证：1BD AC ⊥；

（Ⅱ）求二面角11--A AC D 的余弦值；

（Ⅲ）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11

ACD ⊥平面PBD ，若存在，求出1

CP

PC 的值；若不存在，请说明理由.