2020年高考数学理科试题模拟试卷

2020年高考数学理科试题模拟试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

2．已知集合A ＝{－1,0}，B ＝{0,1}，则集合U A e∪

B (A ∩B )＝(

)

A ．?

B ．{0}

C ．{－1,1}

D ．{－1,0,1}

3．“(m －1)(a －1)＞0”是“log a m ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则cos 2α＋1

2sin 2α的值是( )

A ．3

5

B ．－35

C ．－3

D ．3

5．如图，将绘有函数f (x )＝3sinωx ＋

5π

6

(ω＞0)部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若A ，B 之间的空间距离为10，则f (－1)＝( )

A ．－1

B ．1

C ．－32

D ．32

6．已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，BC →＝(m －n )OA →

＋(2n －m －1)OB →，若OA →与OB →的夹角为60°，且OC →⊥AB →

，则实数m

n

的值为( )

A ．87

B ．43

C ．65

D ．16

7．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件????

?

x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若

z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( ) A ．1

2

B ．13

C ．1

D ．2

8．??0

1|x 2－4|dx ＝( )

A ．7

B ．223

C ．113

D ．4

9．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，点F 为E

的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF |＝3|FQ |，若|OP |＝b ，则E 的离心率为( ) A ． 2 B ． 3

C ．2

D ． 5

10．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )

A ．14，12

B ．12，1

C ．(1,2)

D ．(2,3)

11．函数f (x )＝ex 2－2x 2的图象大致为( )

12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝e x (x ＋1)，给出下列命题：

①当x ＞0时，f (x )＝e －

x (x －1)；②函数f (x )有2个零

点；③f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)；④x 1，x 2

∈R ，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜2． 其中正确命题的个数是(

)

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．曲线f (x )＝e 3x －x 3在点(0，f (0))处的切线方程是____．

14．在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b ，c 成等比数列，a ＋c ＝3，cosB ＝34，则AB →·BC →

＝

____．

15．已知函数f (x )＝????

?

|log 2x |，0＜x ＜2，

x ＋2

2x ，x ≥2，

若0＜a ＜b

＜c ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则ab

f (c )

的取值范围为____．

16．设有两个命题：

p ：关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，且a ≠1)的解集是{x |x ＜0}；

q ：函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ．

如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是____．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．

17．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a n ＝S n ＋2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 2a n ，求数列1

b n b n ＋2

的前n 项和T n ．

18．(本小题满分12分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

(1)求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成绩的中位数；

(2)从被抽取的数学成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率； (3)假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取4个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上(包括80分)的人数为X (以该校学生的成绩的频率估计概率)，求X 的分布列和数学期望．

19．(本小题满分12分)在五面体ABCDEF 中，AB ∥CD ∥EF ，AD ⊥CD ，∠DCF ＝60°，CD ＝EF ＝CF ＝2AB ＝2AD ＝2，平面CDEF ⊥平面ABC D ． (1)证明：直线CE ⊥平面ADF ；

(2)已知P 为棱BC 上的点，试确定P 点位置，使二面角P －DF －A 的大小为60°．

20．(本小题满分12分)已知点C 是圆F ：(x －1)2＋y 2＝16上任意一点，点F ′与圆心F 关于原点对称．线段CF ′的中垂线与CF 交于P 点． (1)求动点P 的轨迹方程E ；

(2)设点A (4,0)，若直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q ，直线AQ 与直线PF 交于点B ，证明：点B 恒在曲线E 上，并求△PAB 面积的最大值．

21．(本小题满分12分)函数f (x )＝x 2＋mln (1＋x )． (1)讨论f (x )的单调性；

(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：2f (x 2)＞－x 1＋2x 1ln 2．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．

22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线l 的参数方程为?

????

x ＝－1＋tcosα，y ＝1＋tsinα(t 为参

数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝ρcosθ＋2． (1)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；

(2)若α＝π

4，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲

线C 的交点的极坐标．

23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，记f (x )的最小值为k ． (1)解不等式f (x )≤x ＋1；

(2)是否存在正数a ，b ，同时满足：2a ＋b ＝k ，1a ＋2b ＝

4？并说明理由．