高等数学大一期末试卷(B)及答案
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中国传媒大学
2009-2010学年第 一 学期期末考试试卷(B 卷)
及参考解答与评分标准
考试科目: 高等数学A (上) 考试班级: 2009级工科各班 考试方式: 闭卷
命题教师:
一. 填空题(将正确答案填在横线上。本大题共3小题,每小题3分,总计
9分 )
1、0)(0='x f 是可导函数)(x f 在0x 点处取得极值的 必要 条件。
2、设
)20()
1tan(cos ln π
<<⎩⎨⎧+==t e y t x t
,确定函数
)
(x y y =,则
=dx
dy
)1(sec cot 2t t e t e +-。 3、=++⎰5
22x x dx
C x ++21
arctan 21。
二. 单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括
号中。本大题共3小题,每小题3分,总计 9分)
1、,则,若设0)(lim 1
3
4)(2=++-+=∞→x f b ax x x x f x )
44()()44()()44()()44).((,.; ,.; ,.; ,)可表示为,的值,用数组(,----D C B A b a b a
答( B )
2、下列结论正确的是( )
)(A 初等函数必存在原函数;
)(B 每个不定积分都可以表示为初等函数; )(C 初等函数的原函数必定是初等函数; )(D C B A ,,都不对。
答( D )
3、若⎰-=x e x
e dt t
f dx
d 0)(,则=)(x f
x
x e D e C x B x A 2222)( )()( )(-----
答( A )
三. 解答下列各题(本大题共2小题,每小题5分,总计10分 ) 1、求极限0
lim →x x
x
x 3sin arcsin -。
解
:
lim
→x =
-x
x
x 3sin arcsin 0
lim
→x 3
arcsin x x
x -
(3分)
lim
→=x
31112
2
=--
x x 0
lim
→x ()
()x
x x
6212
12
3
2---6
1-
=。
(5分) 2、2tan ln x y =,求dx
dy 。 解
:
2sec 212
tan 1
2x
x y ⋅⋅=
' (3分)
x
x x x csc sin 1
2
cos
2sin 21==⋅=
。
(5分)
四. 解答下列各题 (本大题共3小题,每小题8分,总计24分 )
1、设 .0,1,01
)(⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-=x x x
e x
f x
, 求)0(f '。 解:0
)
0()(lim )0(0--='→x f x f f x
(3分)
=--=--→→lim lim []
x x x x e x x e x x 0021
110
0 (5分)
2
1
21lim 0=
-=→x e x x 。
(8分)
2、证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根(其中0,0>>b a )。
证:设x b x a x f -+=sin )(,则)(x f 在],0[b a +上连续。 (2分)
又0
)0(>=b f ,
]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f 。
(4分)
若0
)(=+b a f ,则结论成立。
(6分)
若
)(<+b a f ,则由零点定理
0)(),0(=+∈∃ξξf b a 使得。
总之,方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根。 (8分)
3、证明不等式:当2
0π
<
证:令x
x x x f 2tan sin )(-+=,
(2分)
2sec cos )(2
-+='x x x f ,
)1sec 2(sin sec tan 2sin )(3
2-=+-=''x x x x x x f 。
显然,当
2
0π
<
)(>''x f 。 (5分) )(x f '∴在)2,0(π 内单调增加。又0)0(='f , )(x f '∴在)2 ,0(π 内大于零。 )(x f ∴在)2,0(π 内单调增加。而)0(f =0, )(x f ∴在 )2 ,0(π 内恒大于零。 (7分) 即当2 0π < 即. 2tan sin x x x >+。 (8分) 五. 解答下列各题 (本大题共3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、试问a 为何值时,函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值?它是 极大值还是极小值?并求出此极值。 解:x x a x f 2cos 32 cos )(+=',令0)(='x f ,则 02cos 3 2cos =+x x a , 即x x a cos /2cos 3 2 -=。 3 π = x 时)(x f 取得极值。 3 2 3cos /32cos 32=-=∴ππa , (4分) x x x x a x f 2sin 3 4 sin 322sin 34sin )(--=--='', 033 2sin 343sin 32)3(<-=--=''πππf , (6分) )(x f ∴在3 π = x 处取得极大值,其值为 2 3 。 (8分) 2、求不定积分x x x x d cos 12sin sin 2⎰++。