平面向量的平行与垂直

平面向量"的平行与"垂直

基础知识回顾:

1.平行（共线）向量定义:

方向相同或相反的非零向量叫平行向量。记作a// b；

2.垂直向量定义:

若两个非零向量所或角为90° ,则称这两个向量垂直。记作日丄b

一、基础训练

1.已知平面向量a = (3,l),b = (x,-3),a//b,Mx 等于「9

2.已知平面向量a二(1,-3) ,b= (4,-2),

篇+B与2垂直，则兄是 ______

3.若耳,©是两个不共线的向量已知厢=2&+応，西二£+3©丽二2彳-若AB,D三点共线，则k=-8

设A (4, 1) , B (-2, 3) , C (k, -6),若△ABC为直角三角形且ZB二90°求k的值。

解：当ZB = 90° ,BA= (6-2), BC = (k + 2-9)

•/ ZB = 90° /. IX丄BC,

BA- BC = 6(k + 2) + (-2)(-9) =0.\k = -5.

如图所示，已知A(4,5)J B(1>2),C(12J), D(11,6)及P(6,4),求证:B、P、D三点共线，A、P、C 三点共线。

解：丽= (5,2), SB = (10,4) = 2莎

AP = (2,-1), AC = (8, -4)二 4

丽

又丽、而共起点B ,

丽、疋共起点A, 则B、

P、D三点共线，

A、P、C三点共线。

a> b是不共线的两个非零向S,OM=ma ,ON=nb OP = «a + ,其中m、n、仅、0 w R，且nm H 0

,若M、P、N三点共线，则纟+炉=1 m n -- •

P是ZVLBC所在平面上一点，若口4 • PB = PB • PC=PC

•币，则P是厶ABC的________ 心.

解析：由题知有丙• (PA~PC) = PB • CA = O.即PB_

AC.同理可得PA1BC,PC_AB. :.P是厶ABC的垂心.

答案：垂例4：设向量a =(4cosa,sina),b =

(sin0,4cos0),

—►

c = (cos0Tsin0) ⑴若a与B -2c垂直，求tan(

(2)若tanciftan p = 16,求证:a//b.

⑴由feb-2c垂直,aH^-2c) = aEb-2a^ = 0? 即4 sin(cr +

0) — 8 cos(cr + 0) = 0,.・.tan(a + 0) = 2;

(2)由tan a tan (3 = 16得sin a sin p = 16 cos a cos 0,

艮卩4cosa4cos0-sinasiii0 = 0

・・・a //b

悸例3)已知平面向量。=(箱,一1) "=(*g)・

(1)证明:a丄山

(2)若存在不为零的实数几使c — a J r(t2—3)b,d——ka J r 旳，且c 丄〃,试求函数关系式k = f(t)；

(3)对(2)的结论，讨论函数k = fCt)的单调性.

【解】(1)证明:Va • b=0, .\a_\_b.

(2)Tc 丄d,

・*. a + (r—3)b • (—ka •) = 0,

整理得：

—ka ' + [_t —k{r—3)Ja •—3)b= 0?

Va • 6 = 0,a2= | a" = 4，/ = 19

1 q

..k = —Qt—3£)・

4

1 2

（3M = *门=十（尸一3（）,

Q Q

"）=斗（八一1）=斗&+1）&—1）・（占0）

4 4

•••令/（z）>0 得/>1 或/<—1,

因此/（力在（一8, —1）和（1 , + oo）上是增函数，在（一1, 0）和（0,1）上是减函数.

r -------------------------------- ---------------------------------------------

I

| 两向量 a I b^a • b=Q^x{x2 + y x y2 =0,这一关系

（_电座迥十金工直二______________________________________

噩举一反三

•■:

3.已知向量a=(l,2),6=( —2,l),^u 为正实数，x=a

+ (产 + l)b,y = — ga +丄b・k t

(1)若兀丄八求怡的最大值；

(2)是否存在X"使x//y?若存在，求出怡的取值范围; 若不存在，请说明理由.

解：x=a+（产+ l）b=（l，2）+（产+ 1）• （— 2,1）

=（—2” 一1，产+ 3） 9

y——-^-a + —b —一 + （1，2）+ 丄（一2,1）

J k t k t

=（—1,—令+丄）•

k t k t

（1）若x丄y,则x • y = Q,

1 9 9 1

即（一2 产一1）（—土一子）+ （产+3） • （-y + y）=O. 整理，得怡=严+ ]

当且仅当1=~ 即Z=1时，等号成立.=

（2）假设存在正实数虹几使x〃y,则

9 1 I 9

（一2尸一1）（—£ + 丄）一（产 + 3）（—斗一二）=0・

k t k t

/2 _L1 1

化简9得一+ — = 0.即f -\-t-\~k = Q.

•：b、t是正实数，故满足上式的 2 不存在.

二不存在这样的正实数怡、丫，使x//y.