三角函数的图象和性质及三角恒等变换知识点归纳

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三角函数的图象和性质及三角恒等变换知识点归纳

及常见题型讲解

教学大纲: 知识要点

(一)三角函数的图象与性质

sin y x =

cos y x = tan y x =

图象

定义域 R R

,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭

值域

[]1,1-

[]1,1-

R

当22

x k π

π=+

()

k ∈Z 时,max 1y =;当

22

x k π

π=-

()k ∈Z 时,min 1y =-.

当()2x k k π=∈Z 时,

max 1y =;当2x k ππ=+

()k ∈Z 时,min 1y =-.

既无最大值也无最小值

期性 2π 2π

π

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

调性

在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣

⎦ 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是

在,22k k ππππ⎛

⎫-+ ⎪⎝

()k ∈Z 上是增函数;在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣

⎦ ()k ∈Z 上是减函数.

[]2,2k k πππ+

()k ∈Z 上是减函数.

()k ∈Z 上是增函数.

性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2x k k π

π=+∈Z

对称中心

(),02k k ππ⎛⎫+∈Z

⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z

对称中心

(),02k k π⎛⎫

∈Z

⎪⎝⎭

无对称轴

2、三角函数图像变换

函数sin y x =的图象上所有点向左(右)平移ϕ个单位长度,得到函数

()sin y x ϕ=+的图象;再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

ω

倍(纵坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象.

函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1

ω

倍(纵坐标不变),得到函数

sin y x ω=的图象;再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左(右)平移

ϕ

ω

个单位长度,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象.

3、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质: ①振幅:A ; ②周期:2π

ω

T =;

③频率:12f ω

π

=

=T ; ④相位:x ωϕ+; ⑤初相:ϕ.

知识要点

(二)三角恒等变换

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: (1)()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+; (2)()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; (3)()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-; (4)()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; (5)()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+(()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+);

(6)()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

-(()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-).

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: (1)sin22sin cos ααα=.

(2)2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(2cos 21

cos 2

αα+=

,21cos 2sin 2

α

α-=

). (3)22tan tan 21tan α

αα

=

-.

3、()22sin cos αααϕA +B =A +B +,其中tan ϕB =A

【例题讲解及课堂练习】

1.给出下面的3个命题:(1)函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π

;(2)函数)

23sin(π-=x y 在区间)23,

[ππ上单调递增;(3)45π=x 是函数)2

52sin(π

+=x y 的图象的一条对称轴.

其中正确命题的个数是( )

A .0

B .1

C .2

D .3

2. 已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛

=+

> ⎪3⎝⎭

的最小正周期为π,则该函数的图象( ) A .关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭

对称

B .关于直线x π

=

4对称 C .关于点0π⎛⎫ ⎪4

⎝⎭

对称

D .关于直线x π

=

3

对称 3.已知函数sin()y A x k ωϕ=++(0)A >的最大值是4,最小值是0,最小正周期是

2

π,直线3x π

=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的

解析式是( ) A .4sin(4)26y x π=++ B .2sin(2)23

y x π=++

C .2sin(4)23y x π

=+

+ D .2sin(4)26

y x π

=++ 4.已知函数()sin()(0)4

f x x x R π

ωω=+

∈>,的最小正周期为π,为了得到函数

()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象

( )

A . 向左平移8π

个单位长度 B . 向右平移

个单位长度

C . 向左平移4

π

个单位长度

D . 向右平移4

π

个单位长度

5.下列函数中,周期为π,且在42ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦,上为减函数的是

( )

A .sin()

2y x π

=+

B .cos(2)2

y x π

=+

C .sin(2)2

y x π

=+

D .cos()2

y x π

=+

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