齐鲁名校教科研协作体《等比数列》单元测试题

一、等比数列选择题

1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352

a a +=，245

4a a +=，则n n S =a （ ）

A ．14n -

B ．41n -

C ．12n -

D ．21n -

2．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝

（ ） A ．4

B ．5

C ．8

D ．15

3．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ．

50

3

B ．

507

C ．

100

7

D ．

200

7

4．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}

2

n a 的前n 项和为n T ，若2

(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）

A ．()3,+∞

B ．()1,3-

C ．93,5?? ???

D ．91,5?

?- ??

?

5．已知数列{}n a 满足112a =

，*

11()2

n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列

{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）

A ．(,1)-∞

B ．3

(1,)2

-

C ．3(,)2

-∞

D ．(1,2)-

6．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ） A ．2±

B ．2

C ．3±

D ．3

7．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11

0,,22

n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4

?? ??

?

B ．20,3

?? ??

?

C ．30,4?? ???

D ．20,3?? ???

8．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-

B ．3-

C ．3

D ．8

9．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A ．8

B ．8-

C ．16

D ．16-

10．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ?=，则2122210log log log a a a +++=（ ）

A ．15

B ．10

C ．5

D ．311．题目文件丢失！

12．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列()

{}

1

11n n n a a -+-的

前n 项的和为（ ）

A ．()23

82133n n +--

B ．()23

182155n n +---

C ．()2382133

n n ++-

D ．()23182155

n n +-+-

13．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N *

∈，m n m n a a a +=?，若

1262n a a a ++???+=，则n =（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

14．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35

124

a a a +

+的取值范围为（ ） A ．73,2??????

B ．()3,+∞

C ．73,2?? ???

D ．[

)3,+∞

15．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则

5678a a a a +++=（ ）

A ．80

B ．20

C ．32

D ．

255

3

16．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8

B ．﹣8

C ．±8

D ．98

17．数列{}n a 满足119211021119n n n n a n --?≤≤=?≤≤?

，，，则该数列从第5项到第15项的和为（ ）

A ．2016

B ．1528

C ．1504

D ．992

18．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11

,,232

n q a ==则项数n 为（ ） A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

19．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ）

A ．4092

B ．2047

C ．2046

D ．1023

20

．

12

与1

2的等比中项是（ ）

A ．－1

B ．1

C

．

2

D

．2

±

二、多选题21．题目文件丢失！

22．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的

2

3

再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤

C ．n S 的最小值为

700

3

D ．n S 的最大值为400

23．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=?=∈，则下列结论正确的是（ ）

A ．101a <<

B

．11b <<

C ．22n n S T <

D ．22n n S T ≥

24．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列

D ．3a ，6a ，9a 成等比数列

25．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ）

A ．当101a q >??>?

B ．10a >

C ．1q >

D ．1

1n

n a a +< 26．已知集合{

}*

21,A x x n n N

==-∈，{}*

2,n

B x x n N ==∈将A

B 的所有元素从

小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25

B ．26

C ．27

D ．28

27．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =

C ．135********a a a a a +++

+=

D ．

222

122019

20202019

a a a a a +++=

28．已知数列{}n a 满足11a =，()*123n

n n

a a n N a +=

∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ??

+?

???

为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123

n n a +=-

C ．{}n a 为递增数列

D ．1n a ???

???

的前n 项和2

234n n T n +=-- 29．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件

11a >，781a a >，

871

01

a a -<-.则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<

B ．791a a <

C ．n T 的最大值为7T

D ．n S 的最大值为7S

30．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称

{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）

A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列

B ．已知4

n a n n

=+

，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21n

n a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2

D ．已知2

2020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<

31．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +??

?????

的前

n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ）

A ．数列{}1n a +是等差数列

B ．数列{}1n a +是等比数列

C ．数列{}n a 的通项公式为21n

n a =-

D ．1n T <

32．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）

A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列

B ．若数列{}n a 的前n 项和1

22n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列

C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?仍为等差数列

D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?仍为等比数列；

33．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）

A ．数列2

{}n a 是等比数列

B ．若32a =，732a =，则58a =±

C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列

D ．若数列{}n a 的前n 和1

3n n S r -=+，则1r =-

34．等比数列{}n a 中，公比为q ，其前n 项积为n T ，并且满足11a >.99100·10a a ->，991001

01

a a -<-，下列选项中，正确的结论有（ ） A ．01q << B ．9910110a a -< C ．100T 的值是n T 中最大的

D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于198

35．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7a

B ．8a

C ．15S

D ．16S

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等比数列选择题 1．D 【分析】

根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果. 【详解】

因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352

a a +=

，2454a a +=，

所以2

4135

1

452

2

q a a a a =++==， 因此()()11

1

1111112

21112n n

n

n n n n n n

a q S q q a a q q q ---??- ?

--??=

=

==--?? ???

. 故选：D.

2．C 【分析】

由等比中项，根据a 3a 11＝4a 7求得a 7，进而求得b 7，再利用等差中项求解. 【详解】 ∵a 3a 11＝4a 7， ∴2

7a ＝4a 7， ∵a 7≠0， ∴a 7＝4， ∴b 7＝4， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8． 故选：C 3．D 【分析】

设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】

5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，

由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则(

)3

11212

a --＝50，

解得a 1＝507

，所以牛主人应偿还粟的量为2

3120027a a ==

故选：D 4．D 【分析】

由2n n S a =-利用11,1,2

n n n S n a S S n -=?=?

-≥?，得到数列{}n a 是以1为首项，1

2为公比的等比

数列，进而得到{}

2

n a 是以1为首项，

1

4

为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将2(1)0n

n n S T λ-->恒成立，转化为(

)

()

321(1)

2

10n

n

n

λ---+>对

*n N ∈恒成立，再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.

【详解】

当1n =时，112S a =-，得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a =-， 得112n n S a --=-，

两式相减得11

2

n n a a -=，

所以数列{}n a 是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列. 因为11

2

n n a a -=， 所以22114

n n a a -=.

又2

11a =，所以{}

2

n a 是以1为首项，

1

4

为公比的等比数列， 所以1112211212n

n n S ??- ???????==-?? ???????-，11414113414

n

n

n T ??- ???????==-?? ???????-，

由2(1)0n n n S T λ-->，得2

14141(1)10234n n

n

λ????????---?->???? ? ??????????

???，

所以2

21131(1)1022n n

n λ????????---->???? ? ?????????????

， 所以2

11131(1)110222n n n n

λ????????????----+>?????? ? ? ???????????????????

.

又*n N ∈，所以1102n

??-> ???

，

所以1131(1)1022n n

n

λ????????---+>???? ? ?????????????

，

即(

)

()

321(1)

2

10n

n

n

λ---+>对*n N ∈恒成立，

当n 为偶数时，()()321210n

n

λ--+>，

所以()()3213216

632121

21

n

n

n n n λ-+-<==-

+++， 令6

321

n n b =-+，则数列{}n b 是递增数列，

所以22

69

3215

λb <=-=+； 当n 为奇数时，(

)()

321210n

n

λ-++>，

所以()()3213216

632121

21

n

n

n n n λ-+--<==-

+++，

所以16

332121

λb -<=-=-=+， 所以1λ>-.

综上，实数λ的取值范围是91,5?

?- ??

?.

故选：D. 【点睛】

方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题. 5．C 【分析】 由*11()2n n a a n N +=

∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列，1

2

n n a =，得2(2)2n n n

n b n a λ

λ-=

=-，结合数列{b n }是单调递增数列，可得1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立，参变分离后即可得解．

【详解】 由*11

()2

n n a a n N +=

∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列， 所以1111()222

n n n a -=

=， 2(2)2n n n

n b n a λ

λ-=

=- ∵数列{n b 是单调递增数列， ∴1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立， 即1

(12)2

(2)2n n n n λλ++->-，整理得：2

2

n λ+<

3

2λ∴＜ ，

故选：C. 【点睛】

本题主要考查了已知数列的单调性求参，一般研究数列的单调性的方法有： 一、利用数列单调性的定义，由1n n a a +>得数列单增，1n n a a +<得数列单减； 二、借助于函数的单调性研究数列的单调性. 6．D 【分析】

根据等比数列定义知3

813q =，解得答案.

4个数成等比数列，则3

813q =，故3q =.

故选：D. 7．A 【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1

102n q -?>，

1

(1)

221n q q

-<-，即可求出参数q 的取值范围；

【详解】

解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．

11

0,2

n a a >=

，2n S <， ∴1

102n q -?>，1

(1)221n q q

-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得3

4

q

． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4??

???

．

故选：A ． 【点睛】

等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 8．A 【分析】

根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2

326a a a =，

即2

(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)

661(2)2422

S a d ?-?-=+=?+?-=-. 故选：A 9．C 【分析】

根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值.

因为254,32a a ==，所以3

5

2

8a q a ==，所以2q ，

所以2

424416a a q ==?=，

故选：C. 10．A 【分析】

根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】 因为478a a ?=， 则()()5

2212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ???=+

?++=

()2475log 15a a =?=.

故选：A.

11．无

12．D 【分析】

根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入

()

1

11n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.

【详解】

因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，

所以31121208

a q a q a q ?+=?=?，

解得2q

，12a =，

所以1222n n

n a -=?=，

()

()

()

111

1

1

1222111n n n n n n n n a a ++-+--+=??-=∴--，

()

{

}

1

11n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，

()

23

3

5

7

9

21

11

8[1(4)]8222222

(1)1(4)155

n n n n n n S -++---∴=-+--+

+?==+---， 故选：D 【点睛】

关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可. 13．C

令1m =，可得112+=?=n n n a a a a ，可得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列前n 项和公式，求解即可. 【详解】

因为对任意的,m n N *

∈，都有m n m n a a a +=?，

所以令1m =，则112+=?=n n n a a a a ，

因为10a ≠，所以0n a ≠，即1

2n n

a a +=， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以2(12)6212n -=-，解得n =5，

故选：C 14．C 【分析】

由等比数列性质求得3a ，把35

124

a a a ++表示为1a 的函数，由函数单调性得取值范围． 【详解】

因为等比数列{}n a 的前5项积为32，所以53

32a =，解得32a =，则23511

4a a a a =

=，35

124

a a a +

+ 1111a a =++

，易知函数()1

f x x x

=+在()1,2上单调递增，所以351

73,242a a a ??++∈ ???， 故选：C ． 【点睛】

关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得32a =，选1a 为参数． 15．A 【分析】

由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】

根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，

121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q

则()()4

56781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.

故选：A

【分析】

由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】

设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，4

19q ?=，

解之可得83

d =，23q =，

()22218

183

b a a q ∴-=??=.

故选：A. 17．C 【分析】

利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可 【详解】

因为1192110

21119n n n n a n --?≤≤=?≤≤?，，

，

所以，410

4

9104561022222212

a a a -++

+=+

+==--，

49

8

4

4

8

941112152222222212

a a a -+++=+

+=+

+==--，

该数列从第5项到第15项的和为

10494465422222(2121)2(64322)16941504-+-=?-+-=?+-=?=

故选：C 【点睛】

解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题 18．C 【分析】

根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】

由题意可得等比数列通项5

111122n

n n a a q -????=== ? ?????

，则5n = 故选：C 19．A 【分析】

根据题中条件，先得数列的通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】

因为点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上， 所以()12

,2n

n a n N n -=∈≥，因此()12n n a n N ++=∈，

即数列{}n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 所以{}n a 的前10项和为()10412409212

-=-.

故选：A. 20．D 【分析】

利用等比中项定义得解. 【详解】

2311(

)(

(2-==

，

的等比中项是 故选:D

二、多选题 21．无

22．AC 【分析】

由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可 【详解】

由题可知，第一次着地时，1

100S =；第二次着地时，221002003

S =+?；

第三次着地时，2

32210020020033S ??

=+?+? ???；……

第n 次着地后，2

1

222100200200200333n n S -??

??

=+?+?+

+? ? ?

??

??

则2

1

1222210020010040013333n n n S --????

????

??=++++=+- ? ? ? ? ? ? ?????

???

???

，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为400700

10033

+=； 综上所述，AC 正确 故选：AC 23．ABC 【分析】

利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达

式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】

因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，

所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，

所以2

1122b b b <=

，即1b < 又2

2234b b b <=，即21

2

2b b =

<， 所以11b >

，即11b <<，故B 正确；

{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++???++

= 22(121)

2[13(21)]22

n n n n +-++???+-=

=，

因为12n n n b b +?=，则1

122n n n b b +++?=，所以22n n b b +=，

则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++???++++???+

=1101101122(222)(222)()(21)n n n

b b b b --++???++++???+=+-

1)1)n n

>-=-，

当n =1

时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时

假设当n=k

时，21)2k k ->

21)k k ->， 则当n=k +1

1121)21)21)2k k k k k ++-=

+-=->

2221(1)k k k >++=+

所以对于任意*n N ∈

，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】

本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 24．AD 【分析】

根据等比数列的定义判断． 【详解】

设{}n a 的公比是q ，则1

1n n a a q -=，

A ．23513

a a

q a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32

a q a =，363a

q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误；

C ．

24

2a q a =，484

a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．3

6936

a a q a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确． 故选：AD ． 【点睛】

结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．

数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列： 如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,

a a a 仍是等比数列，

实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,

n k k k k a a a a 仍是等比

数列． 25．BCD 【分析】

利用等比数列单调性的定义，通过对首项1a ，公比q 不同情况的讨论即可求得答案． 【详解】

A ，当10

1a q >??

>?

时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{}n a 递增，正确；

B ，当10a > ，0q <时，{}n a 为摆动数列，故错误；

C ，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，故错误；

D ，若10a >，1

1n

n a a +<且取负数时，则{}n a 为 摆动数列，故错误， 故选：BCD ． 【点睛】

本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题． 26．CD 【分析】

由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为2

3

1,2,3,2,5,7,2,9

，利用列举法，结合等差数列

以及等比数列的求和公式，验证即可求解.

【详解】

由题意，数列{}n a 的前n 项依次为2

3

1,2,3,2,5,7,2,9

，

利用列举法，可得当25n =时，A

B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，

则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,

37,39,2,4,8,16,32，

可得52520(139)2(12)

40062462212

S ?+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，

不满足112n n S a +>； 当26n =时，A

B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，

则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,

37,39,41,2,4,8,16,32，

可得52621(141)2(12)

44162503212

S ?+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，

不满足112n n S a +>； 当27n =时，A

B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，

则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,

37,39,41,43,2,4,8,16,32，

可得52722(143)2(12)

48462546212

S ?+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，

满足112n n S a +>； 当28n =时，A

B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，

则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,

37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，

可得52823(145)2(12)

52962591212

S ?+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，

满足112n n S a +>，

所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】

本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 27．ACD 【分析】

由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】

对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；

对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；

对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：

13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++???+=+-+-+-+

+-=，故C

正确.

对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2

121a a a =，

()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，

()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，2

20192019202020192018a a a a a =-，可得222

12201920202019201920202019

a a a a a a a a

+++==，故D 正确；

故选：ACD. 【点睛】

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 28．ABD 【分析】 由()*123n

n n

a a n N a +=

∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】

因为112323n n

n n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11

340a +=≠， 所以13n a ??

+????

是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=?即1123n n a +=-，故选项A 、B 正确. 由{}n a 的通项公式为1123

n n a +=

-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确.

因为1

231n n

a +=-，所以 1n a ??????的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-+

+-=++

+-

22(12)2312

234n n n n +-?-=?-=--.选项D 正确，

故选：ABD 【点睛】

本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题. 29．ABC

【分析】

由11a >，781a a >，

871

01

a a -<-，可得71a >，81a <．由等比数列的定义即可判断A ；运用等比数列的性质可判断B ；由正数相乘，若乘以大于1的数变大，乘以小于1的数变小，可判断C; 因为71a >，801a <<，可以判断D. 【详解】

11a >，781a a >，

871

01

a a -<-， 71a ∴>，801a <<，

∴A.01q <<，故正确；

B.2

798

1a a a =<，故正确； C.7T 是数列{}n T 中的最大项，故正确．

D. 因为71a >，801a <<，n S 的最大值不是7S ，故不正确. 故选：ABC ． 【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 30．BCD 【分析】

根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()

1111

111n k n n n k k n a a a a q

q q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，

n k n a a +<，故错误；

B. ()()244441++n k

n n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +????+-??-=++-+=-= ? ? ? ? ?+??????

，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；

C. ()()

()()()()21212111n k

n n

k n k n a a n k n k ++??-=++--+-=+---??

，当n 为奇数

时，()2110k

k --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110k

k +-->，存在2

k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，

则()()()

2

2

2

2020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *

∈N 成立，

则()2

20k t k +->，对于3k ≥成立，且()2

20k t k +-≤，对于k 2≤成立

即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立 所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD 【点睛】

本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 31．BCD 【分析】

由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公

式可得n a ，1112211

(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】

解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，

可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，

则12n

n a +=，即21n n a =-，

又1112211

(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得2

2311111111

111212*********

n n n n T ++=-

+-+?+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】

本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 32．ABD 【分析】

根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案. 【详解】

根据题意，依次分析选项：

对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2

n S an bn c =++，

若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列， 若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；

对于B ，若数列{}n a 的前n 项和1

22n n S +=-，

可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；

对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?，即为

12n a a a ++?+，12n n a a ++?+，213n n a a ++?+，?，

即为2

2322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，

故C 正确；

对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?不一定为等比数列，

比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，?，均为0，不为等比数列.故

D 不正确. 故选：ABD . 【点睛】

本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 33．AC 【分析】

在A 中，数列{}

2

n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，

数列{}n a 是递增数列；在D 中，13

r =-. 【详解】

由数列{}n a 是等比数列，知： 在A 中，

22221n n a a q -=，

22221122221n

n n n a a q q a a q

+-∴==是常数， ∴数列{}

2n a 是等比数列，故A 正确；

在B 中，若32a =，732a =

，则58a =，故B 错误；

在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则

01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；

在D 中，若数列{}n a 的前n 和1

3n n S r -=+，

则111a S r ==+，

()()221312a S S r r =-=+-+=， ()()332936a S S r r =-=+-+=，

1a ，2a ，3a 成等比数列， 2213a a a ∴=，

()461r ∴=+，