三角函数的图象和性质及三角恒等变换知识点归纳
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三角函数的图象和性质及三角恒等变换知识点归纳
及常见题型讲解
教学大纲: 知识要点
(一)三角函数的图象与性质
sin y x =
cos y x = tan y x =
图象
定义域 R R
,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最
值
当22
x k π
π=+
()
k ∈Z 时,max 1y =;当
22
x k π
π=-
()k ∈Z 时,min 1y =-.
当()2x k k π=∈Z 时,
max 1y =;当2x k ππ=+
()k ∈Z 时,min 1y =-.
既无最大值也无最小值
周
期性 2π 2π
π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单
调性
在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦ 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是
增
函
数
;
在
在,22k k ππππ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭
()k ∈Z 上是增函数;在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣
⎦ ()k ∈Z 上是减函数.
[]2,2k k πππ+
()k ∈Z 上是减函数.
()k ∈Z 上是增函数.
对
称
性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2x k k π
π=+∈Z
对称中心
(),02k k ππ⎛⎫+∈Z
⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z
对称中心
(),02k k π⎛⎫
∈Z
⎪⎝⎭
无对称轴
2、三角函数图像变换
函数sin y x =的图象上所有点向左(右)平移ϕ个单位长度,得到函数
()sin y x ϕ=+的图象;再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1
ω
倍(纵坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象.
函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1
ω
倍(纵坐标不变),得到函数
sin y x ω=的图象;再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左(右)平移
ϕ
ω
个单位长度,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象.
3、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质: ①振幅:A ; ②周期:2π
ω
T =;
③频率:12f ω
π
=
=T ; ④相位:x ωϕ+; ⑤初相:ϕ.
知识要点
(二)三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: (1)()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+; (2)()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; (3)()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-; (4)()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; (5)()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+(()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+);
(6)()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
-(()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-).
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: (1)sin22sin cos ααα=.
(2)2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(2cos 21
cos 2
αα+=
,21cos 2sin 2
α
α-=
). (3)22tan tan 21tan α
αα
=
-.
3、()22sin cos αααϕA +B =A +B +,其中tan ϕB =A
.
【例题讲解及课堂练习】
1.给出下面的3个命题:(1)函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π
;(2)函数)
23sin(π-=x y 在区间)23,
[ππ上单调递增;(3)45π=x 是函数)2
52sin(π
+=x y 的图象的一条对称轴.
其中正确命题的个数是( )
A .0
B .1
C .2
D .3
2. 已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛
⎫
=+
> ⎪3⎝⎭
的最小正周期为π,则该函数的图象( ) A .关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭
,
对称
B .关于直线x π
=
4对称 C .关于点0π⎛⎫ ⎪4
⎝⎭
,
对称
D .关于直线x π
=
3
对称 3.已知函数sin()y A x k ωϕ=++(0)A >的最大值是4,最小值是0,最小正周期是
2
π,直线3x π
=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的
解析式是( ) A .4sin(4)26y x π=++ B .2sin(2)23
y x π=++
C .2sin(4)23y x π
=+
+ D .2sin(4)26
y x π
=++ 4.已知函数()sin()(0)4
f x x x R π
ωω=+
∈>,的最小正周期为π,为了得到函数
()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象
( )
A . 向左平移8π
个单位长度 B . 向右平移
8π
个单位长度
C . 向左平移4
π
个单位长度
D . 向右平移4
π
个单位长度
5.下列函数中,周期为π,且在42ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦,上为减函数的是
( )
A .sin()
2y x π
=+
B .cos(2)2
y x π
=+
C .sin(2)2
y x π
=+
D .cos()2
y x π
=+