工程力学公式微积分公式高等数学公式汇总

工程力学公式微积分公

式高等数学公式汇总 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

公式：

1、轴向拉压杆件截面正应力N F A

σ=，强度校核max []σσ≤

2、轴向拉压杆件变形Ni i i

F l l EA ?=∑

3、伸长率：1100%l l l δ-=

?断面收缩率：1

100%A A A

ψ-=? 4、胡克定律：E σε=，泊松比：'ευε=-，剪切胡克定律：G τγ= 5、扭转切应力表达式：T I ρ

ρτρ=

，最大切应力：max P P

T T

R I W τ==，

4

4

(1)32

P d I πα=

-，3

4(1)16

P d W πα=

-，强度校核：max

max []P

T W ττ=

≤ 6、单位扭转角：P

d T

dx GI ?θ=

=，刚度校核：max max []P

T GI θθ=

≤，长度为l 的

一段轴两截面之间的相对扭转角P

Tl GI ?=

，扭转外力偶的计算公式：

()(/min)

9549

KW r p Me n =

7、薄壁圆管的扭转切应力：202T R τπδ

=

8、平面应力状态下斜截面应力的一般公式：

cos 2sin 22

2

x y

x y

x ασσσσσατα+-=

+

-，sin 2cos 22

x y

x ασστατα-=

+

9、平面应力状态三个主应力：

'2

x y

σσσ+=

，''2

x y

σσσ+=

'''0σ=

最大切应力max '''

2

σστ-=±

=最大正应力方位

02tan 2x x y

τασσ=-

-

10、

第三和第四强度理论：3r σ=

4r σ=11、平面弯曲杆件正应力：Z

My I σ

=，截面上下对称时，Z

M W σ

=

矩形的惯性矩表达式：3

12Z bh I =

圆形的惯性矩表达式：

4

4(1)64Z d I πα=

-

矩形的抗扭截面系数：2

6

Z bh W =

，圆形的抗扭截面系数：3

4(1)32

Z

d W πα=

-

13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力：max max *S z S

Z F S F

K bI A

τ=

=

14、平面弯曲杆件的强度校核：（1）弯曲正应力max []t t σσ≤，max []c c σσ≤ （2）弯曲切应力max []ττ≤（3）第三类危险点：第三和第四强度理论 15、平面弯曲杆件刚度校核：叠加法

max []w w

l l

≤，max []θθ≤ 16、（1）轴向载荷与横向载荷联合作用强度： max

max min ()N Z

F M A W σσ=±

（2）偏心拉伸(偏心压缩)：max min ()N Z

F F A W δ

σσ=±

（3）弯扭变形杆件的强度计算：

有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦）

一、0

101101

lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++?

=???

（系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim

1x x

x →=

（2）()1

0lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >= （4）1n = （5）limarctan 2

x x π

→∞

=

（6）lim tan 2

x arc x π

→-∞

=-

（7）limarccot 0x x →∞

= （8）lim arccot x x π→-∞

= （9）lim 0x x e →-∞

=

（10）lim x x e →+∞

=∞ （11）0

lim 1x

x x +

→=

三、下列常用等价无穷小关系（0x →） 四、导数的四则运算法则 五、基本导数公式

⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-

⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1

ln x x

'= ⑿()1

log ln x a x a '=

⒀(

)arcsin x '= ⒁(

)arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '=

+ ⒃()2

1arccot 1x x '=-+⒄()1x '=

⒅

'=

六、高阶导数的运算法则 （1）()()()

()

()

()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()()

()()n n cu x cu x =????

（3）()()()

()n n n

u ax b a u

ax b +=+????

（4）()()()

()

()()()0

n

n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????

∑ 七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()

()

!n n x n = （2）()

()

n ax b n ax b e a e ++=? (3)()

()

ln n x x n a a a =

(4)()()

sin sin 2n n ax b a ax b n π?

?+=++??? ???

?

?

(5) ()()

cos cos 2n n ax b a ax b n π?

?+=++??? ???

?

?

(6)()

()

()

1

1!

1n n n

n a n ax b ax b +???

=- ?+??

+ (7) ()()

()

()()

1

1!

ln 1n n n n

a n ax

b ax b -?-+=-????

+

八、微分公式与微分运算法则

⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =

⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-

⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1

ln d x dx x

= ⑿()1

log

ln x a d dx x a =

⒀()arcsin d x =

⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =

+ ⒃()2

1

arccot 1d x dx x =-+ 九、微分运算法则

⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu =

⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2

u vdu udv

d v v -??

=

???

十、基本积分公式

⑴kdx kx c =+? ⑵11x x dx c μμ

μ+=++? ⑶ln dx

x c x

=+? ⑷ln x

x

a a dx c a

=+? ⑸x x e dx e c =+? ⑹cos sin xdx x c =+? ⑺sin cos xdx x c =-+? ⑻2

21sec tan cos dx xdx x c x

==+?

? ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+?? ⑽2

1arctan 1dx x c x =++?

⑾

arcsin x c =+

十一、下列常用凑微分公式

积分型

换元公式

十二、补充下面几个积分公式 十三、分部积分法公式

⑴形如n ax x e dx ?，令n u x =，ax dv e dx =

形如sin n x xdx ?令n u x =，sin dv xdx = 形如cos n x xdx ?令n u x =，cos dv xdx =

⑵形如arctan n x xdx ?，令arctan u x =，n dv x dx = 形如ln n x xdx ?，令ln u x =，n dv x dx =

⑶形如sin ax e xdx ?，cos ax e xdx ?令,sin ,cos ax u e x x =均可。

十四、第二换元积分法中的三角换元公式

sin x a t =tan x a t =sec x a t = 【特殊角的三角函数值】

（1）sin 00= （2）1sin

6

2π

=

（3）sin 32π= （4）sin 12

π

=） （5）

sin 0π=

（1）cos01= （2）cos

6

π

=

（3）1cos 32π= （4）cos 02

π

=） （5）cos 1π=-

（1）tan 00= （2）tan

6

3π

=

（3）tan 3π= （4）tan 2

π

不存在 （5）tan 0π=

（1）cot 0不存在 （2）cot 6

π

=（3）cot

3

π

=

（4）cot 02

π

=（5）cot π不存在

十五、三角函数公式

1.两角和公式

2.二倍角公式

3.半角公式

4.和差化积公式

5.积化和差公式

6.万能公式

7.平方关系

8.倒数关系

9.商数关系

十六、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程：

()()dy

f x

g y dx

= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：

dy y f dx x ??= ???

3.一阶线性非齐次微分方程：

()()dy

p x y Q x dx

+= 解为： 高等数学公式

·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC 中, 角A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边, 余弦等于角A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-co sα)/sinα ·降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 ·其他： sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n -1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n -1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

三角函数的角度换算

[编辑本段]

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot （3π/2＋α）＝－tanα sin （3π/2－α）＝－cosα cos （3π/2－α）＝－sinα tan （3π/2－α）＝cotα cot （3π/2－α）＝tanα (以上k ∈Z) 部分高等内容 [编辑本段]

·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n ！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 ·三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx ，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a 0` 30` 45` 60` 90` sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tana 0 √3/3 1 √3 None cota None √3 1 √3/3 0

导数公式：

a

x x a a a ctgx x x tgx x x x

ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22

=

'='?-='?='-='='2

2

22

11

)(11

)(11

)(arccos 11

)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-

='+=

'--

='-=

'?

?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C

a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C

a a dx a C

x ctgxdx x C

x dx tgx x C

ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x

x

)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222

22

22

2C a

x

x a dx C x a x

a a x a dx C a x a

x a a x dx C a x

arctg a x a dx C

ctgx x xdx C tgx x xdx C

x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2

2222222?

??+++++=+-=

==-C

a x x a a x x dx a x I n

n xdx xdx I n n n

n )ln(221

cos sin 2222

22

2

22

2

π

π

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式：

·和差角公式：

2

sin

2sin 2cos cos 2cos

2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2

cos

2sin 2sin sin β

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβ

αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?=

±?±=

±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(

·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：

C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=

-=

2

arccos 2

arcsin π

π

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率：

定积分的近似计算： 定积分应用相关公式：

空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：

)

,,(),,(),,(30

))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}

,,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()

()()

(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y

x y x x z x z z y z y -=

-=-=-+-+-==??

??

?====-'+-'+-''-=

'-='-??

?

??===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：

上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线

ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度：

多元函数的极值及其求法： 重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式：

??????????????????Ω

∑

∑

∑

∑

∑

Ω

∑=++==?

A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n

div )cos cos cos (...

,0div ,div )cos cos cos ()(

成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：

—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： 常数项级数： 级数审敛法：

绝对收敛与条件收敛： 幂级数：

函数展开成幂级数：

一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数：

周期为l 2的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念： 一阶线性微分方程： 全微分方程： 二阶微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

二阶常系数非齐次线性微分方程

对数函数a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点

b):当a＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(-,+∞)的值为正；在定义域内单调增.

幂函数a为任意

实数

这里只画出部分函

数图形的一部分。

令a=m/n

a):当m为偶数n为奇数时,y是偶函数; ?b):当m,n都是奇数时,y是奇函数; ?c):当m奇n偶时,y在(-∞,0)无意义.

三角函数

(正弦函

数)

这里只写出了正

弦函数

a):正弦函数是以2π为周期的周期函数

?b):正弦函数是奇函数且