《形式语言与自动机》王柏、杨娟编著课后习题答案

形式语言与自动机课后习题答案

第二章

4．找出右线性文法，能构成长度为1至5个字符且以字母为首的字符串。

答：G={N,T,P,S}

其中N={S,A,B,C,D} T={x,y} 其中x∈{所有字母} y∈{所有的字符} P如下: S→x S→xA A→y A→yB

B→y B→yC C→y C→yD D→y

6．构造上下文无关文法能够产生

L={ω/ω∈{a,b}*且ω中a的个数是b的两倍}

答：G={N,T,P,S}

其中N={S} T={a,b} P如下:

S→aab S→aba S→baa

S→aabS S→aaSb S→aSab S→Saab

S→abaS S→abSa S→aSba S→Saba

S→baaS S→baSa S→bSaa S→Sbaa

7．找出由下列各组生成式产生的语言（起始符为S）

(1)S→SaS S→b

(2)S→aSb S→c

(3)S→a S→aE E→aS

答：（1）b(ab)n /n≥0}或者L={(ba)n b/n≥0}

(2) L={a n cb n /n≥0}

(3)L={a2n+1 /n≥0}

第三章

1．下列集合是否为正则集，若是正则集写出其正则式。

（1）含有偶数个a和奇数个b的{a,b}*上的字符串集合

（2）含有相同个数a和b的字符串集合

（3）不含子串aba的{a,b}*上的字符串集合

答：（1）是正则集，自动机如下

(2) 不是正则集，用泵浦引理可以证明，具体见17题（2）。

(3) 是正则集

先看L’为包含子串aba的{a,b}*上的字符串集合

显然这是正则集，可以写出表达式和画出自动机。（略）

则不包含子串aba的{a,b}*上的字符串集合L是L’的非。

根据正则集的性质，L也是正则集。

4．对下列文法的生成式，找出其正则式

（1）G=({S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S),生成式P如下：

S→aA S→B

A→abS A→bB

B→b B→cC

C→D D→bB

D→d

（2）G=({S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S),生成式P如下：

S→aA S→B

A→cC A→bB

B→bB B→a

C→D C→abB

D→d

答：(1) 由生成式得：

S=aA+B ①

A=abS+bB ②

B=b+cC ③

C=D ④

D=d+bB ⑤

③④⑤式化简消去CD，得到B=b+c(d+bB)

即B=cbB+cd+b =>B=(cb)*(cd+b) ⑥

将②⑥代入①

S=aabS+ab(cb)*(cd+b)+(cb)*(cd+b) =>S=(aab)*(ab+ε)(cb)*(cd+b) (2) 由生成式得：

S=aA+B ①

A=bB+cC ②

B=a+bB ③

C=D+abB ④

D=dB ⑤

由③得 B=b*a ⑥

将⑤⑥代入④ C=d+abb*a=d+ab+a ⑦

将⑥⑦代入② A=b+a+c(d+b+a) ⑧

将⑥⑧代入① S=a(b+a+c(d+ab+a))+b*a

=ab+a+acd+acab+a+b*a

5.为下列正则集，构造右线性文法：

(1){a,b}*

(2)以abb结尾的由a和b组成的所有字符串的集合

(3)以b为首后跟若干个a的字符串的集合

(4)含有两个相继a和两个相继b的由a和b组成的所有字符串集合答：（1）右线性文法G=({S},{a,b},P,S)

P: S→aS S→bS S→ε

(2) 右线性文法G=({S},{a,b},P,S)

P: S→aS S→bS S→abb

(3) 此正则集为{ba*}

右线性文法G=({S,A},{a,b},P,S)

P: S→bA A→aA A→ε

(4) 此正则集为{{a,b}*aa{a,b}*bb{a,b}*, {a,b}*bb{a,b}*aa{a,b}*}

右线性文法G=({S,A,B,C},{a,b},P,S)

P: S→aS/bS/aaA/bbB

A→aA/bA/bbC

B→aB/bB/aaC

C→aC/bC/ε

7.设正则集为a(b a)*

(1)构造右线性文法

(2)找出（1）中文法的有限自b动机

答：（1）右线性文法G=({S,A},{a,b},P,S)

P: S→aA A→bS A→ε

（2）自动机如下：

9.对应图（a）(b)的状态转换图写出正则式。（图略）

（1）由图可知q0=aq0+bq1+a+ε

q1=aq2+bq1

q0=aq0+bq1+a

=>q1=abq1+bq1+aaq0+aa

=(b+ab) q1+aaq0+aa

=(b+ab) *( aaq0+aa)

=>q0=aq0+b(b+ab) *( aaq0+aa ) +a+ε

= q0(a+b (b+ab) *aa)+ b(b+ab) *aa+a+ε

=(a+b (b+ab) *aa) *((b+ab) *aa+a+ε)

=(a+b (b+ab) *aa) *

(3)q0=aq1+bq2+a+b

q1=aq0+bq2+b

q0=aq1+bq0+a

=>q1=aq0+baq1+bbq0+ba+b

=(ba)*(aq0 +bbq0+ba+b)

=>q2=aaq0+abq2+bq0+ab+a

=(ab)*(aaq0 +bq0+ ab+a)

=>q0=a(ba)*(a+bb) q0 + a(ba)*(ba+b)+b(ab)*(aa+b)q0+ b(ab)*(ab+a)+a+b =[a(ba)*(a+bb) +b(ab)*(aa+b)]* (a(ba)*(ba+b)+ b(ab)*(ab+a)+a+b)

10.设字母表T={a,b},找出接受下列语言的DFA：

（1）含有3个连续b的所有字符串集合

（2）以aa为首的所有字符串集合

（3）以aa结尾的所有字符串集合

14构造DFA M1等价于NFA M，NFA M如下：

（1）M=({q0,q1 q2,q3},{a,b},σ,q0,{q3}),其中σ如下：

σ(q0,a)={q0,q1} σ(q0,b)={q0}

σ(q1,a)={q2} σ(q1,b)= {q2 }

σ(q2,a)={q3} σ(q2,b)=Φ

σ(q3,a)={q3} σ(q3,b)= {q3 }

（2）M=({q0,q1 q2,q3},{a,b},σ,q0,{ q1,q2}),其中σ如下：

σ(q0,a)={q1,q2} σ(q0,b)={q1}

σ(q1,a)={q2} σ(q1,b)= {q1,q2 }

σ(q2,a)={q3} σ(q2,b)= {q0}

σ(q3,a)=Φσ(q3,b)= {q0}

答：（1）DFA M1={Q1, {a,b},σ1, [q0],{ [q0,q1,q3]，[q0,q2,q3]，[q0, q1,q2,q3]}

其中Q1 ={[q0],[q0,q1], [q0,q1,q2],[ q0,q2],[ q0,q1, q2,q3],[ q0,q1, q3],[ q0,q2, q3],[ q0,q3]}

（2）DFA M1={Q1, {a,b},σ1, [q0],{ [q1],[q3], [q1,q3],[q0,q1,q2],[q1,q2] ,[q1,q2,q3],[q2,q3]} 其中Q1 ={[q0],[q1,q3], [q1],[q2],[ q0,q1,q2],[q1,q2],[q3], [q1,q2,q3],[q2,q3]}

(2)将此ε-NFA转换为没有ε的NFA

答：（1）可被接受的的串共23个，分别为aac, abc, acc, bac, bbc, bcc, cac, cbc, ccc, caa, cab, cba, cbb, cca, ccb, bba, aca, acb, bca, bcb, bab, bbb, abb

（2）ε-NFA：M=({p,q,r},{a,b,c},σ,p,r) 其中σ如表格所示。

因为ε-closure(p)= Φ

则设不含ε的NFA M1=({p,q,r},{a,b,c},σ1,p,r)

σ1(p,a)=σ’(p,a)=ε-closure(σ(σ’(p,ε),a))={p}

σ1(p,b)=σ’(p,b)=ε-closure(σ(σ’(p,ε),b))={p,q}

σ1(p,c)=σ’(p,c)=ε-closure(σ(σ’(p,ε),c))={p,q,r}

σ1(q,a)=σ’(q,a)=ε-closure(σ(σ’(q,ε),a))={p,q}

σ1(q,b)=σ’(q,b)=ε-closure(σ(σ’(q,ε),b))={p,q,r}

σ1(q,c)=σ’(q,c)=ε-closure(σ(σ’(q,ε),c))={p,q,r}

σ1(r,a)=σ’(r,a)=ε-closure(σ(σ’(r,ε),a))={p,q,r}

σ1(r,b)=σ’(r,b)=ε-closure(σ(σ’(r,ε),b))={p,q,r}

σ1(r,c)=σ’(r,c)=ε-closure(σ(σ’(r,ε),c))={p,q,r}

图示如下：(r为终止状态)

b,c

a,b,c

a,b,c

a,b,c

16．设NFA M=({q 0,q 1},{a,b},σ,q 0,{q 1}),其中σ如下： σ(q 0,a)={q 0,q 1} σ(q 0,b)={q 1} σ(q 1,a)= Φ σ(q 1,b)= {q 0, q 1} 构造相应的DFA M 1，并进行化简

答：构造一个相应的DFA M 1={Q 1, {a,b},σ1, [q 0],{ [q 1]，[q 0,q 1]} 其中Q 1 ={[q 0]，[q 1]，[q 0,q 1]}

17.使用泵浦引理，证明下列集合不是正则集：

（1） 由文法G 的生成式S →aSbS/c 产生的语言L(G) （2） {ω/ω∈{a,b}*且ω有相同个数的a 和b} （3） {a k ca k /k ≥1}

（4） {ωω/ω∈{a,b}*}

证明：（1）在L(G)中，a 的个数与b 的个数相等

假设L(G)是正则集，对于足够大的k 取ω= a k (cb)k c 令ω=ω1ω0ω2

因为|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0使ω1ω0i ω2∈L 所以对于任意ω0只能取ω0=a n n ∈(0,k)

则ω1ω0i ω2= a k –n (a n )i (cb)k c 在i 不等于0时不属于L 与假设矛盾。则L(G)不是正则集

（2）假设该集合是正则集，对于足够大的k 取ω= a k b k

令ω=ω1ω0ω2

因为|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0使ω1ω0i ω2∈L

所以对于任意ω0只能取ω0=a n

n ∈(0,k)

则ω1ω0i ω2= a k –n (a n )i b k 在i 不等于0时a 与b 的个数不同，不属于该集合 与假设矛盾。则该集合不是正则集

（3）假设该集合是正则集，对于足够大的k 取ω= a k ca k 令ω=ω1ω0ω2

因为|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0使ω1ω0i ω2∈L

所以对于任意ω0只能取ω0=a n n ∈(0,k)

则ω1ω0i ω2= a k –n (a n )i ca k 在i 不等于0时c 前后a 的个数不同，不属于该集合 与假设矛盾。则该集合不是正则集

（4）假设该集合是正则集，对于足够大的k 取ωω= a k ba k b

令ωω=ω1ω0ω2

因为|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0使ω1ω0i ω2∈L 所以对于任意ω0只能取ω0=a n n ∈(0,k)

则ω1ω0i ω2= a k –n (a n )i ba k b 在i 不等于0时不满足ωω的形式，不属于该集合 与假设矛盾。则该集合不是正则集

18．构造米兰机和摩尔机

对于{a,b}*的字符串，如果输入以bab 结尾，则输出1；如果输入以bba 结尾，则输出2；否则输出3。 答：米兰机： 说明状态qaa 表示到这个状态时，输入的字符串是以aa 结尾。其他同理。

b/3

摩尔机，状态说明同米兰机。

? 第四章

10. 把下列文法变换为无ε生成式、无单生成式和没有无用符号的等价文法：

S →A 1 | A 2 , A 1 →A 3 | A 4 , A 2 →A 4 | A 5 , A 3 →S | b |ε, A 4 →S | a ，A 5 →S | d |ε

解: ⑴由算法3，变换为无ε生成式：

N’ = { S, A1,A2,A3,A4,A5 }

G1 = ( { S1,S, A1,A2,A3,A4,A5 } , { a,b,d }, P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：

S1→ε| S ,

S →A1 | A2 ,

A1→A3 | A4 ,

A2→A4 | A5 ,

A3→S | b ,

A4→S | a ,

A5→S | d ,

⑵由算法4，消单生成式：

N S1 = { S1,S,A1,A2,A3,A4, A5 } ,

N S = N A1 = N A2 = N A3 = N A4 = N A5 = { S, A1,A2,A3,A4, A5 } ,

运用算法4，则P1变为：

S1 →a | b | d |ε,

S →a | b | d ,

A1→a | b | d ,

A2→a | b | d ,

A3→a | b | d ,

A4→a | b | d ,

A5→a | b | d

⑶由算法1和算法2，消除无用符号，得到符合题目要求的等价文法：

G1 = ( { S1 } , { a,b,d } , P1 , S1 ) ，其中生成式P1为：S1→a | b | d |ε.

11. 设2型文法G = ( { S,A,B,C,D,E,F } , { a,b,c } , P , S ) ,其中P：

S →ASB |ε; A →aAS | a ; B →SBS | A | bb

试将G变换为无ε生成式,无单生成式,没有无用符号的文法,再将其转换为Chomsky范式.

解: ⑴由算法3，变换为无ε生成式：

N’ = { S }

由S →ASB得出S →ASB | AB ,

由A →aAS得出A →aAS | aA ,

由B →SBS得出B →SBS | SB | BS |B,

由S∈N’得出S1→ε| S ,

因此无ε的等效文法G1 = ( { S1,S,A,B } , { a,b,d } , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：S1→ε| S ,

S →ASB | AB ,

A →aAS | aA | a,

B →SBS | SB | BS | B| A | bb ,

⑵由算法4，消单生成式：

N S1 = { S1,S } , N S = { S } , N A = { A } , N B = { A,B }

由于S →ASB | AB∈P且不是单生成式,故P1中有S1→ε| ASB | AB ,

同理有S →ASB | AB , A →aAS | aA | a , B →SBS | SB | BS | aAS | aA |

a | bb,

因此生成的无单生成式等效文法为

G1 = ( { S1,S, A,B } , { a,b } , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：

S1→ε| ASB | AB ,

S →ASB | AB ,

A →aAS | aA | a ,

B →SBS | SB | BS | aAS | aA | a | bb,

⑶由算法1和算法2，消除无用符号(此题没有无用符号);

⑷转化为等价的Chomsky范式的文法:

将S1 →ASB变换为S →AC , C →SB ,

将S →ASB 变换为S →AC ,

将A →aAS | aA 变换为A →ED | EA, D →AS , E →a,

将B →SBS | aAS | aA | a | bb , 变换为 B →CS | ED | EA | FF, F →b ,

⑸由此得出符合题目要求的等价文法：

G1 = ( { S1,S, A,B,C,D } , { a,b } , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：

S1→ε| AC | AB ,

S →AC | AB ,

A →ED | EA | a ,

B →CS | SB | BS | ED | EA | a | FF ,

C →SB ,

D →AS ,

E →a ,

F →b .

15.将下列文法变换为等价的Greibach范式文法:

⑴S →DD | a , D →SS | b

解: 将非终结符排序为S,D,S为低位,D为高位,

⑴对于D →SS ,用S →DD | a 代入得D →DDS | aS | b ,

用引理4.2.4,变化为D →aS | b | aSD' | bD' , D’→DS | DSD’ ,

⑵将D生成式代入S生成式得S →aSD | bD | aSD’D | bD'D | a ,

⑶将D生成式代入D’生成式得

D’→aSS | bS | aSD'S | bD'S | aSS D' | bS D' | aSD'S D' | bD'S D' ,

⑷由此得出等价的Greibach范式文法：

G1 = ( { S,D,D’ } , { a,b } , P1 , S ) ,其中生成式P1如下：

S →aSD | bD | aSD’D | bD'D | a ,

D →aS | b | aSD' | bD' ,

D’→aSS | bS | aSD'S | bD'S | aSS D' | bS D' | aSD'S D' | bD'S D' .

⑵A1→A3b | A2a , A2→A1b | A2A2a | b , A3→A1a | A3A3b | a

解: ⑴转化为等价的Chomsky范式的文法:

A1→A3A4 | A2A5 ,

A2→A1A4 | A2A6 | b ,

A3→A1A5 | A3A7 | a ,

A4→b ,

A5→a ,

A6→A2A5 ,

A7→A3A4 ,

⑵转化为等价的Greibach范式的文法:

将非终结符排序为A1, A2,A3,A4,A5 ,A1为低位A5为高位,

①对于A2→A1A4,用A1→A3A4| A2A5代入得A2→A3A4A4| A2A5A4| A2A6 | b ,

用引理4.2.4,变化为

A2→A3A4A4 | b | A3A4A4A2’ | bA2’ ,

A2’→A5A4A2’ | A6A2’ | A5A4 | A6 ,

②对于A3→A1A5,用A1→A3A4| A2A5代入得A3→A3A4A5| A2A5A5| A3A7 | a ,

A3生成式右边第一个字符仍是较低位的非终结符,将A2生成式代入A3生成式得

A3→A3A4 A5 | A3A4A4 A5A5 | b A5A5 | A3A4A4A2’ A5A5 | bA2’A5A5 | A3A7 | a ,

用引理4.2.4,变化为

A3→b A5A5 | bA2’A5A5 | a | b A5A5A3’ | bA2’A5A5A3’ | aA3’ ,

A3’→A4A5| A4A4A5A5| A4A4A2’A5A5| A7| A4A5A3’| A4A4A5A5A3’| A4A4A2’A5A5A3’ | A7A3’ ,

③对于A6→A2A5 ,将A2生成式代入A6生成式得

A6→A3A4A4A5 | bA5 | A3A4A4A2’A5 | bA2’A5 ,

A6生成式右边第一个字符仍是较低位的非终结符,将A3生成式代入A6生成式得

A6→bA5A5A4A4A5| bA2’A5A5A4A4A5| aA4A4A5| bA5A5A3’A4A4A5| bA2’A5A5A3’A4A4A5 | aA3’A4A4A5 | bA5A5A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A4A4A2’A5 | aA4A4A2’A5| bA5A5A3’A4A4A2’A5| bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5| aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 ,

④对于A7→A3A4 , 将A3生成式代入A7生成式得

A7→b A5A5A4| bA2’A5A5A4| a A4| b A5A5A3’A4| bA2’A5A5A3’A4| aA3’A4 ,

⑤将A5,A6生成式代入A2’生成式得

A2’→aA4A2’| bA5A5A4A4A5A2’| bA2’A5A5A4A4A5A2’| aA4A4A5A2’| bA5A5A3’A4A4A5A2’| bA2’A5A5A3’A4A4A5A2’| aA3’A4A4A5A2’| bA5A5A4A4A2’A5A2’| bA2’A5A5A4A4A2’A5A2’| aA4A4A2’A5A2’| bA5A5A3’A4A4A2’A5A2’| bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5A2’| aA3’A4A4A2’A5A2’| bA2’A5A2’ | b A5A2’ | aA4 | b A5A5A4A4A5 | bA2’A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3’A4A4A5| bA2’A5A5A3’A4A4A5| aA3’A4A4A5| bA5A5A4A4A2’A5| bA2’A5A5A4A4A2’A5| aA4A4A2’A5| bA5A5A3’A4A4A2’A5| bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5 | aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 ,

将A4,A7生成式代入A3’生成式得

A3’→aA5 | aA4A5A5 | aA4A2’A5A5 | aA5A3’ | aA4A5A5A3’ | aA4A2’A5A5A3’| b A5A5A4 | bA2’A5A5A4 | aA4 | bA5A5A3’A4 | bA2’A5A5A3’A4 | aA3’A4 | bA5A5A4A3’ | bA2’A5A5A4A3’ | a A4A3’ | b A5A5A3’A4 A3’ | bA2’A5A5A3’A4 A3’ | aA3’A4A3’ ,

⑶由此得出等价的Greibach范式文法:

G1 = ( { S,D,D’ } , { a,b } , P1 , S ) ,其中生成式P1如下：

A1→A3A4 | A2A5 ,

A2→A3A4A4 | b | A3A4A4A2’ | bA2’ ,

A3→b A5A5 | bA2’A5A5 | a | bA5A5A3’ | bA2’A5A5A3’ | aA3’ ,

A4→b ,

A5→a ,

A6→bA5A5A4A4A5| bA2’A5A5A4A4A5| aA4A4A5| bA5A5A3’A4A4A5|

bA2’A5A5A3’A4A4A5 | aA3’A4A4A5 | bA5A5A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A4A4A2’A5

| aA4A4A2’A5| bA5A5A3’A4A4A2’A5| bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5|

aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 ,

A7→b A5A5A4| bA2’A5A5A4| a A4| b A5A5A3’A4| bA2’A5A5A3’A4| aA3’A4 ,

A2’→aA4A2’| bA5A5A4A4A5A2’| bA2’A5A5A4A4A5A2’| aA4A4A5A2’|

bA5A5A3’A4A4A5A2’| bA2’A5A5A3’A4A4A5A2’| aA3’A4A4A5A2’|

bA5A5A4A4A2’A5A2’| bA2’A5A5A4A4A2’A5A2’| aA4A4A2’A5A2’|

bA5A5A3’A4A4A2’A5A2’| bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5A2’| aA3’A4A4A2’A5A2’|

bA2’A5A2’ | bA5A2’ | aA4 | b A5A5A4A4A5 | bA2’A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 |

bA5A5A3’A4A4A5| bA2’A5A5A3’A4A4A5| aA3’A4A4A5| bA5A5A4A4A2’A5|

bA2’A5A5A4A4A2’A5| aA4A4A2’A5| bA5A5A3’A4A4A2’A5|

bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5 | aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 ,

A3’→aA5 | aA4A5A5 | aA4A2’A5A5 | aA5A3’ | aA4A5A5A3’ | aA4A2’A5A5A3’

| b A5A5A4 | bA2’A5A5A4 | aA4 | bA5A5A3’A4 | bA2’A5A5A3’A4 | aA3’A4 |

bA5A5A4A3’ | bA2’A5A5A4A3’ | a A4 A3’ | b A5A5A3’A4 A3’ | bA2’A5A5A3’A4

A3’ | aA3’A4A3’ .

20.设文法G有如下得生成式: S →aDD , D →aS | bS | a , 构造等价的下推自动机. 解: 根据P162-163的算法,构造下推自动机M,使M按文法G的最左推导方式工作.

设M = (Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中

Q = { q0,q f } ,

T = { a,b} ,

Г= { a,b,D,S } ,

Z0 = S ,

F = { q f } ,

δ定义如下:

δ( q0,ε,S) = { ( q0, aDD ) } ,

δ( q0,ε,D ) = { ( q0,aS ) , ( q0,bS ) , ( q0,a ) } ,

δ( q0,a,a ) = { ( q0,ε) } ,

δ( q0,ε,ε) = { ( q f,ε) } .

21.给出产生语言L = { a i b j c k | i , j , k≥0 且i = j 或者j = k }的上下文无关文法.你给

出的文法是否具有二义性?为什么?

解: G=({S,A,B,C,D,E},{a,b,c}，P，S)

P：S →AD |EB, A →aAb |ε, B →bBc |ε, D →cD |ε, E →aE |ε

文法具有二义性。

因为当句子ω中a,b,c个数相同时，对于ω存在两个不同的最左(右)推导。

如abc∈L，存在两个不同的最左推导S?AD?aAbD?abD?abcC?abc 及S?EB?aEB?aB?abBc?abc 。

22.设下推自动机M = ( {q0,q1},{a,b},{Z0,X},δ, q0, Z0,φ),其中δ如下:

δ(q0,b, Z0) = {(q0, XZ0)} ,δ(q0,ε, Z0) = {(q0, ε)} ,A

δ(q0,b, X) = {(q0, XX)} , δ(q1,b, X) = {(q1, ε)} ,

δ(q0,b, X) = {(q1, X)} , δ(q1,a, Z0) = {(q0, Z0)} ,

试构造文法G产生的语言L (G) = L(M).

解: 在G中,N = { [q0,Z0,q0], [q0,Z0,q1], [q0,X,q0], [q0,X,q1], [q1,Z0,q0], [q1,Z0,q1], [q1,X,q0], [q1,X,q1] } .

⑴S生成式有

S →[q0,Z0,q0] ,

S →[q0,Z0,q1] ,

根据δ(q0,b, Z0) = {(q0, XZ0)} ,则有

[q0,Z0,q0] →b[q0,X,q0] [q0,Z0,q0] ,

[q0,Z0,q0] →b[q0,X,q1] [q1,Z0,q0] ,

[q0,Z0,q1] →b[q0,X,q0] [q0,Z0,q1] ,

[q0,Z0,q1] →b[q0,X,q1] [q1,Z0,q1] ,

因为有δ(q0,b, X) = {(q0, XX)},则有

[q0,X,q0] →b[q0,X,q0] [q0,X,q0] ,

[q0, X,q0] →b[q0,X,q1] [q1, X,q0] ,

[q0, X,q1] →b[q0,X,q0] [q0, X,q1] ,

[q0, X,q1] →b[q0,X,q1] [q1, X,q1] ,

因为有δ(q0,a, X) = {(q1, X)},则有

[q0,X,q0] →a[q1,X,q0] ,

[q0,X,q1] →a[q1,X,q1] ,

因为有δ(q1,a, Z0) = {(q0, Z0)},则有

[q1,Z0,q0] →a[q0,Z0,q0] ,

[q1,Z0,q1] →a[q0,Z0,q1] ,

因为有δ(q0,ε, Z0) = {(q0, ε)},则有

[q0,Z0,q0] →ε,

因为有δ(q1,b, X) = {(q1, ε)},则有

[q1,X,q1] →ε

⑵利用算法1和算法2,消除无用符号后,得出文法G产生的语言L(G) = { N,T,P,S }

其中N = { S,[q0,Z0,q0],[q1,Z0,q0],[q1,X,q1], [q0,X,q1] },T = { a,b },生成式P如下:

S →[q0,Z0,q0] ,

[q0,Z0,q0] →b[q0,X,q1] [q1,Z0,q0] ,

[q0, X,q1] →b[q0,X,q1] [q1, X,q1] ,

[q0,X,q1] →a[q1,X,q1] ,

[q1,Z0,q0] →a[q0,Z0,q0] ,

[q0,Z0,q0] →ε,

[q0,Z0,q0] →ε.

23.证明下列语言不是上下文无关语言:

⑴{ a n b n c m | m≤n };

证明: 假设L是上下文无关语言,由泵浦引理,取常数p,当ω∈L且|ω|≥p时,可取ω = a p b p c p ,将ω写为ω=ω1ω2ω0ω3ω4 ,同时满足|ω2ω0ω3|≤p

⑴ω2和ω3不可能同时分别包含a和c,因为在这种情况下,有|ω2ω0ω3|>p;

⑵如果ω2和ω3都只包含a (b) ,即ω2ω0ω3 = a j(b j ) (j≤p) ,则当i≠1

时, ω1ω2iω0ω3iω4中会出现a的个数与b的个数不等;

如果ω2和ω3都只包含c ,即ω2ω0ω3 = c j (j≤p),当i大于1时,ω1ω2iω0ω3i

ω4中会出现c的个数大于a的个数 (b的个数);

⑶如果ω2和ω3分别包含a和b (b和c) ,当i=0时ω1ω2iω0ω3iω4中会出

现a, b的个数小于c的个数（或a,b个数不等）

这些与假设矛盾,故L不是上下文无关语言.

⑵{ a k | k是质数 };

证明: 假设L是上下文无关语言,由泵浦引理,取常数p,当ω∈L且|ω|≥p时,可取ω=a k ( k≥p且k≠1 ) ,将ω写为ω=ω1ω2ω0ω3ω4 ,同时满足|ω2ω0ω3|≤p ,

且

|ω2ω3|=j≥1 ,则当i=k+1时,|ω1ω2iω0ω3iω4|=k+(i-1)*j=k+k*j= k*(1+j) ,k*(1+j)至少包含因子k且k≠1 ,因此必定不是质数,即ω1ω2iω0ω

3iω

4不属于L.

这与假设矛盾,故L不是上下文无关语言.

⑶由 a,b,c 组成的字符串且是含有 a,b,c 的个数相同的所有字符串.

证明: 假设L是上下文无关语言,由泵浦引理,取常数p,当ω∈L且|ω|≥p时,可取ω = a k b k c k (k≥p) ,将ω写为ω=ω1ω2ω0ω3ω4 ,同时满足|ω2ω0ω3|≤p

⑴ω2和ω3不可能同时分别包含a和c,因为在这种情况下,有|ω2ω0ω3|>p;

⑵如果ω2和ω3都只包含a (b或c) ,即ω2ω0ω3 = a j(b j或c j ) (j≤p) ,

则当i≠1时, ω1ω2iω0ω3iω4中会出现a,b,c的个数不再相等;

⑶如果ω2和ω3分别包含a和b (b和c) , ω1ω2iω0ω3iω4中会出现a,b的

个数与c的不等;

这些与假设矛盾,故L不是上下文无关语言.

24.设G是Chomsky 范式文法,存在ω∈L (G) ，求在边缘为ω的推导树中,最长的路

径长度与ω的长度之间的关系.

解: 设边缘为ω的推导树中,最长路径长度为n,则它与ω的长度之间的关系为|ω|≤2n-1 .

因为由Chomsky范式的定义可知,Chomsky范式文法的推导树都是二叉树,在最长路径长度为n的二叉推导树中,满二叉树推出的句子长度最长,为2n-1,因此ω的长度与其推导树的最长路径长度n的关系可以用上式表示.

25.设计PDA接受下列语言(注意:不要求为确定的)

⑴{ 0m1n | m≤n };

解: 设PDA M = ( Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中

Q = { q0,q1,q f } ,

T = { 0,1} ,

Г= { 0,1, Z0 } ,

F = { q f } ,

δ定义如下:

δ( q0,ε, Z0 ) = { ( q1, Z0 ) } ,

δ( q0,0, Z0 ) = { ( q0, 0Z0 ) } ,

δ( q0,0,0 ) = { ( q0, 00 ) } ,

δ( q0,1, Z0 ) = { ( q f,ε) } ,

δ( q0,1, 0 ) = { ( q1,ε) } ,

δ( q1,1, 0 ) = { ( q1,ε) } ,

δ( q1,ε, Z0 ) = { ( q f,ε) }

δ( q1,1, Z0 ) = { ( q f,ε) }

δ( q f,1, ε) = { ( q f,ε) }

⑵{ 0m1n | m≥n };

解: 设PDA M = ( Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中Q = { q0,q1,q f } ,

T = { 0,1} ,

Г= { 0,1, Z0 } ,

F = { q f } ,

δ定义如下:

δ( q0,ε, Z0 ) = { ( q1, Z0 ) } ,

δ( q0,0, Z0 ) = { ( q0, 0Z0 ) } ,

δ( q0,0,0 ) = { ( q0, 00 ) } ,

δ( q0,1, 0 ) = { ( q1,ε) } ,

δ( q1,1, 0 ) = { ( q1,ε) } ,

δ( q1,ε,Z0 ) = { ( q f,ε) } ,

δ( q1,ε,0 ) = { ( q f,ε) }

δ( q f,1, ε) = { ( q f,ε) }

⑶{ 0m1n0m | n和m任意 };

解: 设PDA M = ( Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中Q = { q0,q1, q2,q3,q f } ,

T = { 0,1} ,

Г= { 0,1, Z0 } ,

F = { q f } ,

δ定义如下:

δ( q0,0, Z0 ) = { ( q0, 0Z0 ) } ,

δ( q0,0,0 ) = { ( q0, 00 ),( q0,ε)} ,

δ( q0,1, Z0 ) = { ( q3,ε) } ,

δ( q3,1,ε) = { (q3,ε) } ,

δ( q3,ε, ε) = { ( q f,ε) } ,

δ( q0,1,0 ) = { ( q1,0 ) } ,

δ( q1,1,0 ) = { ( q1,0 ) } ,

δ( q1,0,0 ) = { ( q2,ε) } ,

δ( q2,0,0 ) = { ( q2,ε) } ,

δ( q2,ε, Z0 ) = { ( q f,ε) } ,

δ( q0,ε, Z0 ) = { ( q f, ε)}nm

?第五章

1.考虑如下的图灵机M = ( {q0, q1, q f, },{0,1},{0,1,B},δ, q0,B,{ q f } ),其中δ定义为:

δ(q0,0) = {(q1,1,R)} ,δ(q1,1) = {(q0,0,R)} ,δ(q1,B) = {(q f,B,R)} ,

非形式化但准确地描述该图灵机的工作过程及其所接受的语言.

解: 开始时,M的带上从左端起放有字符串0(10)i (i≥0),后跟无限多个空白符B.M的第一次动作先读到第一个0,并改写为1;然后右移,如果找到第一个1,则改写为0,并继续向右寻找下一个0,这样重复进行.当向右寻找1的时候,找到一个空白符B,则结束.

该图灵机所接受的语言L(M) = { 0(10)i | i≥