命题与证明的基础测试题及解析

命题与证明的基础测试题及解析

一、选择题

1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）

A ．若a b =，则a b =

B ．AB

C ?中，若222AC BC AB +=，则ABC ?是Rt ?

C ．若0a =，则0ab =

D ．四边相等的四边形是菱形

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据绝对值的意义和有理数的乘法、菱形的性质及勾股定理进行判断．

【详解】

解：A 、该命题的逆命题为：若|a|=|b|，则a=b ，此命题为假命题；

B 、该命题的逆命题为：若△AB

C 是Rt △，则AC 2+BC 2=AB 2，此命题为假命题；

C 、该命题的逆命题为：若ab=0，则a=0，此命题为假命题；

D 、该命题的逆命题为：菱形的四边相等，此命题为真命题；

故选：D ．

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．

2．下列命题是假命题的是( )

A ．四个角相等的四边形是矩形

B ．对角线相等的平行四边形是矩形

C ．对角线垂直的四边形是菱形

D ．对角线垂直的平行四边形是菱形

【答案】C

【解析】

试题分析：A ．四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A 选项不符合题意； B ．对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B 选项不符合题意；

C ．对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C 选项符合题意；

D ．对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D 选项不符合题意．

故选C ．

考点：命题与定理．

3．下列说法中，正确．．

的是( )

A．图形的平移是指把图形沿水平方向移动.

B．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变.

C．“相等的角是对顶角”是一个真命题

D．“直角都相等”是一个假命题

【答案】B

【解析】

图形的平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，平移前后图形的形状和大小都没有发生改变．而相等的角不一定是对顶角，C是一个假命题，直角都相等是真命题．故选B

4．下列命题的逆命题成立的是（）

A．对顶角相等

B．全等三角形的对应角相等

C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等

D．两直线平行，同位角相等

【答案】D

【解析】

【分析】

写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可．

【详解】

解：A、逆命题为相等的角为对顶角，不成立；

B、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立；

C、逆命题为绝对值相等的两个数相等，不成立；

D、逆命题为同位角相等，两直线平行，成立，

故选：D．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题，难度不大．

5．下列命题是真命题的是（）

A．方程2

--=的二次项系数为3，一次项系数为-2

3240

x x

B．四个角都是直角的两个四边形一定相似

C．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖

D．对角线相等的四边形是矩形

【答案】A

【解析】

【分析】

根据所学的公理以及定理，一元二次方程的定义，概率等知识，对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．

【详解】

A 、正确．

B 、错误，对应边不一定成比例．

C 、错误，不一定中奖．

D 、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形.

故选：A ．

【点睛】

此题考查命题与定理，熟练掌握基础知识是解题关键．

6．下列选项中，可以用来说明命题“若22a b ＞，则a b ＞”是假命题的反例是（ ） A ．2,a =b=-1

B ．2,1a b =-=

C ．3,a =b=-2

D ．2,0a b ==

【答案】B

【解析】

分析：根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 详解：∵当a =﹣2，b =1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，∴a =﹣2，b =1是假命题的反例． 故选B ．

点睛：本题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可．这是数学中常用的一种方法．

7．用三个不等式,0,a b ab a b >>>中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 【答案】A

【解析】

【分析】

由题意得出三个命题，根据不等式的性质判断命题的真假.

【详解】

若,0a b ab >>，则a b >为假命题.反例：a=-1,b=-2 若,a b a b >>，则0ab >为假命题.反例：a=2,b=-1 若0,

ab a b >>，则a b >为假命题.反例:a=-2,b=-1 故选：A

【点睛】

本题考查了命题与不等式的性质，解题的关键在于根据题意得出命题，根据不等式的性质判断真假.

8．下列命题中真命题是（ ）

A ．若a 2=b 2,则a=b

B ．4的平方根是±2

C．两个锐角之和一定是钝角 D．相等的两个角是对顶角

【答案】B

【解析】

【分析】

利用对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】

A、若a2=b2,则a=±b，错误，是假命题；

B、4的平方根是±2，正确，是真命题；

C、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；

D、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题.

故选B．

【点睛】

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义，难度不大．

9．下列定理中，逆命题是假命题的是（）

A．在一个三角形中，等角对等边

B．全等三角形对应角相等

C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

D．等腰三角形两个底角相等

【答案】B

【解析】

【分析】

先把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．

【详解】

解：A、逆命题为：在一个三角形中等边对等角，逆命题正确，是真命题；

B、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题错误，是假命题；

C、逆命题为：如果一个三角形是等边三角形，那么它是一个等腰三角形而且有一个内角等于60°，逆命题正确，是真命题；

D、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题正确，是真命题；

故选：B．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题．

10．用反证法证明命题：“在三角形中，至多有一个内角是直角”，正确的假设是（）A．在三角形中，至少有一个内角是直角B．在三角形中，至少有两个内角是直角C．在三角形中，没有一个内角是直角D．在三角形中，至多有两个内角是直角

【答案】B

【解析】

【分析】

反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”.

【详解】

解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的否命题正确， ∴应假设：在三角形中，至少有两个内角是直角.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可.

11．下面说法正确的个数有（ ）

①方程329x y +=的非负整数解只有1

3x y ==，；②由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；③如果1122

A B C ∠=∠=∠，那么ABC V 是直角三角形；④各边都相等的多边形是正多边形；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个 【答案】A

【解析】

【分析】

根据二元一次方程的解的定义可对①进行判断；根据三角形的定义对②进行判断；根据直角三角形的判定对③进行判断；根据正多边形的定义对④进行判断；根据钝角三角形的定义对⑤进行判断．

【详解】

解：①二元一次方程329x y +=的非负整数解是x=3，y=0或x=1，y=3，原来的说法错误；

②由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，原来的说法错误；

③如果3672=72A B C ∠=?∠=?∠?，，，那么ABC V 不是直角三角形，故错误； ④各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故错误．

⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故错误，

故选A.

【点睛】

此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解二元一次方程的解的定义、三角形的定义、直角三角形的判定、正多边形的定义及钝角三角形的定义等知识，难度不大．

12．下列命题中是假命题的是( )

A ．一个三角形中至少有两个锐角

B ．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行

C ．同角的补角相等

D ．如果a 为实数，那么0a >

【答案】D

【解析】

A. 一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；

B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，是真命题；

C. 同角的补角相等，是真命题；

D. 如果a 为实数，那么|a|>0，是假命题；如：0是实数，|0|=0，故D 是假命题； 故选：D.

13．下列命题是假命题的是（ ）

A ．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

B ．等边三角形有3条对称轴

C ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

D ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质一一判断即可．

【详解】

A ．正确；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

B ．正确．等边三角形有3条对称轴；

C ．错误，SSA 无法判断两个三角形全等；

D ．正确．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

故选：C ．

【点睛】

本题考查了命题与定理，等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．

14．下列选项中，能说明命题“若22a b >，则a b >”是假命题的反例是( )

A ．1a =-，2b =

B ．2a =，1b =-

C ．1a =，2b =-

D ．2a =-，1b =

【答案】D

【解析】

【分析】

根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，作答本题直接利用选项中数据代入求出答案．

【详解】

A. 当1a =-，2b =时，2a ＜2b ，a ＜b ，则此选项不是假命题的反例；

B. 当2a =，1b =-时，2a ＞2b ，a ＞b ，则此选项不是假命题的反例；

C. 当1a =，2b =-时，2a ＜2b ，a ＞b ，则此选项不是假命题的反例；

D. 当2a =-，1b =时，2a ＞2b ，a ＜b ，则此选项是假命题的反例，

故选：D ．

【点睛】

本题考查真命题与假命题．要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．

15．对于命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”，下面四组关于a ，b 的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）

A ．a =3，b =2

B ．a =﹣3，b =2

C ．a =3，b =﹣1

D ．a =﹣1，b =3

【答案】B

【解析】

试题解析：在A 中，a 2=9，b 2=4，且3＞2，满足“若a 2＞b 2，则a ＞b”，故A 选项中a 、b 的值不能说明命题为假命题；

在B 中，a 2=9，b 2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足a 2＞b 2，但a ＞b 不成立，故B 选项中a 、b 的值可以说明命题为假命题；

在C 中，a 2=9，b 2=1，且3＞﹣1，满足“若a 2＞b 2，则a ＞b”，故C 选项中a 、b 的值不能说明命题为假命题；

在D 中，a 2=1，b 2=9，且﹣1＜3，此时满足a 2＜b 2，得出a ＜b ，即意味着命题“若a 2＞b 2，则a ＞b”成立，故D 选项中a 、b 的值不能说明命题为假命题；

故选B ．

考点：命题与定理．

16．下列命题是真命题的是（ ）

A ．同旁内角相等，两直线平行

B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形

C ．相等的两个角是对顶角

D ．圆内接四边形对角相等

【答案】B

【解析】

【分析】

由平行线的判定方法得出A 是假命题；由平行四边形的判定定理得出B 是真命题；由对顶角的定义得出C 是假命题；由圆内接四边形的性质得出D 是假命题；综上，即可得出答案.

【详解】

A.同旁内角相等，两直线平行；假命题；

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形；真命题；

C.相等的两个角是对顶角；假命题；

D.圆内接四边形对角相等；假命题；

故选：B.

【点睛】

本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆内接四边形的性质；熟练掌握相关性质和定理、定义是解题关键.

17．下列正确说法的个数是（）

①同位角相等；②等角的补角相等；③两直线平行，同旁内角相等；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行线的性质以及等角或同角的补角相等的知识，即可求得答案．

【详解】

解：∵两直线平行，同位角相等，故①错误；

∵等角的补角相等，故②正确；

∵两直线平行，同旁内角互补，故③错误；

∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④正确．

∴正确说法的有②④．

故选B．

【点睛】

此题考查了平行线的性质与对顶角的性质，以及等角或同角的补角相等的知识．解题的关键是注意需熟记定理．

18．下面命题的逆命题正确的是（）

A．对顶角相等B．邻补角互补

C．矩形的对角线互相平分D．等腰三角形两腰相等

【答案】D

【解析】

【分析】

先分别写出四个命题的逆命题，然后利用对顶角的定义、邻补角的定义、矩形的判断和等腰三角形的判定方法对各命题的真假进行判断．

【详解】

解：A.对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；

B.邻补角互补的逆命题为互补的角为邻补角，此逆命题为假命题；

C.矩形的对角线互相平分的逆命题为对角线互相平分的四边形为矩形，此逆命题为假命题；

D.等腰三角形两腰相等的逆命题为两边相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题． 故答案为D ．

【点睛】

本题考查了命题与定理,掌握举出反例法是判断命题的真假的重要方法．

19．下列命题中哪一个是假命题（ ）

A ．8的立方根是2

B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大

C ．菱形的对角线相等且平分

D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等

【答案】C

【解析】

【分析】

利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

A 、8的立方根是2，正确，是真命题；

B 、在函数3y x 的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；

C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；

D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，

故选C ．

【点睛】

考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．

20．下列命题中正确的有（ ）个

①平分弦的直径垂直于弦；②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线；③在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半；④平面内三点确定一个圆；⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据垂径定理的推论对①进行判断；根据切线的判定定理对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据确定圆的条件对④进行判断；根据三角形外心的性质对⑤进行判断．

【详解】

①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，错误；

②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线，正确；

③在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，错误；

④平面内不共线的三点确定一个圆，错误；

⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，正确；

故正确的命题有2个

故答案为：B．

【点睛】

本题考查了判断命题真假的问题，掌握垂径定理的推论、切线的判定定理、圆周角定理、确定圆的条件、三角形外心的性质是解题的关键．