投资学题目

1、单一资产风险的衡量

一般将投资风险定义为实际收益对预期收益的偏离，数学上可以用预期收益的方差来衡量。公式为：

σ2＝ [Ri-E(Ri)]2

方差的平方根为标准差，公式为：

σ＝

方差或标准差越大，随机变量与数学期望的偏离越大，风险就越大。

风险溢价（Risk Premium ）

是指超过无风险资产收益的预期收益，这一溢价为投资的风险提供了补偿。其中的无风险（risk-free ）资产，是指其收益确定，从而方差为零的资产。一般以货币市场基金或者短期国债作为无风险资产的代表品。 对资产收益的估计可用数学期望方法进行，即对每一收益率的估计都给出其实现的概率，再对各收益率及其概率加权平均。 公式为： E(Ri)= Ri

式中，E(Ri)为预期收益率；Ri 为第i 个资产的收益预期；pi 为第i 个资产的预期收益可能发生的概率。

∑=-n

i i i i R E R p 1

2

)]([∑=n

i i p 1

∑

=n

i i p 1

风险与收益的权衡

如果证券A 可以无风险的获得回报率为10％，而证券B 以50％的概率获得20％的收益，50％的概率的收益为0，你将选择哪一种证券？

对于一个风险规避的投资者，虽然证券B 的期望收益为10％，但它具有风险，而证券A 的无风险收益为10％，显然证券A 优于证券B 。

则该投资者认为“A 占优于B”，从而该投资者是风险厌恶性的。

资产组合的收益和风险衡量

资产组合的预期收益E(rp)是资产组合中所有资产预期收益的加权平均，其中的权数xi 为各资产投资占总投资的比率。公式为： E(rp)= 其中：i=1，2，···n ；x1+x2+···xn=1。

资产组合的方差不是各资产方差的简单加权平均，而是资产组合的收益与其预期收益偏离数的平方，即： σ2p=E[rp -E(rp)]2 式中，rp 为资产组合的收益率。

对n 个资产的组合，计算方差的一般公式为：

σ2p= ＋

（其中，i j ） 公式表明，资产组合的方差是资产各自方差与它们之间协方差的加权平均。

22A B

σσ

≤()()

A B E r E r ≥∑=n

i i i r E x 1)(∑=n

i i i x 1

2

2σ∑∑==n i n

j j i j i x x x x 11

),cov(

1、假定投资于某股票，初始价格10元，持有期1年，现金红利为4元，预期股票价格在表所示的不同经济运行状态下有如下三种可能，求各种可能下的收益率，并求该股票的期望收益和方差。

经济状态繁荣正常运行萧条概率0.25 0.50 0.25

期末价/(元/股) 15 12 7

2、假设由两项资产构成投资组合，x1＝0.40，σ1＝0.30，x2＝0.60，σ2＝0.20，且σ12＝0.01，计算该组合方差及两资产的相关系数,并对计算结果进行简要分析。

协方差及相关系数

协方差指两个或更多的随机变量之间的相互依赖关系。

协方差被用于揭示一个由两种证券构成的资产组合中这两种证券未来可能收益率之间的相互关系。

相关系数反映两个随机变量的联系程度。计算公式为：

ρij=

ρij 为资产A 与B 的相关系数，其取值为≥－1，≤＋1。正号表示正相关，负号表示负相关；＝1时为完全正相关，＝－1时为完全负相关，＝0时不相关。（两资产的相关系数为正，但趋近于0，从而才导致例题的组合风险低于单个的资产风险。相关系数越大，组合的风险越大。）

相关系数与方差

两资产组合的方差可由相关系数表示为：

2σp=x212σ1+x222

σ2+2x1x2ρ12σ1σ2

由式可见，ρ12越大，σ2p 越大。这说明，资产的相关度越高，资产组合的风险越大；或者说，选择相关度小的资产组合，可降低投资风险。

)]

)([(B B A A AB Er r Er r E COV --=j

i ij

σσσ

投资组合的收益率与期望收益率（p81）

项目股票基金债券基金投资组

合

Ρ12=

-0.248

经济状态收益率概率收益

率

概率

两个基

金的比

重各占

50%

萧条-7% 33.30% 17% 33.30%

正常12% 33.30% 7% 33.30%

繁荣28% 33.30% -3% 33.30%

期望收益

率/%

方差

标准差

(1)、求股票基金的期望收益率、方差和标准差。

(2)、求债券基金的期望收益率、方差和标准差。

(3)、求投资组合的期望收益率、方差和标准差。

投资者的效用

投资学一个基本理念是风险与收益的最优匹配。 权衡收益与风险之间的关系引入投资者效用概念

效用是一个主观范畴，指人们从某事或某物上所得到的主观上的满足程度。投资效用函数(U)： %

66.4343005.0223%34%22)(2=??-====U A r E 则，，例：若σ

对该投资者来说，该投资与4.66%的无风险收益率等价：确定等价收益率

例题：如果某股票的期望收益率为10%，方差424.2%，假定无风险利率为4%。如果某投资者A 的风险厌恶指数为3，而另一投资者B 的风险厌恶指数为2。请问这两个投资者该如何进行投资（资产）选择？ 解：根据投资者效用公式：

对投资者A 来说，如果他投资了该股票，则效用值为： UA=10-（0.005×3×424.2）=3.64% 对于投资者B 来说，其投资的效用值为： UB=10-（0.005×2×424.2）=5.76%

2

005.0)(σA r E U

-=

两种风险资产组合的可行集

若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，则可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为

两种资产完全正相关的可行集（ρ12 ＝1） 完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。

证明：由资产组合的计算公式可得

1122

22222112212122222

1122121212

1211112

222211112111212

221()(1)()(1)2(1)p p

p p r w r w r w w w w w w w w w w r w w r w r w w w w w σσσσσσσσρσσσσσρ=++++==-+-+-＋＝＝由于＋，则＋＝p 11112111121p 111p 22

1122()(1)()(1)10p p p w w w r w w r w r w r r w r r r r σσσσσσσσσ+-=-==＝＋当＝时，＝，当＝时，＝，所以，其可行集连接两点（，）和（，）的直线。1

1112121211

1

2

212121221212221212

()(1)()/()()(1)(()/())(1()/())p p p

p

p p p

w w w w r w r w r

r r r r r r

r σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=+-=-=+-=-+----=-

+-- 则－ 从而－－故命题成立，证毕。

两种资产完全负相关的可行集（ρ12 ＝-1）

完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。

证明：

2222p 111121112111211112

2

1p 12

2

1p 11112

12

21p 11211

12

()(1)2(1)|(1)|

()(1)0

()(1)()(1)p w w w w w w w r w w r w r w w w w w w w w w σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ+--=--=-==+≥--+≤--+=－＋当时,当时，=当时，=2

112

111121()(1)()p p w w w w w f σσσσσσσ≥+=--=当时

，则可以

得到，从而

22

1

21212

12

1222

1212

()(1)p p p p p r r r r r r r r σσσσσσσσσσσσσσσ=-++--=

++++＋＋＋2

112

1121112

122

2

1212,

()(1)()p p p p w w w w r r r r r r σσσσσσσσσσσσσ≤

+=----=-

++++同理可证当时，则

命题成立，证毕。

两种资产不完全相关的可行集（1＞ρ12 ＞-1）

完全资产组合

是指在该组合中既包括了风险资产又包括了无风险资产所形成的组合。 无风险资产

是指其收益率是确定的，从而其资产的最终价值也不存在任何不确定性。换言之，无风险资产的预期收益率与其实际收益率不存在任何偏离，也即其方差（标准差）为零。 资本配置

是根据风险与收益相匹配的原则，将全部资产投资于风险资产和无风险资产中，并决定这两类资产在一个完全资产组合中的比例（权重）。 资本配置线（Capital Allocation Line, CAL ）

如果一个资产组合由风险资产和无风险资产构成，那么，这个资产组合的预期收益率和风险之间存在着线性关系。

111122222111121112122222111121()(1)()(1)2(1)0()(1)1p p p r w w r w r w w w w w w w w ρσσσσσρρσσσρ>>-=-+-+-+->>-当

1时＋＝尤其当＝时＝这是一条二次曲线，

事实上，当1时，可行集都是二次曲线。f

()()

()S P f p s E(R )-R E R R R R δδ=+E(RP)

C AL

R

f

有一基金，投资于风险资产组合，其期望收益率为18%，标准差为28%。同期短期国债债利率为8%。

1、如果你是投资者，将自己的资产组合70%投入到该基金中，另外30%投入到货币市场的短期国库券基金，则你的资产组合的期望收益率与标准差各是多少？

2、假设该基金风险资产组合包括以下几种比率的投资资产：股票A 为25%；股票B为32%；股票C为43%。那么你包括短期国库券头寸在内的总投资中各部分投资比例各是多少？

3、假如你决定将占总投资预算为ｘ的投资额投入该基金，目标是获得16%的期望收益率。

(1)、X为多少？

(2)、你在三种股票上和短期国库券基金方面的投资比例各是多少？

(3)、你的资产组合风险为多大？

4、如果你的风险厌恶程度为3.5，那么：

(1)、应将占总投资的多少（x）投入到该基金中？

(2) 、你的最佳资产组合的期望收益率与风险各是多少？

市场组合与资本市场线

市场组合:(Market Porfolio)即把所有个人投资者的资产组合加总，此时借和贷互相抵消，加总的风险资产组合价值等于整个经济中全部财富的价值，这就是市场资产组合M 。 资本市场线:(Capital Market Line ，CML)

是在以预期收益和标准差为坐标的图中，表示风险资产的有效组合与一种无风险资产再组合的有效组合线。是最优资本配置线(CAL)与风险资产有效边界的切线描述了在市场均衡时有效资产组合的期望收益和风险之间的关系

资本配置线与资本市场线对比

f ()()()

m P f p m E(R )-R E R R R R δδ=+

CAL

E(RP) 0 δ(RP)

Rf

市场中（部分）风险资产

CM L

E(RP)

δ(RP)

R f 市场中全部风险资产

证券市场线(Security Market Line, SML)

即预期收益－贝塔关系线，将这一关系表示在以预期收益和β值为坐标的平面上，即构成一条以Rf 为起点的射线，该射线即为证券市场线。

证券市场线的表达式

1、在2009年，短期国库券（被认为是无风险的）的收益率为5%。假定一份资产组合，其贝塔值为1的市场要求的期望收益率是12%，根据资本资产定价模型（证券市场线）计算： （1）、市场资产组合的期望收益率是多少？

（2）、贝塔值为0的股票的期望收益率是多少？

（3）、假定投资者正考虑买入一股股票，价格为40元。该股票预计来年派发红利3元。投资者预期可以以41元卖出。股票风险的贝塔值为0.5，该股票是被高估还是被低估了？

E(Ri)

β

E(RM)

M

SML Rf

β=1

SML 的斜率＝E(RM)-Rf

()[()]

i f m f E R R E R R β=+-2

cov(;)

i m m

R R βδ

=

2、一股股票今天的售价为50元，在年末将支付每股6元的红利。假定无风险利率为6%，市场收益率为16%，该股票的贝塔值为1.2。那么，预期在年末该股票售价是多少？

企业投资中的应用

3、某项目未来期望收益为1000万美元,由于项目与市场相关性较小,β=0.6，若当时短期国债的平均收益为10％,市场组合的期望收益为17％,则该项目最大可接受的投资成本是多少？

单因素模型 单指数模型 多因素模型

因素模型：是一种假设证券的回报率只与不同的因素波动或者指标的运动有关的证券定价模型。

具有三个特点：

1.因素模型中因子应该是系统影响所有证券价格的经济因素；

2.模型中，假设两个证券的回报率相关（一起运动）仅仅是由它们对因子运动的共同反应导致的；

3.证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证券所独有的，与别的证券回报率的特有部分无关，也与因素的运动无关。

单因素模型的表达式：

ri=E(ri)+mi+ei

如果记宏观因素的非预期成分为F,证券i 对该因素的敏感度为βi ，则上式变为：

ri=E(ri)+βiF+ ei

该证券（组合）收益的方差为：

单指数模型：

单因素模型没有给出F 的具体测度和明确界定。由夏普所提出可以用市场指数作为

一般宏观因素的有效代表,并据此提出某资产收益率与市场收益率之间呈线性相关关系。这即是所谓单指数模型,它用市场指数来代表系统性因素。

单指数模型的表达式：

ri - Rf =αi + βi ( rm- Rf ) + ei

如果以R 代表超额收益，则上式变为： Ri = αi + βi Rm + ei

证券的实际收益率可以分解为三部分：

αi 它是指当市场超额收益 rm-Rf 为0时证券i 的收益率；

Βi ( rm-Rf )，即证券i 收益受到整个市场因素影响的部分，其中βi 是市场因素对证券i 收益的影响程度；

ei ，即证券发行公司的特有因素对证券i 收益的影响

2222ei

F i i δ

δβδ+=

多因素模型的表达式

Ri = αi + β1i F1 + β2i F2 + … + βNi Fn + ei

例题：

1、假设某证券受到三种系统性因素的影响：通货膨胀率、GDP增长率和利率；假设年初预期通货膨胀率为5%，GDP的增长率为6%，利率为7%，实际年末通货膨胀率为7%，GDP增长率为10%，利率为8%，该证券的预期收益率为4%，还得知该公司在年内成功的开发出新产品，这一没有预期到的进展使得该公司的证券收益率增长7%。已知：βI=2, βGDP=1, βr=-1.8

求该公司证券的总收益率。

2、已知市场指数的标准差为22%，无风险收益率为8%。

（1）、股票A、B的标准差是多少？

（2）、假设按比例建立一个资产组合：股票A占30%，股票B占45%，国库券占25%。那么此资产组合的期望收益、标准差、贝塔值及非系统标准差为多少？

3、在一个只有两种股票的资本市场上，股票A的资本是股票B的两倍。股票A的超额收益的标准差为30%，股票B的超额收益标准差为50%。两者超额收益的相关系数为0.7。

（1）、市场指数资产组合的标准差是多少？

（2）、每种股票的贝塔值是多少？

（3）、每种股票的残差是多少？

（4）、如果指数模型不变，股票A期望收益超过无风险收益率为11%，市场资产组合投资的风险溢价是多少？

套利模型

构造有效套利组合满足的条件

△x1+△x2+…△xn=0

β1△x1+ β2△x2+… βn△xn=0

△x1E(R1)+ △x2E(R2)+… △xnE(Rn)>0

不需要额外资金、无额外风险、收益为正。

单因素套利模型

Ri = E ( Ri ) + βi F + εi

E ( Ri ) = αi + βi F

多因素套利模型

Ri = E ( Ri ) + β1i F1 + β2i F2 + …+ βni Fn + εi

E(Ri) = λ0 + λ1β1i+ λ2β2i + … + λnβni （λ0 =Rf）

例题：

1、假设投资者持有A、B、C三种股票，βA=0.8,βB=1.8, βC=3, E(RA)=0.16, E(RB)=0.1, E(RC)=0.24, △XA=6万元

问题：是否存在套利机会？

2、假设某股票的收益受到行业状态I、市场利率R和经济增长率G 三种因素的影响，并假设E(RI)=12%, E(RR)=8%, E(RG)=10%,且βI=1, βR=0.5, βG=0.75。给定无风险收益率为6%。

请用套利定价模型确定该股票的无套利均衡收益率。

解：根据多因素套利定价模型，有

E(Ri) = λ0+λ1β1i+ λ2β2i+…+λnβni

= Rf + βI [E(RI)-Rf ] + βR [E(RR)-Rf ] + βG [E(RG)-Rf ]

=6%+1(12%-6%)+0.5(8%-6%)-0.75(10%-6%)=16%

3、假定市场可用下面的三种系统风险及相应的风险溢价进行描述：

该股票的收益率可以用下面的方程来确定：

R = 15% + 1.0I + 0.5IR + 0.75C + e

国库券利率为6%，使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。该股票收益率是低估还是高估了？解释原因。