分块矩阵、第二章矩阵习题课.doc

教案（首页）

备课笔记附后

urj

二、分块矩阵的运算（与矩阵类似）

特别地分块对角矩阵

（与对角矩阵类似）

0 0

3 0

0、 0

-2 -b 求 |4 A 10,A -1 ,A4r 提示：|a| = |a

』a 』=

)

0、 AA T

=

0、

0、 /

〔0 A)

<0 A, 〔0 A,

\

A

A 7' o

*例 求证 A = 0^> A 1

A = 0

证明：必要性=> 显然

充分性 <=设A = (。] a 2… %)

T

"%)

% 0 a; a 2 …％ % a[a x • • a\ % • • ♦ …就％ ♦ • • ♦

特别地 a 1i a i = 0 (顶= 1,2,…〃) J J / c \

"1 j

即 用灼=(c 如,％，…勾)"?二嫌+出+…站=0

.

\a nl )

得。u = a 2j = = a nj = 0 (J = 1,2,…〃)所以 A = 0

J

J

J

§矩阵的分块法（简介）

一、矩阵的分块

矩阵按行按列分块 A =（O| a 2… a n ） =

A -1

l0=3

,0

•.•人以二

=0 故矿 0Cj= 0

第三章矩阵习题课

例2 设1 = (1,2,3),” = (1,?，!)电二6/”，求妃

一本章小结

1、矩阵概念

特殊矩阵0,",A，行矩阵、列矩阵

2、矩阵运算

3、线性方程组的矩阵形式AX =b

4、逆矩阵

可逆的充要条件

证明矩阵可逆的方法(1) AB = E (2) |ApO (3)可逆阵之积可逆5、解矩阵方程

AX = B,XB = C

二典型例题讲解

「2 1]

例1 设人= ，矩阵8满足BA = B + 2E求B

-1 2

提示B(A — E) = 2E

B A-E =22 E B =2

L 1 1)

1 ——

2 3

7

提示A = a T j3= 2 \ —,时=3

3 - 1

I 2 )

= a T/3 [••• 0 =

a T(/3 a’)。…(时)』=3卜' W/3 = 3卜' A

例3 设〃阶方阵+ B都可逆，求证人一】+3一'可逆，并求其逆矩阵提示A-】+ B'l = A" E + EB-i = + A^AB'1 = + (A"1 + Bi )-1 = (A-1 (A + B)B-】尸=B(A + A

(2)

\0 1)

。

/

1)

A? = A,但 A 壬0且 A A E

(1 1)

厂1 L

例4 设A为〃阶非零方阵，若求证A可逆

提示AA* = A4r\A\E=AA T

若|A| = 0=> A4r =0=> A = 0矛盾所以|A|/0, A可逆

三习题选讲

P5A 5举反列说明下列命题是错误的:

(1 )若A2 = 0,则A = 0；

(2)若A2 = A测A = 0 或4 = E ；

(3)若AX = AV,且A 主0,则X = Y.

AX = AY且ArO 但X^Y

%21 设A* =O(k 为正整数)，证明(&-A)T = E + A+ A2 + -•+ A k~l.

证明.・.(E-A) (E + A + A2 +•••+A A-,)=£-A'=E

・・.(E一A)-1 = E +A +A2 + ••• + A k~x

pq7 AA BAA'1 = A2BAA-} - ASEA'1

A\B = 2AB - 8E •.・ |A| = 2 B = 4(A + E)~* = diag(2,-4,2)

A

侃23 •/ AA* = AE .・.L A*=E,A*可逆，且(A)】=

又(A~'XA-]y =\A~1\E F

. A 用A左乘等式两边(A-】)* = |A-1A = |A|人=同=(A*)'1

0 1、 2 0求|与

0 1J

提示

aE-A n

24设"阶矩阵A 的伴随矩阵为A*,证明:

⑴ 若 4=0,则4*=0； (2) A* = A

w-1

.

证明（1）用反证法证明.假设A*。。则有= E

由此得 A = AA*(A*尸=|A|E(A*)T = O A A* = O 这与|A *|^O 矛盾，故当|A | = O 时 有|A *| = O

(2)由于A 1 =——A*,则 AA* = \A\E

取行列式得到：A A = A 若则A = A

若A = 0由(1)知A* = 0此时命题也成 故有A* = A n 1

四学生练习

(1 1 -1)

1. 已知 A= -111,且 X 满足 A*X = A -1 +2X ,求 X

1-11；

\ /

提示曲'X = AAT+2AX, |A|X = E + 2AX

"10、

X =(\A\E-2A)-} = - 0 1 1

%。1,

2. 设三阶方阵A,B 满足A ?B-A-B = E,如4= 0

I-2

提示 (A-hE)(A-E)B = A+E ,

3.

设 a = (1,0-l)r , A = ,求 aE-A n

Q -2〃T 0

=0 " 0

=a\a-2n )

0 a-2n '1

而A+E 可逆

2