初二年级奥数分式方程试题及答案
初二年级奥数分式方程试题及答案
1．下列是分式方程的是(D)
A.xx＋1＋x＋43
B.x4＋x－52＝0
C.34(x－2)＝43x
D.1x＋2＋1＝0
2．为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力实行大
型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所
需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的分式方程为(A)
A.400x＝300x－30
B.400x－30＝300x
C.400x＋30＝300x
D.400x＝300x＋30
3．已知x＝1是分式方程1x＋1＝3kx的根，则实数k＝16.
4．把分式方程2x＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同
乘以(D)
A．x B．2x
C．x＋4 D．x(x＋4)
5．解分式方程2x＋1＋3x－1＝6x2－1分以下几步，其中错误的
一步是(D)
A．方程两边分式的最简公分母是(x－1)(x＋1)
B．方程两边都乘以(x－1)(x＋1)，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6
C．解这个整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
6．解分式方程1x－1＋1＝0，准确的结果是(A)
A．x＝0 B．x＝1
C．x＝2 D．无解
7．已知x＝3是关于x的方程10x＋k－3x＝1的一个解，则k＝2．8．解下列方程：
(1)2xx－2＝1－12－x；
解：方程两边同乘以(x－2)，得
2x＝x－2＋1.解得x＝－1.
经检验，x＝－1是原方程的解．
(2)6x－2＝xx＋3－1；
解：方程两边同乘以(x－2)(x＋3)，得
6(x＋3)＝x(x－2)－(x－2)(x＋3)．
解得x＝－43.
经检验，x＝－43是原方程的解．
(3)xx2－4＋2x＋2＝1x－2；
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得
x＋2(x－2)＝x＋2.解得x＝3.
经检验，x＝3是原方程的解．
(4)23＋x3x－1＝19x－3.
解：方程两边同乘以9x－3，得
2(3x－1)＋3x＝1.解得x＝13.
检验：当x＝13时，9x－3＝0.
所以x＝13不是原方程的解．
∴原分式方程无解．
9．某机加工车间共有26名工人，现要加工2 100个A零件，1 200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务(每人只能加工一种零件)？设安排x人加工A零件，由题意列方程得(A)
A.2 10030x＝1 20020（26－x）
B.2 100x＝1 20026－x
C.2 10020x＝1 20030（26－x）
D.2 100x×30＝1 20026－x×20
10．在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的
值比准确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是(B)
A.13x＝18x－5
B.13x＝18x＋5
C.13x＝8x－5
D.13x＝8x＋5
11．用换元法解方程x2－12x－4xx2－12＝3时，设x2－12x＝y，则原方程可化为(B)
A．y－1y－3＝0 B．y－4y－3＝0
C．y－1y＋3＝0 D．y－4y＋3＝0
12．当x＝56时，xx－5－2与x＋1x互为相反数．
13．若关于x的方程x－1x－5＝m10－2x无解，则m＝－8．
14．解下列方程：
(1)3x2－9＋xx－3＝1；
解：去分母，得3＋x(x＋3)＝x2－9，
3＋x2＋3x＝x2－9.解得x＝－4.
经检验，x＝－4是原方程的解．
(2)x＋1x－1＋4x2－1＝1；
解：方程两边同乘以(x＋1)(x－1)，得
(x＋1)2＋4＝(x＋1)(x－1)，
解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，(x＋1)(x－1)≠0，
∴x＝－3是原方程的解．
∴原方程的解是x＝－3.
(3)8x2－4＋1＝xx－2.
解：原方程可化为8（x＋2）（x－2）＋1＝xx－2.
去分母，得8＋(x＋2)(x－2)＝x(x＋2)．
解得x＝2.
检验：当x＝2时，(x＋2)(x－2)＝0，
∴x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
15．如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是－3和1－x2－x，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．
解：由题意，得1－x2－x＝3.解得x＝52.
经检验，x＝52是原方程的解．
∴x＝52.
16．解关于x的方程：mx－1x－1＝0(m≠0且m≠1)．解：方程两边同乘以x(x－1)，得
m(x－1)－x＝0.(m－1)x＝m.
∵m≠1，∴x＝mm－1.
检验：当x＝mm－1时，x(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝mm－1.
分式方程应用题含答案(经典)
分式方程 应用题专题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计 从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进 价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 3、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成 总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 4、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空 调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 5、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强 清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 6.（2008西宁）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一 段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ） A ．12012045x x -=+ B ．12012045 x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045 x x -=-
奥数-分式1师
分式1 一、分式基本概念及性质 分式的概念： 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下两点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1 x ，当0 x≠时，分式有意义；当0 x=时，分式无意义． 分式的值为零： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =， a a m b b m ÷ = ÷ （0 m≠）． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0 m≠； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 【例 1】 在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ 1 t ，(2) 3 x x+， 221 1 x x x -+ - ， 24 x x + ， 5 2 a ，2m， 2 1 321 x x x + -- ， 3 π x - ， 32 3 a a a + 【例 2】 ⑴x为何值时，分式 1 1 1 1x + + 有意义？ ⑵要使分式 24 13 1 2 a a a - + + 没有意义，求a的值． 【解析】⑴ 1 10 1x +≠ + 且10 x +≠，则2 x≠-且1 x≠- ⑵根据题意可得 13 10 2 a a + +=或20 a=，所以 1 5 a=-或0 a=
初中数学方程与不等式之分式方程知识点
初中数学方程与不等式之分式方程知识点 一、选择题 1．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x人，则所列方程为（） A．180180 3 2 x x -= + B． 180180 3 2 x x -= + C．180180 3 2 x x -= - D． 180180 3 2 x x -= - 【答案】D 【解析】 【分析】 先用x表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊了3元钱车费列出方程即可. 【详解】 解：设前去观看开幕式的同学共x人，根据题意，得：180180 3 2 x x -= - . 故选：D. 【点睛】 本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数. 2．某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的是() A． 4 1 16 x x x += +- B． 4 16 x x x = -+ C． 4 1 16 x x x += -- D． 4 1 16 x x x += -+ 【答案】D 【解析】【分析】 首先根据工程期限为x天，结合题意得出甲每天完成总工程的 1 1 x- ，而乙每天完成总工程 的 1 6 x+ ，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可. 【详解】 ∵工程期限为x天，
∴甲每天完成总工程的 11x -，乙每天完成总工程的16 x +， ∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成， ∴可列方程为：4116 x x x +=-+， 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键. 3．关于x 的方程 m 3+=1x 11x --解为正数，则m 的范围为（ ） A ．m 2m 3≥≠且 B ． 2 B 3m m >≠ C ．m<2m 3≠且 D ．m>2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先解分式方程，然后令其大于0即可，注意还有1x ≠. 【详解】 方程两边同乘以()1x -，得2x m =- ∴210x m x =-??-≠? 解得2m >且3m ≠ 故选：B. 【点睛】 此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题. 4．解分式方程11 222x x x -+=--的结果是（ ） A ．x="2" B ．x="3" C ．x="4" D ．无解 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1， 解得：x=2， 经检验x=2是增根，分式方程无解． 故选D ． 考点：解分式方程．
分式及分式方程测试题及答案
第五章 分式与分式方程检测题 （本试卷满分：100分，时间：60分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列分式是最简分式的是（ ） A. 11m m -- B.3xy y xy - C.22 x y x y -+ D.6132m m - 2.将分式2 x x y +中的x 、y 的值同时扩大2倍，则分式的值（ ） A.扩大2倍 B.缩小到原来的 2 1 C.保持不变 D.无法确定 3.若分式1 1 2+-x x 的值为零，则的值为( ) A.或 B. C. D. 4.对于下列说法，错误的个数是（ ） ① 是分式；②当1x ≠时，2111 x x x -=+-成立；③当时，分式 3 3 x x +-的值是零；④11a b a a b ÷?=÷=；⑤ 2a a a x y x y += +；⑥3232x x -?=-. A.6 B.5 C.4 D.3 5.计算2 111111x x ???? + ÷+ ? ?--? ??? 的结果是（ ） A.1 B. C.1x x + D.1 x x + 6.设一项工程的工程量为1，甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，则甲、乙两人合做一天的工作量为（ ） A. B. 1a b + C.2a b + D.11a b + 7.分式方程1 31 x x x x += --的解为（ ） A.1x = B.1x =- C.3x = D.3x =- 8.下列关于分式方程增根的说法正确的是( )
A.使所有的分母的值都为零的解是增根 B.分式方程的解为零就是增根 C.使分子的值为零的解就是增根 D.使最简公分母的值为零的解是增根 9.某人生产一种零件,计划在 天内完成,若每天多生产个,则 天完成且还多生产 个，问原计划每天生产多少个零件?设原计划每天生产个零件,列方程得( ) A. 3010256x x -=+ B.3010256x x +=+ C.3025106x x =++ D.3010 25106x x +=-+ 10.某工程需要在规定日期内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则超过规定日期3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，求规定日期.如果设规定日期为天，下面所列方程中错误的是( ) A. 213 x x x +=+ B.23 3x x = + C.1 122133x x x x -??+?+= ?++?? D.113x x x +=+ 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.若分式 3 3 x x --的值为零，则x = . 12.将下列分式约分：(1)2 5 8x x ；(2) 2 2357mn n m - ； (3) 2 2)()(a b b a -- . 13.计算：22 23362c ab b c b a ÷= . 14.已知 ，则 2 22 n m m n m n n m m ---++________. 15.当=x ________时，分式1 3-x 无意义；当=x ______时，分式39 2--x x 的值为． 16.若方程 255 x m x x =- --有增根5x =，则m =_________. 17.为改善生态环境,防止水土流失,某村拟在荒坡地上种植960棵树, 由于青年团员的支持,每日比原计划多种20棵,结果提前4天完成任务,原计划每天种植多少棵树?设原计划每天种植棵树，根据题意可列方程__________________.
分式方程应用题总汇及答案
分式方程应用题总汇及答案 1、A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度。 【提示】设共交车速度为x，小汽车速度为3x，列方程得：80/(3x) +3=80/x +20/60 2、为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。问原来规定修好这条公路需多长时间？ 【提示】设时间为x个月，列方程得：[1/x+1/(x+6)]*4+(x-4)/(x+6)=1 3、某工人原计划在规定时间内恰好加工1500个零件，改进了工具和操作方法后，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1500个零件时，比原计划提前了五小时，问原计划每小时加工多少个零件？ 【提示】设原计划每小时加工x个零件，列方程得：1500/2x +5=1500/x 4、甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的速度是骑自行车的速度的1/3，求步行和骑自行车的速度各是多少？ 【提示】设步行的速度是每小时x千米，则4.5/3x +0.5=4.5/x 5、某质检部门抽取甲、乙两个相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂合格率比乙厂高5%，求抽取检验的产品数量及甲厂的合格率。 【提示】设抽取检验的产品数量为x，则(48/x -45/x)*100％=5％ 6、某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工效提高50%，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每小时分别加工多少个零件？
八年级奥数：分式的化简求值
八年级奥数：分式的化简求值 解读课标 先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类． 给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件，不但要经常用到整式化简求值的知识、方法，而且还常常用到如下技巧策略： 1．适当引入参数； 2．拆项变形或拆分变形； 3．整体代入； 4．取倒数或利用倒数关系等． 问题解决 例1 已知，则_____________． 例2 a 、b 、c 为非零实数，且，若，则 等于（ ）． A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 例3 已知，求的值． 例4 已知，且，求x 的值． 012 =--x x =++5412x x x 0= /++c b a a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+abc a c c b b a ))()((+++11,11=+=+ c b b a a c 1+012 =--a a 1129322322324-=-++-a xa a xa a
例5 已知a 、b 、c 满足，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为-1． 数学冲浪 知识技能广场 1．请你先化简：=___________，再选取一个你喜爱又使原式有意义的数代人求值得_____________． 2．已知实数，则代数式的值为_____________． 3．若，且，则 的值为_______________． 4．若，则的值为_______________． 5．若，则的值为（ ）． 6．若的值为，则的值为（ ）． A ．1 B ．-1 C ． D ． 7．当时，代数式的值是（ ）． A ．-1 B ． C ． D ．1 12222 22222222=-++-++-+ab c b a ac b a c bc a c b 1 )111(2 2-÷-+x x x 01442=+-x x x x 212+2002,2003,2004222=+=+=+m c m b m a 24=abc c b a ab c ca b bc a 111---++a d d c c b b a ===d c b a d c b a +-+-+-31=+x x 1212++x x x 10.A 8.B 101.C 8 1.D 73222++y y 141 6412-+y y 17-15 6 1-=m 3339952122+--+÷----m m m m m m n m m 12-12
新人教版八年级数学分式方程
分式方程（1） 【学习目标】 1．了解分式方程的概念, 和产生无解的原因。 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解。 【重点】会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解。 【自主学习】 1、预习内容：自学教材第149页 2、预习检测： 1） 中含有 的方程叫做分式方程。 2）你能再写出几个分式方程吗？ 3）下列式子中，属于分式方程的是 ，属于整式方程的是 。 ①1213=-+x x ②21412x x -=- ③12312=+x x ④51≥x 【合作探究】 探究点一 类比学习探究分式方程的解法 1、解下列方程： （1）415-=x x （2）1 45-=x x ； 解：去分母(各项乘以公分母 ) 解:去分母(各项乘以最简 公分母________ _) ?-=?415 x x 约分得:()()54?=? 约分得：()()x x ?=-?)1( 去括号： 去括号： 移项： 移项： 合并同类项： 合并同类项： 系数化为1： 归纳：解分式方程的思路是将分式方程转化成 ，基本的方法是 (一般是方程两边同乘 ）。且解分式方程必须 。 例1解方程 x x 332=- 例2解方程2)(1(311+-=--x x x x ?-=?145x x
2、解分式方程 1223x x =+ 2510512-=-x x 22411x x =-- 21133x x x x =+++ 例3、若关于x 的方程 021 1=--+x ax 无解，求a 的值 3、课后作业 1、=a 时，关于x 的方程 53221+-=-+a a x x 的解为零； 2、若关于x 的方程 3232-+=--x m x x 无解，则m 的值为 。 3、若代数式11 2--x 的值为零，则=x 4、若11-x 与1 2+x 互为相反数，则可得方程 ，解得=x 5、解方程： （1）1332+=-a a （2）88122-=--m m m （3） 22510x x x x -=+-
(人教版)八年级数学分式方程测试题及答案
16.3.1 分式方程 同步测试 ◆知能点分类训练 知能点1 分式方程 1．下列方程中分式方程有（ ）个． (1)x 2-x+1x (2)1a 2010 3(4) x x y x y x -=-+-=1 A ．1 B ．2 C ．3 D ．以上都不对 2．下列各方程是关于x 的分式方程的是（ ）． A ．x 2 +2x-3=0 B ．2221 5(0). 5x x x a C a x --=≠=-3 D ．ax 2+bx+c=0 3．观察下列方程： 2111 43882(1) 1.6;(2)1;(3)1;(4).0.30.51132 x x x x x x x x x +--++-=+=-==-- 其中是关于x 的分式方程的有（ ） A ．（1） B ．（2） C ．（2）（3） D ．（2）（4） 知能点2 分式方程的解法 4．解方程：（1） 21;2 x x =- 15(2) 1 x x x x ++ + （3）22122563 x x x x x x x --=--+-。 5．解下列分式方程: （1） 22 14236 1;(2)11111 x x x x x x +-=+=--+--. 6．解方程：4578 5689 x x x x x x x x -----=- ----． 7．解下列关于x 的方程:
（1） 1(1);(2)1 a m n b b x a x x +=≠- -+=0（m ≠0）． 8．解方程：2155 ()14x x x x ---= ． 9．在式子50 s s a a b +=+中，s>0，b>0，求a ． ◆规律方法使用 10．已知关于x 的方程 4433x m m x x ---= --无解，求m 的值． 11．a 为何值时，关于x 的方程223 242 ax x x x += --+会产生错误？ 12．已知分式方程21 x a x +-=1的解为非负数，求a 的取值范围． ◆开放探索创新 13．阅读并完成下列问题：通过观察，发现方程x+1x =2+12 的解是x 1=2， x 2=12；x+1 x =3+13 的解是x 1=3，x 2=13；x+1x =4+14 的解是x 1=4， x 2=1 4 ，… （1）观察上述方程的解，猜想关于x 的方程x+1x =5+15 的解是_______． （2）根据上面的规律，猜想关于x 的方程x+1x =c+1c 的解是______． （3）根据上面的规律，可将关于x 的方程2221 111 x x a x a -+=-+--变形为_______，方程的解是_________，?解决这个问题的数学思想是_________． ◆中考真题实战 14．解方程： 31144x x x --=--; 15．解方程：54 1x x -+=0． 16．解方程：21133x x x -=---; 17．解方程：53 11x x = -+． 18．解方程：25 2112x x x + --=3． 答案:
奥数-分式恒等变形学
分式恒等变形 方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。 例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求 111a b c bc ca ab a b c ++---的值。 例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222 a b c bc ac ab ++的值。 例3. @ 例4. 求证： 2220()()()()()() a bc b a c c ba a b a c a b b c c b a c ---++=++++++ 例5. 设正数x ，y ，z 满足不等式 2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+222 2z x y xz +->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长 例6. 求分式 24816 1124816 111111a a a a a a +++++ -+++++，当2a =时的值． ； 例7. 若1111a b c a b c ++= ++，求证：777777 1111 a b c a b c ++=++.
例8. 化简:()()()()()() a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++． ！ 例9. 计算：2132x x x -++262x x ---210 4 x x -- -． 例10. 化简22 32233223222244 113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++-- +++-+--+-． 例11. # 例12. 化简： () () () () () () 2222222 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+ + +-+-+- 例13. 已知0a b c ++=，求证222222222 111 0b c a a c b b a c ++=+-+-+- 例14. 已知0a b c ++=，求222 222222a b c a bc b ac c ab +++++的值 … 例15. 已知1,2xyz x y z =++=， 22216 x y z ++=，求代数式 111 222xy z yz x zx y +++++的值。
初中奥数讲义_分式方程(组)附答案
分式方程（组） 本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用． 【知识拓展】 分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元． 解分式方程一定要验根． 解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等． 列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一． 例题求解 一、分式方程(组)的解法举例 1．拆项重组解分式方程 【例1】解方程6 4534275--+--=--+--x x x x x x x x ． 解析 直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如 7 2175-+=--x x x ，这样可降低计算难度．经检验211=x 为原方程的解． 注 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x ．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路． 2．用换元法解分式方程 【例2】解方程08131 821 8111 222=--+-++-+x x x x x x ． 解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法． 解 令x 2+2x —8=y ，原方程可化为0151191=-+++x y y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=－5x ． 故当y=9x 时，x 2+2x —8=9x ，解得x 1=8，x 2=—1． 当y=－5x 时，x 2+2x —8=－5x ，解得x 3=—8，x 4=1． 经检验，上述四解均为原方程的解． 注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化． 3．形如a a x x 11+=+ 结构的分式方程的解法 形如a a x x 11+=+的分式方程的解是：a x =1，a x 12=．
中考试题专题之分式方程试题及答案
2009年中考试题专题之5-分式方程试题及答案 一、选择 1、（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是……………【 】 A ．8 B.7 C ．6 D ．5 2、(2009年上海市)3．用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1 x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．2 30y y +-= B ．2 310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2 310y y --= 3、（2009襄樊市）分式方程 1 31 x x x x += --的解为（ ） A ．1 B ．-1 C ．-2 D ．-3 4、（2009柳州）5．分式方程 3 2 21+= x x 的解是（ ） A ．0=x B ．1=x C ．2=x D ．3=x 5、（2009年孝感）关于x 的方程211 x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是 A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a ≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a ≠－2 6、 （2009泰安）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提 高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为 （A ） 18%)201(400160=++x x （B ）18%)201(160 400160=+-+x x （C ） 18%20160 400160=-+x x （D ）18%)201(160400400=+-+x x 7、（2009年嘉兴市）解方程 x x -= -22 482 的结果是（ ） A ．2-=x B ．2=x C ．4=x D ．无解 8、（2009年漳州）分式方程21 1x x =+的解是（ ） A ．1 B ．1- C ．13 D ．1 3 - 9、（09湖南怀化）分式方程 21 31 =-x 的解是（ ） A ．21=x B ．2=x C ．31-=x D ． 3 1 =x
初二数学分式方程练习题(含答案)
分式方程精华练习题 1.在下列方程中，关于x 的分式方程的个数（a 为常数）有（ ） ①0432212=+-x x ②.4=a x ③.;4=x a ④.;1392=+-x x ⑤;621=+x ⑥21 1=-+-a x a x . A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2. 关于x 的分式方程 15 m x =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+ B ．5m >-时，方程的解是正数 C ．5m <-时，方程的解为负数 D ．无法确定 3.方程x x x -=++-13 15112 的根是（ ）A.x =1 B.x =-1 C.x =83 D.x =2 4.,04412=+-x x 那么x 2的值是（ ） A.2 B.1 C.-2 D.-1 5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ） A. 112 11-++=-x x x 去分母得，1)2)(1(1-+-=+x x x ； B.125552=-+-x x x ，去分母得，525-=+x x ； C.242222-=-+-+-x x x x x x ，去分母得，)2(2)2(2 +=+--x x x x ； D. ,1 1 32-=+x x 去分母得，23)1(+=-x x ； 6. .赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半书时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是( ) A.21140140-+x x =14 B.21280280++x x =14 C.21 140 140++x x =14 D.211010++x x =1 7.若关于x 的方程 01 11=----x x x m ，有增根，则m 的值是（ ）A.3 B.2 C.1 D.-1 8.若方程 ,) 4)(3(1243+-+=++-x x x x B x A 那么A 、B 的值为（ ） A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1 9.如果,0,1≠≠= b b a x 那么=+-b a b a （ ）A.1-x 1 B.11+-x x C.x x 1- D.11+-x x 10.使分式442-x 与6 52 6322+++-+x x x x 的值相等的x 等于（ ） A.-4 B.-3 C.1 D.10 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 满足方程： 22 11-=-x x 的x 的值是________. 12. 当x =________时，分式x x ++51的值等于2 1. 13.分式方程 02 22=--x x x 的增根是 . 14. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 2千米，那么可提前到达________小时. 15. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为 . 16.已知,54=y x 则=-+2 22 2y x y x .17.=a 时，关于x 的方程53221+-=-+a a x x 的解为零. 18.飞机从A 到B 的速度是,1v ，返回的速度是2v ，往返一次的平均速度是 . 19.当=m 时，关于x 的方程 3 1 3292 -=++-x x x m 有增根. 20. 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m ，则根据题意可得方程 . 三、解答题（共5大题，共60分） 21. .解下列方程 (1) x x x --=+-34231 (2) 21 23442+-=-++-x x x x x （3）21124 x x x -=--． 22. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？ 24.小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室内发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多 5 3 倍，问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？
完整版2018中考分式方程真题
分式方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 成都）分式方程=1的解是（）1．（2018? A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3 【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求 解． 解：=1【解答】， 去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得： （x+1）（x﹣2）+x=x（x﹣2）， 22﹣2x+x=x，﹣x﹣2x x=1， 经检验，x=1是原分式方程的解， 故选：A． 的分式方程解为x=4，则常数a的值为（2．（2018?株洲）关于x） A．a=1 B．a=2 C．a=4 D．a=10 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a=﹣ 1． 代入方程x=4，得【解答】解：把
，=0+ 解得a=10． 故选：D． 3．（2018?衡阳）衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为（） ﹣B=10A．．﹣=10 =10．=10 ﹣．DC+ 【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数﹣改良后种植的亩数=10亩，根据等量关系列出方程即可． 【解答】解：设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克，
﹣=10．根据题意列方程为： ．故选：A 第14页（共页） 的不等式组有且只有四个整数解，且使关于ya使关于x的4．（2018?重庆）若数 =2的解为非负数，则符合条件的所有整数a方程的和为（） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2 【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之 和． 解：【解答】， 不等式组整理得：， ＜01，由不等式组有且只有四个整数解，得到≤ 解得：﹣2＜a≤2，即整数a=﹣1，0，1，2，
奥数-分式恒等变形学
分式恒等变形 方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。 例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求 111 a b c bc ca ab a b c ++---的值。 例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222 a b c bc ac ab ++的值。 例3. 求证： 2220()()()()()() a bc b a c c ba a b a c a b b c c b a c ---++=++++++ 例4. 设正数x ，y ，z 满足不等式 2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+222 2z x y xz +->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长 例5. 求分式 24816 1124816 111111a a a a a a +++++ -+++++，当2a =时的值． 例6. 若1111a b c a b c ++= ++，求证：777777 1111 a b c a b c ++=++.
例7. 化简:()()()()()() a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++． 例8. 计算：2132x x x -++262x x ---210 4 x x -- -． 例9. 化简22 32233223222244 113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++-- +++-+--+-． 例10. 化简： () () () () () () 2222222 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+ + +-+-+- 例11. 已知0a b c ++=，求证222222222 111 0b c a a c b b a c ++=+-+-+- 例12. 已知0a b c ++=，求222 222222a b c a bc b ac c ab +++++的值 例13. 已知1,2xyz x y z =++=， 22216 x y z ++=，求代数式 111 222xy z yz x zx y +++++的值。
初中数学分式方程典型例题讲解
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义
初二数学分式方程练习题及答案
分式方程 1．分式方程2x =3的解是________；分式方程5231x x =-的解是________． 2．已知公式 1221P P V V =，用P 1、P 2、V 2表示V 1=________． 3．已知y=46mx n x -，则x=________． 4．一项工程，甲单独做需m 小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（ ） A ．2020m m -小时 B ．2020m m +小时 C ．2020m m -小时 D ．2020m m +小时 5．（数学与生产）我市要筑一水坝，需要规定日期内完成，如果由甲队去做，?恰能如期完成，如果由乙队去做，需超过规定日期三天，现由甲、乙两队合做2天后，?余下的工程由乙队独自做，恰好在规定日期内完成，求规定的日期x ，下面所列方程错误的是（ ） A ． 2x +3x x +=1 B ．2x =33 x + C ．（1x +13x +）×2+13x +（x-2）=1 D ．1x +3x x +=1 6．（综合题）物理学中，并联电路中总电阻R 和各支路电阻R 1、R 2满足关系 1R =11R +21R ，若R 1=10，R 2=15，求总电阻R ． 7．为改善环境，张村拟在荒山上种植960棵树，由于共青团员的支持，每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x 棵，根据题意得方程________． 8．某河两地相距s 千米，船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，船往返一次所用的时间为（ ） A ．2s a b + B ．2s a b - C ．s a +s b D ．s a b ++s a b - 拓展创新题 9．（数学与生产）用35克盐配制成含盐量为28%的盐水溶液，则需要加水多少克？ 10．（数学与生产）某车间有甲、乙两个小组，?甲组的工作效率比乙组的工作效率高25%，因此，甲组加工2 000个零件所用的时间比乙组加工1 800?个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时各加工多少个零件？
初中数学分式方程典型例题讲解
a c=ac,b a c= a p a0=1形如 A 【例1】下列代数式中：x1 x-y ，是分式的有：.π2 x-y,a+b , x+y , （1）x-4 x+4 （2） x2+2 （3） x2-1 （4）|x|-3 （5） a=“ ± . a±ac=bc±da(a≠0,c≠0); 第十六章分式知识点和典型例习题 3.分式的乘法与除法:b ? d bd a÷ c d= b d bd ? ac 【知识网络】 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m●a n=a m+n;a m÷a n=a m－n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=a m b n,(a m) n= 7.负指数幂:a-p=1 a mn 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:b c b±c(a≠0) a a 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： B(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 1 a-b x2-y2x+y , 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x有何值时，下列分式有意义 3x26-x1 x-1 x 2.异分母加减法则:b d bc c=ac± da ac题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义